Дисперсионный анализ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Цель данной работы - познакомится с таким статистическим методом, как дисперсионный анализ.

Откуда произошло название дисперсионный анализ? Может показаться странным, что процедура сравнения средних называется дисперсионным анализом. В действительности, это связано с тем, что при исследовании статистической значимости различия между средними двух (или нескольких) групп, мы на самом деле сравниваем (анализируем) выборочные дисперсии. Фундаментальная концепция дисперсионного анализа предложена Фишером в 1920 году. Возможно, более естественным был бы термин анализ суммы квадратов или анализ вариации, но в силу традиции употребляется термин дисперсионный анализ. Первоначально дисперсионный анализ был разработан для обработки данных, полученных в ходе специально поставленных экспериментов, и считался единственным методом, корректно исследующим причинные связи. Метод применялся для оценки экспериментов в растениеводстве. В дальнейшем выяснилась общенаучная значимость дисперсионного анализа для экспериментов в психологии, педагогике, медицине и др.

Итак, дисперсионный анализ (от латинского Dispersio - рассеивание) - статистический метод, позволяющий анализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную. Метод был разработан биологом Р. Фишером в 1925 году и применялся первоначально для оценки экспериментов в растениеводстве. В дальнейшем выяснилась общенаучная значимость дисперсионного анализа для экспериментов в психологии, педагогике, медицине и др.

Целью дисперсионного анализа является проверка значимости различия между средними с помощью сравнения дисперсий. Дисперсию измеряемого признака разлагают на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее сравнение таких слагаемых позволяет оценить значимость каждого изучаемого фактора, а также их комбинации.

При истинности нулевой гипотезы, оценка дисперсии, связанной с внутригрупповой изменчивостью, должна быть близкой к оценке межгрупповой дисперсии.

При проведении исследования рынка часто встает вопрос о сопоставимости результатов. Например, проводя опросы по поводу потребления какого-либо товара в различных регионах страны, необходимо сделать выводы, на сколько данные опроса отличаются или не отличаются друг от друга. Сопоставлять отдельные показатели не имеет смысла и поэтому процедура сравнения и последующей оценки производится по некоторым усредненным значениям и отклонениям от этой усредненной оценки. Изучается вариация признака. За меру вариации может быть принята дисперсия. Дисперсия у2 - мера вариации, определяемая как средняя из отклонений признака, возведенных в квадрат.

На практике часто возникают задачи более общего характера - задачи проверки существенности различий средних выборочных нескольких совокупностей. Например, требуется оценить влияние различного сырья на качество производимой продукции, решить задачу о влиянии количества удобрений на урожайность сельскохозяйственной продукции.

Иногда дисперсионный анализ применяется, чтобы установить однородность нескольких совокупностей (дисперсии этих совокупностей одинаковы по предположению; если дисперсионный анализ покажет, что и математические ожидания одинаковы, то в этом смысле совокупности однородны). Однородные же совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию, следовательно, и более надежные выводы.

Для определения цели необходимо решить определенные задачи.

Задачи курсовой работы:

- определить сущность дисперсионного анализа;

- рассмотреть виды и возможности дисперсионного анализа;

- оценка результатов дисперсионного анализа, его показатели.

1. Теоретические основы математической модели дисперсионного анализа

1.1 Сущность дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ (от латинского Dispersio - рассеивание на английском Analysis Of Variance - ANOVA) применяется для исследования влияния одной или нескольких качественных переменных на одну зависимую количественную переменную (отклик).

В основе дисперсионного анализа лежит предположение о том, что одни переменные могут рассматриваться как причины (факторы, независимые переменные): а другие как следствия (зависимые переменные). Независимые переменные называют иногда регулируемыми факторами именно потому, что в эксперименте исследователь имеет возможность варьировать ими и анализировать получающийся результат.

