Практическое применение логарифмической и показательной функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Практическое применение логарифмической и показательной функций

Авторский коллектив:

Булахтина Наталья

Васильев Максим

Фокин Александр

учащиеся 11 "А" класса школы № 911

ЮВОУО ДО города Москвы

Руководитель работы:

учитель Демина Елена Максимовна

2006

Введение

«Вряд ли мне следует объяснять, что одна из важнейших задач математики - помощь другим наукам.

Стало уже общепринятым утверждение, что быстрее всего развиваются науки, фундаментальные результаты которых могут быть сформулированы математически. Использую математические методы, выводят важнейшие следствия, которые иным способом вряд ли можно было бы получить. Одно это, не говоря уже о других аспектах, оправдывает претензии математики на титул Королевы Наук».

Морделл Л.

В курсе математики средней и старшей школы мы получаем большой объём математических знаний.

Порой многие понятия курса алгебры и математического анализа 10-11 классов носят абстрактный характер, и мы задаёмся вопросом: «А где применяются те знания, которые мы получаем на уроках математики?»

Так возникла идея: исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая и показательная функции.

Задавшись целью, мы провели большую исследовательскую работу и выяснили, что логарифмы, логарифмическая и показательная функции имеют прикладное значение в следующих областях естествознания: физике, химии, биологии, географии, астрономии, а так же экономике банковского дела и производства.

Банковские расчёты

В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять ранее, чем через год) принята следующая система начисления денег на сумму, внесённую в банк. За первый год нахождения внесённой суммы на счёте она возрастает на некоторое число процентов, в зависимости от вида вклада. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги - “проценты”, как их обычно называют.

Если же он этого не сделал, то они капитализируются, т. е. присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года проценты начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Коротко говорят, что при такой системе начисляются “проценты на проценты”. В математике в такой ситуации обычно говорят о сложных процентах.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик, скажем, через 5 лет, если он положил на счёт в банк 1500 р. И ни разу не будет брать деньги со счёта, а тем временем сумма будет ежегодно увеличиваться на 10%:

10% от этой суммы составляют 0,1 1500 = 150р., и, следовательно, через год на его счёте будет

1500 + 150 = 1650 р.

10% от новой суммы составляют 0,1 1650 = 165 р., и, следовательно, через два года на его счёте будет

1650 + 165 = 1815 р.

10% от новой суммы составляют 0,1 1815 = 181,5 р., и, следовательно, через три года на его счёте будет

1815 + 181,5 = 1996,5 р.

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, “лобовом” подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 5 лет. Между тем этот подсчёт можно провести значительно более просто.

Именно, через год начальная сумма 1500 увеличится на 10%, и поэтому новая сумма составит 110% от начальной, так что начальная сумма увеличится в 1,1 раза. Но в следующем году именно новая, увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%, т. е. снова увеличится в 1,1 раза. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 = 1,1 раза.

Но ещё через год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 = 1,1 раза.

Поскольку 1,1 = 1,331; 1,331 1500 = 1996,5, то через 3 года на счёте окажется 1996,5 р.

При таком способе рассуждений совершенно понятно, что через 5 лет на счёте будет

1,1 1500 = 1,61051 1500 2415,77 р.

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна S р.

p% от S составляют р., и через год на счёте окажется сумма

S = S + = S,

т. е. начальная сумма увеличилась в 1 + раз.

За следующий год сумма S увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счёте будет сумма

S = S = S = S.

Аналогично, S = S и т. д. Другими словами справедливо равенство

S = S.

Это равенство называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

Пусть вкладчик положил в банк 10.000 руб. под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится?

Сначала давайте поймём, как будут накапливаться деньги. Через год на счету вкладчика будет сумма: 10.000 + 10.000 (руб.), т. е. исходная сумма плюс проценты. Ещё через год эта сумма составит + (руб.), т. е. сумма денег после первого года и проценты от денег первого года. Ясно, что дальше всё будет происходить по этой же схеме, однако не складывать же нам все эти суммы до тех пор, пока не получим сумму в 20.000 руб.!

