Непрерывные случайные величины

Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Саранский гуманитарно-технический колледж им. А. Кунанбаева

Доклад по математической статистике

на тему:

«Непрерывные случайные величины»

Выполнила студентка группы ПВТ 9-12

Гойнаш А.

Проверила преподаватель мат. статистики

Чемезова А.С.

Сарань, 2014

Введение

Теория вероятности есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Как и всякая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, теория вероятностей также содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Естественно, что не все основные понятия могут быть строго определены, так как определить понятие - это значит свести его к другим, более известным. Этот процесс должен быть конечным и заканчиваться на первичных понятиях, которые только поясняются.

Одним из первых понятий в теории вероятности вводится понятие события.

Под событием понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Приведем примеры событий.

А - рождение мальчика или девочки;

В - избрание того или иного дебюта в шахматной игре;

С - принадлежность к тому или иному зодиакальному знаку.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одна большей, другие - меньшей.

Помимо понятия события и вероятности, одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее какое именно.

математический квадратический дисперсия

1. Непрерывные случайные величины

Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х). Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины:

Случайную величину Х называют непрерывной (непрерывно распределенной) величиной, если существует такая неотрицательная функция p(t), определенная на всей числовой оси, что для всех х функция распределения случайной величины F(x) равна:

. (6.7)

При этом функция p(t) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Если такой функции p(t) не существует, то Х не является непрерывно распределенной случайной величиной.

Таким образом, зная плотность распределения, по формуле (6.7) можно легко найти функцию распределения F(x). И, наоборот, по известной функции распределения можно восстановить плотность распределения:

.

Значит, наряду с функцией распределения, плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины задает ее закон распределения.

Свойства плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

1. Плотность распределения - неотрицательная функция:

p(t)і0.

Геометрически это означает, что график плотности распределения расположен либо выше оси Ох, либо на этой оси.

2. =1.

Учитывая, что F(+Ґ)=1, получаем: =1. Т.е. площадь между графиком плотности распределения вероятностей и осью абсцисс равна единице.

Эти два свойства являются характеристическими для плотности распределения вероятностей. Доказывается и обратное утверждение:

Любая неотрицательная функция p(t), для которой =1, является плотностью распределения вероятностей некоторой непрерывно распределенной случайной величины.

Общий вид графика функции плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины приведен на рис. 6.7.

Рис. 6.7

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность попадания значений непрерывной случайной величины в заданный интервал.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значения, принадлежащие интервалу (a, b), равна определенному интервалу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

P(аЈХ<b)=.

Действительно,

P(аЈХ<b)=F(b) - F(a)= -=

по одному из свойств определенного интеграла.

Из вышеприведенного утверждения можно сделать вывод, что вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Отсюда,

P(aЈХ<b)=P(a<Х<b)=P(a<ХЈb)=P(aЈХЈb)=F(b) - F(a).

Геометрически вероятность попадания значений непрерывной случайной величины в интервал (a, b) может быть рассмотрена как площадь фигуры, ограниченной осью Ох, графиком плотности распределения p(t) и прямыми х=a и х=b (рис. 6.8).

Рис. 6.8

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл

М[X] =.

Если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b], то М[X]= .

Используя определение дисперсии (6.4) для случая непрерывной случайной величины, можно получить следующую формулу для вычисления дисперсии

D[X] =.

Если возможные ненулевые значения случайной величины принадлежат отрезку [a, b], то

D[X] =.

Более удобные формулы для вычисления дисперсии таковы:

D[X] = ,

если функция p(t) отлична от 0 на всей числовой оси;

D[X] = (6.8)

если возможные ненулевые значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b]. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для случая дискретной случайной величины:

.

Список источников

1) М.С. Токмачев - Мат. Статистика. Учебное пособие.

2) Е.А. Копытов, А.М. Андронов, Л.Я. Гринглаз - Теория вероятностей и математическая статистика

3) А.М. Попов, В.Н. Сотников - Теория вероятностей и математическая статистика

4) В.А. Семенов - Теория вероятностей и математическая статистика

5) В.Е. Гмуран - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике

6) В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин - Математическая статистика

7) П.П. Бочаров, А.В. Печинкин - Теория вероятностей и матаматическая статистика

8) А.С. Шапкин - задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике

9) Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Введение в математическую статистику

10) М.Л. Шинкеев - Системы случайных величин.

Размещено на Allbest.ru