Основной целью дисперсионного анализа является исследование значимости различия между средними с помощью сравнения (анализа) дисперсий. Разделение общей дисперсии на несколько источников, позволяет сравнить дисперсию, вызванную различием между группами, с дисперсией, вызванной внутригрупповой изменчивостью. При истинности нулевой гипотезы, оценка дисперсии, связанной с внутригрупповой изменчивостью, должна быть близкой к оценке межгрупповой дисперсии. Если вы просто сравниваете средние в двух выборках, дисперсионный анализ даст тот же результат, что и обычный t-критерий для независимых выборок (если сравниваются две независимые группы объектов или наблюдений) или t-критерий для зависимых выборок (если сравниваются две переменные на одном и том же множестве объектов или наблюдений).

Сущность дисперсионного анализа заключается в расчленении общей дисперсии изучаемого признака на отдельные компоненты, обусловленные влиянием конкретных факторов, и проверке гипотез о значимости влияния этих факторов на исследуемый признак. Сравнивая компоненты дисперсии друг с другом посредством F--критерия Фишера, можно определить, какая доля общей вариативности результативного признака обусловлена действием регулируемых факторов. математический модель дисперсионный переменная

Исходным материалом для дисперсионного анализа служат данные исследования трех и более выборок, которые могут быть как равными, так и неравными по численности, как связными, так и несвязными.

Дисперсионный анализ относится к группе параметрических методов и поэтому его следует применять только тогда, когда доказано, что распределение является нормальным.

Дисперсионный анализ используют, если зависимая переменная измеряется в шкале отношений, интервалов или порядка, а влияющие переменные имеют нечисловую природу.

1.2 Виды и возможности дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ схематически можно подразделить на несколько категорий. Это деление осуществляется в зависимости от того, сколько, во-первых, факторов принимает участие в рассмотрении, во-вторых, - сколько переменных подвержены действию факторов, и, в-третьих, - от того, как соотносятся друг с другом выборки значений.

1. При наличии одного фактора, влияние которого исследуется, дисперсионный анализ именуется однофакторным и распадается на две разновидности:

- анализ несвязанных (различных) выборок. Например, одна группа респондентов решает задачу в условиях тишины, вторая, находясь в шумной комнате. (В этом случае, к слову, нулевая гипотеза звучала бы так: «среднее время решения задач такого-то типа будет одинаково в тишине и в условиях шумного помещения, то есть не зависит от фактора шума».);

- анализ связанных выборок, например, двух замеров, проведенных на одной и той же группе респондентов в разных условиях. Тот же пример: в первый раз задача решалась в тишине, второй - сходная задача - в условиях шумовых помех. (На практике к подобным опытам следует подходить с осторожностью, поскольку в действие может вступить неучтенный фактор «научаемость», влияние которого исследователь рискует приписать изменению условий, а именно, - шуму.)

Однофакторный дисперсионный анализ

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:

x_ij = м + F_j + е_ij [1]

где х_ij - значение исследуемой переменой, полученной на i-м уровне фактора (i=1,2,...,т) c j-м порядковым номером (j=1,2,...,n);

F_i - эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора;

е_ij - случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов, т.е. вариацией переменой внутри отдельного уровня.

Основные предпосылки дисперсионного анализа:

- математическое ожидание возмущения е_ij равно нулю для любых i, т.е.

M(е_ij) = 0; [2]

-возмущения е_ij взаимно независимы;

- дисперсия переменной x_ij (или возмущения е_ij) постоянна для

любых i, j, т.е.

D(е_ij) = у²; [3]

- переменная x_ij (или возмущение е_ij) имеет нормальный закон распределения N(0;у²).

Влияние уровней фактора может быть как фиксированным или систематическим (модель I), так и случайным (модель II).

Пусть, например, необходимо выяснить, имеются ли существенные различия между партиями изделий по некоторому показателю качества, т.е. проверить влияние на качество одного фактора - партии изделий. Если включить в исследование все партии сырья, то влияние уровня такого фактора систематическое (модель I), а полученные выводы применимы только к тем отдельным партиям, которые привлекались при исследовании. Если же включить только отобранную случайно часть партий, то влияние фактора случайное (модель II). В многофакторных комплексах возможна смешанная модель III, в которой одни факторы имеют случайные уровни, а другие - фиксированные.