Попробуем найти закон образования суммы вклада после каждого года.

После первого года: 10.000 + 1.000 = 10.000.

После второго года:

10.000 + 10.000 = 10.000 =

=10.000.

После третьего года:

10.000 + 10.000 = 10.000

= 10.000.

Внимательно присмотревшись к правым частям наших равенств, можно заметить закономерность построения этих денежных сумм и увидеть, что через n лет хранения денег их количество составит 10.000 рублей. На самом деле мы сейчас вывели формулу, которая в экономике называется формулой сложных процентов: S = A, где A - начальная сумма вклада, P - процентная ставка (годовая), n - срок хранения вклада (в годах), а S - накопительная (итоговая) сумма вклада.

Итак, в нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле S = = . Нам необходимо найти n, при котором = =, т. е. решить уравнение = .

Мы можем решить это уравнение по определению логарифма числа и получить, что n = log. Вычислим этот логарифм, предварительно перейдя к основанию 10, пользуясь калькулятором.

n = log = = .

Таким образом, удвоение вклада произойдёт через 6 лет (с небольшим).

Рассмотрим этот же пример, но в общем виде. Некоторая сумма денег в A руб. подвержена приросту в p% годовых. Через сколько лет эта сумма составит S руб.? Руководствуясь формулой сложных процентов, имеем уравнение относительно неизвестного n: S = A. Логарифмируя это уравнение по основанию 10 (так как видели, именно с этим основанием удобно работать в случаях с прямыми подсчётами), получим:

lg S = lg,

lg S = lg A + lg, lg S - lg A = n lg,

откуда n = .

Хочется обратить внимание на то, что умение проводить такие расчёты является очень важной составляющей экономического анализа, особенно в случаях с принятием оптимального решения.

Однако мы рассмотрели примеры, когда деньги просто положены под проценты, причём неважно: в банк, в производство и т. д. Но реальные ситуации проводимых операций с деньгами намного более сложные, поэтому посмотрим пример с небольшим усложнением.

Пенсионер 1 января положил на вклад все свои сбережения - 150.000 руб. под 5% годовых. Он намеревается каждый год 31 декабря снимать с вклада по 25 тыс. руб. На протяжении какого периода времени он это может делать?

Рассмотрим сначала ситуацию в общем виде. Пусть A - исходная сумма, S - снимаемая сумма ежегодно, P - процентная ставка.

Тогда через год на счету будет A, а после снятия денег

A ;

через два года:

, или A;

через три года:

, или

A;

через четыре года:

, или

A и т. д.

Получается, что после снятия в конце года денег на вкладе остаётся сумма в количестве

A руб.

Сумма представляет собой конечную геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем , а значит, эта сумма равна

=

Тогда в итоге получаем - закон образования суммы в конце каждого года после съёма денег с вклада. В нашем случае получаем:

,

и нам необходимо найти, при каком значении n эта сумма станет равной нулю.

;

= ;

; ;

; ; ;

; .

Таким образом, выполнение денежных операций в полном объёме возможно на протяжении 7 лет.

Усложним задачу и попробуем определить условия выплаты по банковскому вкладу (с учётом «процентов на проценты»), если клиент банка хочет забрать вклад не в конце года, когда ему должны выплатить p% годовых, а, скажем, через 8 месяцев.

Эти условия должны быть “справедливыми”: ведь весь этот срок банк уже вкладывал куда-то деньги клиента и получал определенную прибыль, и поэтому сумма на счете клиента также должна возрасти на какую-то часть. Но на какую именно? Математический ответ на этот вопрос дают расчеты все по той же формуле сложных процентов.

Пусть за каждые 8 месяцев сумма S возрастает на q%. Тогда через 8 месяцев она станет равной S , через 16 месяцев - S , а ещё через 8 месяцев, т. е. за 24 месяца (за 3 срока) она станет равной S .

Однако 24 месяца - это 2 года, и по условию хранения вклада (p% годовых) сумма на счете должна оказаться равной S .