Пусть имеется m партий изделий. Из каждой партии отобрано соответственно n₁, n₂, …, n_m изделий (для простоты полагается, что n₁=n₂=...=n_m=n). Значения показателя качества этих изделий представлены в матрице наблюдений:

x₁₁ x₁₂ … x_1n

x₂₁ x₂₂ … x_2n

………………. = (x_ij), (i = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n).

x_m1 x_m2 … x_mn

Необходимо проверить существенность влияния партий изделий на их качество.

Если полагать, что элементы строк матрицы наблюдений - это численные значения случайных величин Х₁,Х₂,...,Х_m, выражающих качество изделий и имеющих нормальный закон распределения с математическими ожиданиями соответственно a₁,а₂,...,а_m и одинаковыми дисперсиями у², то данная задача сводится к проверке нулевой гипотезы Н₀: a₁=a₂ =...= а_m, осуществляемой в дисперсионном анализе.

Усреднение по какому-либо индексу обозначено звездочкой или точкой вместо индекса, тогда средний показатель качества изделий i-й партии, или групповая средняя для i-го уровня фактора, примет вид:

, [4]

где _i* - среднее значение по столбцам;

_ij - элемент матрицы наблюдений;

n - объем выборки.

А общая средняя:

. [5]

Сумма квадратов отклонений наблюдений х_ij от общей средней _** выглядит так:

²=²+²+

+2². [6]

Или

Q = Q₁ + Q₂ + Q₃.

Последнее слагаемое равно нулю

=0. [7]

так как сумма отклонений значений переменной от ее средней равна нулю, т.е.

²=0.

Первое слагаемое можно записать в виде:

В результате получается тождество:

Q = Q₁ + Q₂, [8]

где - общая, или полная, сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, или межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних, или внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений.

В разложении (8) заключена основная идея дисперсионного анализа. Применительно к рассматриваемой задаче равенство (8) показывает, что общая вариация показателя качества, измеренная суммой Q, складывается из двух компонент - Q₁ и Q₂, характеризующих изменчивость этого показателя между партиями (Q₁) и изменчивость внутри партий (Q₂), характеризующих одинаковую для всех партий вариацию под воздействием неучтенных факторов.

В дисперсионном анализе анализируются не сами суммы квадратов отклонений, а так называемые средние квадраты, являющиеся несмещенными оценками соответствующих дисперсий, которые получаются делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений минус число связывающих их уравнений. Поэтому для среднего квадрата s₁², являющегося несмещенной оценкой межгрупповой дисперсии, число степеней свободы k₁=m-1, так как при его расчете используются m групповых средних, связанных между собой одним уравнением (5). А для среднего квадрата s₂², являющегося несмещенной оценкой внутригрупповой дисперсии, число степеней свободы k₂=mn-m, т.к. при ее расчете используются все mn наблюдений, связанных между собой m уравнениями (4).

Таким образом:

= Q₁/(m-1),

= Q₂/(mn-m).

Если найти математические ожидания средних квадратов и , подставить в их формулы выражение x_ij (1) через параметры модели, то получится:

[9]

т.к. с учетом свойств математического ожидания

а

 [10]

Для модели I с фиксированными уровнями фактора F_i(i=1,2,...,m) - величины неслучайные, поэтому

M(S) =² /(m-1) +у².

Гипотеза H₀ примет вид F_i = F_*(i = 1,2,...,m), т.е. влияние всех уровней фактора одно и то же. В случае справедливости этой гипотезы

M(S)= M(S)= у².

Для случайной модели II слагаемое F_i в выражении (1) - величина случайная. Обозначая ее дисперсией

получим из (9)

[11]

и, как и в модели I

M(S)= у².

В случае однофакторного комплекса как для модели I, так и модели II средние квадраты S² и S², являются несмещенными и независимыми оценками одной и той же дисперсии у².

Следовательно, проверка нулевой гипотезы H₀ свелась к проверке существенности различия несмещенных выборочных оценок S и S дисперсии у².

Гипотеза H₀ отвергается, если фактически вычисленное значение статистики F = S/S больше критического F_б:K1:K2, определенного на уровне значимости б при числе степеней свободы k₁=m-1 и k₂=mn-m, и принимается, если F < F_б:K1:K2 .

F- распределение Фишера (для x > 0) имеет следующую функцию плотности (для = 1, 2, ...; = 1, 2, ...):

где - степени свободы;

Г - гамма-функция.