Поэтому должно выполняться равенство

S = S ,

из которого можно найти коэффициент возрастания вклада за 8 месяцев:

= .

Если воспользоваться данным выше определением дробной степени, то мы будем иметь равенство

= ,

и, следовательно, на счёте вкладчика через 8 месяцев должна оказаться сумма

S = S .

Другими словами, через года сумма на счёте увеличивается в раз.

Данные рассуждения позволяют сделать вывод: формулу сложных процентов можно применять не только для целого числа лет, но и для любого срока хранения вклада.

Например, можно рассчитать месячный процент при объявленных банком p% годовых: через 1 месяц начальная сумма S на счёте должна превратиться в S , т. е. увеличиться в раз.

На практике, однако, часто пользуются более простым расчётом и при p% годовых (с учётом “процентов на проценты”) за 1 месяц выплачивают %. Возникает очень интересный практический вопрос - кто выигрывает от такого упрощения: банк или вкладчик?

Ответить на этот вопрос дает возможность так называемое неравенство Бернулли, из которого, в частности, следует, что для любых x>0 и любого

0 < r < 1 справедливо неравенство

< 1+rx.

При x = и r = получаем, что

< 1+.

Следовательно, в этом случае реальный рост суммы вклада за месяц несколько больше, чем объявленный банком, и поэтому от такого упрощения расчётов выигрывает клиент банка.

В то же время на самом деле можно было обойтись и без неравенства Бернулли. Действительно, если бы за 1 месяц банк выплачивал %, то при простом процентном росте за 12 месяцев он должен был бы выплатить как раз p%, т. е. сумма на счёте составила бы, естественно, больше.

География

«Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как учёные изучают природные и социальные явления».

Колмогоров А.Н.

Для планирования развития городов, других населённых пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчёты - прогнозы на 5, 10, 20 лет вперёд.

Покажем, как в таких расчётах применяются показательная функция и логарифмы.

Задача №1. Население города возрастает ежегодно на 3%. Через сколько лет население этого города увеличиться в 1,5 раза?

Решение. Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов:

Примем население города за a, тогда А = 1,5а, p = 3 и x - неизвестно. Сделав подстановку в формулу и сократив на а, получим:

или

Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его.

xlg1,03 = lg1,5 , откуда x =

Найдя по таблице lg1,5 и lg1,03 , получим

Ответ: Примерно через 14 лет.

Задача №2. Какова была численность населения города 10 лет тому назад, если в настоящее время в городе проживает 300 тыс. человек, а ежегодный прирост населения составляет 3,5%?

Решение. Численность населения изменяется по формуле: В нашей задаче B = 300 тыс. человек, p = 3,5 %, x = 10 лет, - численность населения 10 лет тому назад. Тогда

тысяч человек.

Ответ: численность населения 10 лет назад равна 212,7 тыс. человек.

Используются логарифмы и в расчётах, связанных с изменением атмосферного давления при изменении высоты над уровнем моря.

Задача №3. Зависимость давления атмосферы р (в сантиметрах ртутного столба) от выраженной в километрах высоты h над уровнем моря выражается формулой Вычислим, каким будет атмосферное давление на вершине Эльбруса, высоты которой 5,6 км?

Решение. Вычислим атмосферное давление на вершине Эльбруса высотой 5,6 км:

мм рт. ст.

Задача №4. Высота над уровнем моря вычисляется по формуле где - давление на уровне моря, p - давление на высоте h м. Альпинисты, поднимаясь на пик Победы, достигли высоты, где давление было равно 304 мм рт. ст. Вычислим, на какой высоте находились альпинисты. ( мм рт. ст.)

Решение. Найдём высоту, на которой находились альпинисты:

м

Расчёты в производстве

«Прежде всего, возьмём математику. Общий отдел её, имеющий дело с цифрами, оказывает помощь во всякой промышленной деятельности».

Спенсер Г.