Применительно к данной задаче опровержение гипотезы H₀ означает наличие существенных различий в качестве изделий различных партий на рассматриваемом уровне значимости.

Для вычисления сумм квадратов Q₁, Q₂, Q часто бывает удобно использовать следующие формулы:

 [12]

[13]

[14]

т.е. сами средние, вообще говоря, находить не обязательно.

Таким образом, процедура однофакторного дисперсионного анализа состоит в проверке гипотезы H₀ о том, что имеется одна группа однородных экспериментальных данных против альтернативы о том, что таких групп больше, чем одна. Под однородностью понимается одинаковость средних значений и дисперсий в любом подмножестве данных. При этом дисперсии могут быть как известны, так и неизвестны заранее. Если имеются основания полагать, что известная или неизвестная дисперсия измерений одинакова по всей совокупности данных, то задача однофакторного дисперсионного анализа сводится к исследованию значимости различия средних в группах данных [4].

2. В случае если исследуется одновременное воздействие двух или более факторов, мы имеем дело с многофакторным дисперсионным анализом, который также можно подразделить по типу выборки.

Если же воздействию факторов подвержено несколько переменных, - речь идет о многомерном анализе.

Многофакторный дисперсионный анализ

Следует сразу же отметить, что принципиальной разницы между многофакторным и однофакторным дисперсионным анализом нет. Многофакторный анализ не меняет общую логику дисперсионного анализа, а лишь несколько усложняет ее, поскольку, кроме учета влияния на зависимую переменную каждого из факторов по отдельности, следует оценивать и их совместное действие. Таким образом, то новое, что вносит в анализ данных многофакторный дисперсионный анализ, касается в основном возможности оценить межфакторное взаимодействие. Тем не менее, по-прежнему остается возможность оценивать влияние каждого фактора в отдельности. В этом смысле процедура многофакторного дисперсионного анализа несомненно более экономична, поскольку всего за один запуск решает сразу две задачи: оценивается влияние каждого из факторов и их взаимодействие.

Общая схема двухфакторного эксперимента, данные которого обрабатываются дисперсионным анализом имеет вид:

Рисунок 1 - Схема двухфакторного эксперимента

Данные, подвергаемые многофакторному дисперсионному анализу, часто обозначают в соответствии с количеством факторов и их уровней.

Предположив, что в рассматриваемой задаче о качестве различных m партий изделия изготавливались на разных t станках и требуется выяснить, имеются ли существенные различия в качестве изделий по каждому фактору:

А - партия изделий;

B - станок.

В результате получается переход к задаче двухфакторного дисперсионного анализа.

Все данные представлены в таблице 1.2, в которой по строкам - уровни A_i фактора А, по столбцам -- уровни B_j фактора В, а в соответствующих ячейках, таблицы находятся значения показателя качества изделий x_ijk (i=1,2,...,m; j=1,2,...,l; k=1,2,...,n).

Таблица 1

Показатели качества изделий

	B1	B2	…	Bj	…	Bl
A1	x11l,…,x11k	x12l,…,x12k	…	x1jl,…,x1jk	…	x1ll,…,x1lk
A2	x21l,…,x21k	x22l,…,x22k	…	x2jl,…,x2jk	…	x2ll,…,x2lk
…	…	…	…	…	…	…
Ai	xi1l,…,xi1k	xi2l,…,xi2k	…	xijl,…,xijk	…	xjll,…,xjlk
…	…	…	…	…	…	…
Am	xm1l,…,xm1k	xm2l,…,xm2k	…	xmjl,…,xmjk	…	xmll,…,xmlk

Двухфакторная дисперсионная модель имеет вид:

x_ijk=м+F_i+G_j+I_ij+е_ijk, [15]

где x_ijk - значение наблюдения в ячейке ij с номером k;

м - общая средняя;

F_i - эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора А;

G_j - эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора В;

I_ij - эффект, обусловленный взаимодействием двух факторов, т.е. отклонение от средней по наблюдениям в ячейке ij от суммы первых трех слагаемых в модели (15);

е_ijk - возмущение, обусловленное вариацией переменной внутри отдельной ячейки.

Предполагается, что е_ijk имеет нормальный закон распределения N(0; с²), а все математические ожидания F_*, G_*, I_i*, I_*j равны нулю.

Групповые средние находятся по формулам:

- в ячейке:

,

по строке:

по столбцу:

общая средняя:

В таблице 2 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа.

Таблица 2

Базовая таблица дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Межгрупповая (фактор А)		m-1
Межгрупповая (фактор B)		l-1
Взаимодействие		(m-1)(l-1)
Остаточная		mln - ml
Общая		mln - 1

Проверка нулевых гипотез H_A, H_B, H_AB об отсутствии влияния на рассматриваемую переменную факторов А, B и их взаимодействия AB осуществляется сравнением отношений , , (для модели I с фиксированными уровнями факторов) или отношений , , (для случайной модели II) с соответствующими табличными значениями F - критерия Фишера - Снедекора. Для смешанной модели III проверка гипотез относительно факторов с фиксированными уровнями производится также как и в модели II, а факторов со случайными уровнями - как в модели I.

Если n=1, т.е. при одном наблюдении в ячейке, то не все нулевые гипотезы могут быть проверены так как выпадает компонента Q₃ из общей суммы квадратов отклонений, а с ней и средний квадрат , так как в этом случае не может быть речи о взаимодействии факторов.

С точки зрения техники вычислений для нахождения сумм квадратов Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q целесообразнее использовать формулы:

Q₃ = Q - Q₁ - Q₂ - Q₄.

Отклонение от основных предпосылок дисперсионного анализа -- нормальности распределения исследуемой переменной и равенства дисперсий в ячейках -- не сказывается существенно на результатах дисперсионного анализа при равном числе наблюдений в ячейках, но может быть очень чувствительно при неравном их числе. Кроме того, при неравном числе наблюдений в ячейках резко возрастает сложность аппарата дисперсионного анализа. Поэтому рекомендуется планировать схему с равным числом наблюдений в ячейках, а если встречаются недостающие данные, то возмещать их средними значениями других наблюдений в ячейках. При этом, однако, искусственно введенные недостающие данные не следует учитывать при подсчете числа степеней свободы [4].

1.3 Оценка результатов дисперсионного анализа, его показатели

АЛГОРИТМ ПРОВЕДЕНИЯ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

Алгоритм проведения дисперсионного анализа по упрощенному способу позволяет получить те же результаты, но расчеты выполняются значительно проще:

I этап. Построение дисперсионного комплекса

Построение дисперсионного комплекса означает построение таблицы, в которой были бы четко разграничены факторы, результативный признак и подбор наблюдений (больных) в каждую группу.

Однофакторный комплекс состоит из нескольких градаций одного фактора (А). Градации -- это выборки из разных генеральных совокупностей (А1, А2, АЗ).

Результативный признак (количество койко-дней в среднем)	Этиологические факторы развития пневмоний
	А1	А2	А3
М = 14 дней

Двухфакторный комплекс -- состоит из нескольких градаций двух факторов в комбинации между собой. Этиологические факторы заболеваемостью пневмонией те же (А1, А2, АЗ) в сочетании с разными формами клинического течения пневмонии (Н1 -- острое, Н2 -- хроническое).

Результативный признак (количество койко-дней в среднем)	Этиологические факторы развития пневмоний
	А1	А2	А3
	H1	H2	H1	H2	H1	H2
М = 14 дней

II этап. Вычисление общей средней (М_обш)

Вычисление суммы вариант по каждой градации факторов:

У Vj = V1 + V2 + V3

Вычисление общей суммы вариант (У Vобщ) по всем градациям факторного признака:

У Vобщ = У Vj1 + У Vj2 + У Vj3

Вычисление средней групповой (Мгр.) факторного признака:

Мгр. = У Vj / N,

где N -- сумма числа наблюдений по всем градациям факторного I признака (Уn по группам).

III этап. Расчет дисперсий:

При соблюдении всех условий применения дисперсионного анализа математическая формула выглядит следующим образом:

Doбщ. = Dфакт + D ост.