Приведём примеры, демонстрирующие применение показательной функции в экономических расчётах производства. Наукой и практикой экспериментально установлены многие зависимости между величинами, поэтому некоторые формулы, которые будут нами использоваться, мы приводим без вывода. Так, стоимость оборудования цеха через t лет может быть найдена по формуле

,

где - первоначальная стоимость оборудования в рублях, p - ежегодный процент амортизации, В - стоимость оборудования в рублях через t лет. Необходимо вычислить стоимость оборудования через 5 лет, если его первоначальная стоимость , а ежегодный процент амортизации = 5,7%

Решение. Подставим заданные величины в формулу. Получим:

Задача: Стоимость оборудования мастерской равна 500 тыс. р. Известно, что через 10 лет стоимость этого оборудования вследствие амортизации будет равна 200 тыс. р. Найдите процент ежегодной амортизации оборудования.

Решение.

где B = 200 тыс. рублей, тыс. рублей, x = 10 лет.

(%)

Ответ: ежегодный процент амортизации составляет 8,76 %.

Другой пример из расчётов прироста производства древесины.

Лесной участок содержит 6500 древесины. Сколько будет древесины на этом участке через 10 лет, если ежегодный прирост леса составляет в среднем 2%?

Решение. Найдём, сколько древесины будет в лесу через 10 лет по формуле сложных процентов:

где S - результат, А - исходное кол-во товара, р - процент увеличения, n - кол-во лет.

Следующие примеры, которые мы рассмотрим, имеют непосредственное отношение к физике, химии, биологии, экологии и многочисленным смежным наукам. Практическое применение логарифмов в этих науках связано с их возможностью описывать процессы, при которых изменение одной величины в некоторое количество раз ведёт к изменению зависимой величины на некоторое количество раз. Или наоборот, одна величина меняется на, а другая изменяется в. Таким законам подчиняются, например, процессы размножения микроорганизмов, рост колоний бактерий, радиоактивный распад элементов, изменение скоростей химических реакций и т.п. Все эти процессы получили название процессов органического роста, поскольку математическая модель, их описывающая, имеет одну и ту же структуру.

Рассмотрим задачу «0» об органическом росте в общем виде.

Пусть в начальный момент времени имелось q единиц некоторого компонента. В некоторый другой момент времени t имеющийся компонент изменился в p раз. Установите, через какой промежуток времени (начиная с начального момента) этот компонент достигнет заданного количества B единиц.

Для того чтобы это сделать, сначала напомним, что процессы, у которых происходит быстрый рост или быстрое затухание, описываются показательной функцией вида .

В нашем случае будем считать, что начальный момент времени соответствует нулю, тогда , и значит, , т.е. функция, описывающая этот процесс, имеет вид . В следующий момент времени t у нас произошли изменения, описываемые уравнением , т.е. , откуда

Таким образом, по данным условия мы получаем функцию . И теперь ясно, что мы ищем x, при котором , т.е. надо решить уравнение

Выполняя логарифмирование уравнения по основанию 10, получим

Биология

«В нашу современную жизнь вторгается математика с её особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога».

Гнеденко Б.В.

Задача №1. В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий?

Решение. В обозначениях задачи «0» эти данные записываются следующим образом:

Значит, требуемое время соответствует значению выражения , т.е. примерно через 3 ч 15 мин.

Задача №2. Численность популяции составляет 5 тыс. особей. За последнее время в силу разных причин (браконьерство, сокращение ареалов обитания) она ежегодно сокращалась на 8%. Через сколько лет (если не будут предприняты меры по спасению данного вида и сохранятся темпы его сокращения) численность животных достигнет предела - 2 тыс. особей, за которым начнётся вымирание этого вида?

Решение. Применим для вычисления времени формулу сложных процентов:

где

2 тыс. - численность животных по истечению искомого времени;

5 тыс. - численность животных в начальный момент времени;

p = 8 - % сокращения численности животных.

Предварительно разделив обе части уравнения на 1000, получим:

лет.

Ответ: приблизительно через 11 лет.