Doбщ. - общая дисперсия, характеризуется разбросом вариант (наблюдаемых значений) от общего среднего;

Dфакт. - факторная (межгрупповая) дисперсия, характеризует разброс групповых средних от общего среднего;

Dост. - остаточная (внутригрупповая) дисперсия, характеризует рассеяние вариант внутри групп.

Вычисление факториальной дисперсии (Dфакт.):

Dфакт. = У h - H

Вычисление h проводится по формуле:

h = (У Vj) / N

Вычисление Н проводится по формуле:

H = (У V)2 / N

Вычисление остаточной дисперсии:

Dост. = (У V)2 - У h

Вычисление общей дисперсии:

Doбщ. = (У V)2 - У H

IV этап. Расчет основного показателя силы влияния изучаемого фактора Показатель силы влияния (з2) факторного признака на результат определяется долей факториальной дисперсии (Dфакт.) в общей дисперсии (Doбщ.), з2(эта) -- показывает какую долю занимает влияние изучаемого фактора среди всех других факторов и определяется по формуле:

V этап. Определение достоверности результатов исследования методом Фишера проводят по формуле:



F - критерий Фишера;

Fst. - табличное значение.

у2факт, у2ост. - факториальная и остаточная девиаты (от лат. de -- от, via - дорога) -- отклонение от средней линии, определяются по формулам:

r - число градаций факторного признака.

Сравнение критерия Фишера (F) со стандартным (табличным) F проводят по графам таблицы с учетом степеней свободы:

v1 = n -- 1

v2 = N -- 1

По горизонтали определяют v1 по вертикали -- v2, на их пересечении определяют табличное значение F, где верхнее табличное значение р ? 0,05, а нижнее соответствует р > 0,01, и сравнивают с вычисленным критерием F. Если значение вычисленного критерия F равно или больше табличного, то результаты достоверны и Н0 не отвергается.

Список используемой литературы

1. С.А. Беляев. Экспериментальная психология - Минск.: Изд-во МИУ, 2010

2. Гусев А.Н. Дисперсионный анализ в экспериментальной психологии. - М.: Учебно-методический коллектор «Психология», 2000.-136с.

3. www.gpss.ru

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Юнити - Дана, 2002.-343с.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2003.-523с.

6.Авдеев К.А. Теория статистики. - М.: Инфа, 2002.

7.Альбом наглядных пособий по общей теории статистики. - М.: Финансы и статистика, 2005.

8.Антонов Н.Г., Пессель М.А. Денежное обращение, кредит и банки. М.: Финстатиниформ, 2004.

9.Борисов Е.Ф. Общая теория статистики.: Учебник.- 3-е издание. - М.: Норма, 2002.

10.Гусов К.Н., Толкунова В.Н. Общая теория статистики. Учебник. - М.: Юнити-Дана,2001.

11.Гуткина Н.И. Общая теория статистики. - М.: Издательство МГУ, 2004. - 387 с.

12.Ефимов М.Р., Петрова Е.В., Румянцева В.Н. Общая теория статистики. Учебник, - М: ИНФРА-М, 2003

13.Кулагина И.Ю. Общая теория статистики. - М.: УРАО, 2003.

14.Мухина В.С. Экономическая статистика. - М.: Издательский центр Академия, 2003. - 456 с.

15.Методологические положения по статистике. Вып. 1. Госкомстат России. - М., 2004.

16.Общая теория статистики: статистическая методология в изучении коммерческой деятельности. Учебник под ред. Спирина А.А., Башиной О.Э. М.: Финансы и статистика. 2003.

17.Общая теория статистики. Под ред. А.Я. Боярского, Г.Л. Громыко издание второе, переработанное и дополненное издательство Московского университета. 2004.

18.Статистический словарь. Под ред. Юркова Ю.А. - М.: Финстатинформ, 2004.

19.Теория статистики. Учебник. Под редакцией Р.А. Шмойловой. - М: ИНФРА-М., 2004.

20.Федеральная целевая программа "Реформирование статистики в 2003 - 2000 годах". Журнал "Вопросы статистики". 2003, №1.

21.Экономическая статистика. Учебник. Под ред Иванова. - М.: ИНФРА-М., 2003.

Размещено на Allbest.ru