Задача №3. Примером быстрого размножения бактерий является процесс изготовления дрожжей, при котором по мере их роста производится соответствующая добавка перерабатываемой сахаристой массы. Увеличение массы дрожжей выражается показательной функцией: где первоначальная масса дрожжей, t - время дрожжевания в часах, m - масса дрожжей в процессе дрожжевания. Вычислим m, если 10 кг и t = 9 ч.

Решение. Вычислим массу дрожжей в процессе дрожжевания:

кг.

Ответ: масса полученных дрожжей: кг.

Разбирая задачу №1, нам очень важно понимать его условность. Ведь действительно, мы учитываем только рост численности бактерий, совершенно не интересуясь такими факторами, как естественная смерть бактерий, временная ограниченность питательного компонента (когда его со временем становится меньше), или, скажем, такой экзотический фактор, как наличие в размножающейся колонии бактерий-паразитов и т.п. Учёт всех этих факторов существенно усложнит построение математической модели ситуации и потребует привлечения иных средств математики для её описания. С некоторыми из этих средств мы познакомимся в курсе математического анализа, а впоследствии вы продолжите их изучение в высшем учебном заведении и, если захотите, на профессиональном уровне. Сейчас же заострять на этом внимание не будем.

Задача №4. Известно, что соотношение между углеродом и его радиоактивным изотопом во всех живых организмах постоянно. Период полураспада углерода составляет 5760 лет. Определите возраст останков мамонта, найденных в вечной мерзлоте на Таймыре, если относительное содержание изотопа в них составляет 26% от его количества в живом организме.

Возвращаясь снова к результатам примера 1 и считая, что изначально изотопа было m , получим: , и значит,

Итак, возраст останков мамонта составляет примерно 11 200 лет.

В природе существуют радиоактивные вещества, которые распадаются с течением времени. Промежуток времени, за который число радиоактивных атомов данного вещества уменьшается вдвое, называется периодом полураспада и обозначается буквой Т.

Химия

«И естествоиспытателем нельзя быть, не получивши начальных знаний в географии, математике и т.п.»

Менделеев Д.И.

Наши исследования задач по химии школьного и расширенного курса изучения позволили нам выделить ряд типов задач, при решении которых используются логарифмы:

- равновесные процессы

- гидролиз растворов солей

- скорость химической реакции изучает раздел кинетика

- расчёт рН

Приведём примеры решения данных типов задач.

1) Равновесные процессы

Задача №1.Константа равновесия реакции СО + Сl₂ = COCl₂ при 600° равна 6,386. В каком направлении будет протекать реакция, если в 1 л реакционной смеси находятся а) 1 моль CO : 1 моль Сl₂ и 4 моль СОСl₂ ?

Решение.

Для решения используем уравнение

?G = RT

1)Рассчитываем произведение концентрации веществ:



v(СОСl₂) = 4 моль

н (СО) = 1 моль

н (Сl₂) = 1 моль

= 4

2) ?G = RT

?G= RT ln 0,63

?G < 0, т.к. R>0, T>0, ln 0,63 < 0 (т.к. e>0, 0,63 < 1 - по свойству логарифмов), следовательно, самопроизвольно будет протекать прямая реакция.

Ответ: будет протекать прямая реакция.

2) Гидролиз растворов солей

Задача №2. Константа скорости гидролиза при 25° равна 3,2 * 10^-3 час^-1. Рассчитайте а) время за которое гидролизу подвергается 10 % исходного количества сахарозы; б) период полупревращения реакции.

Решение.

Рассматриваемая реакция является реакцией первого порядка, т.к. константа имеет размерность час^-1.

Для ответа на вопрос а) используем уравнение

ln = kф

C_ф

c_ф = 100% - 10% = 90%

 1 c_o

ф = -- ln -- = = 32,9

k c_ф

б) Период полураспада рассчитывают по формуле:

ф_0,5 = = 216 час.

Ответ: а) ф = 32,9

б) ф_0,5 = 216 час

3) Скорость химической реакции изучает раздел кинетика

Задача №3. Оцените, во сколько раз возрастает скорость реакции разложения угольной кислоты при 110К, если энергия активации некаталитической реакции равна 86 кДж/моль, а в присутствии карбоангидразы энергия активации равна 49 кДж/моль (считать, что величина предэкспоненциального множителя не меняется).

Решение.

Для решения используют уравнение Аррениуса:

?Е_а= RT ln , где

k¹ - константа скорости каталитической реакции,

k - константа скорости некаталитической реакции;

?Е_а= 86 кДж/моль - 49 кДж/моль = 37 кДж/моль; тогда

ln = = 14,34

отсюда следует, что

= e^14,34 =

Ответ: в присутствии карбоангидразы скорость реакции возрастает в раз.

Задача №4. Потенциал платинового рекорд-электрода в растворе, содержащем смесь солей железа(2) и железа(3), при 298К равен 0,783В. Вычислите отношение концентраций ионов Fe³⁺ и Fe²⁺.

Решение.

В соответствии с уравнением Нернста:

c(Fe³⁺)

Ц_r = ц⁰ Fe³⁺/ Fe²⁺ + 0,059 lg ------ ; отсюда

c(Fe²⁺)

c(Fe³⁺) ц_r - ц⁰_r 0,783 - 0,771

lg --------- = ---------- = ------------------ = 0,2034

c(Fe²⁺) 0,059 0,059

c(Fe³⁺)

-------- = 1,6

c(Fe²⁺)

Ответ: отношение концентраций ионов Fe³⁺ и Fe²⁺ равно 1,6.

Задача №5. Реакция при температуре 50°С протекает за 2 мин. 15 сек. За сколько времени закончится эта реакция при температуре 70°С, если в данном температурном интервале температурный коэффициент скорости реакции равен 3?

Решение

При увеличении t с 50° до 70° С скорость реакции в соответствии с правилом Ван-Гоффа возрастает :

= г^(t2-t1)/10

Где t₂ = 70° С, t₁=50°C, а х_t2 и х_t1- скорости реакции при данных температура.

Получаем

= 3^(70-50)/10 = 3² = 9

Т.е. скорость реакции увеличится в 9 раз.

В соответствии с определением реакции обратно пропорциональна t реакции, следовательно

,

где ф - время реакции при температуре t₁ и t₂, следовательно

ф _t2 = ф _{t1 *} х_t1/ х_t2

Учитывая, что ф _t1= 135 сек., определяем t при 70°С:

ф _t2= 135 * 1/9 = 15 сек.

Ответ: ф _t2=15 сек.

Задача №6. На сколько градусов надо повысить температуру для ускорения химической реакции в 59000 раз, если скорость реакции растёт в геометрической прогрессии со знаменателем, равным 3 при повышении температуры на каждые 10°?

Решение.

3^x=59000; lg 3^x = lg 59000; x lg3 = 59000;

10° · x = 100°

Ответ: надо повысить температуру на 100° для ускорения химической реакции.

4) Расчёт рН

Задача №7. Вычислите pH раствора соляной кислоты с = 0,003 моль/л.

Решение.

Для сильных кислот можно считать, что степень ионизации их в разбавленных растворах равна 1, тогда с(Н₃О⁺) = с(НВ), т.е.

рН = -lg c(HB) = -lg c(HCl) = -lg 0,003 = 2,52.

Ответ: рН = 2,52.

Физика

«Математические методы становятся не только методами, которые используются в механике, физике, но общими методами для всей науки в целом»

Соболев С.Л.

Например. Для урана-238 Т = 4,56 млрд. лет; для радия-226 Т = 1590 лет; для цезия-137 Т = 31 год; для йода-131 Т = 8 суток; для радона-222 Т = 3,81 суток.

Пусть Т - период полураспада радиоактивного вещества, а t - время, прошедшее с начала наблюдения. Отношение - мера протекшего времени при условии, что за единицу времени берётся период полураспада. Тогда, где - масса вещества в начальный момент t = 0, а m - масса вещества по прошествии времени t. Если взять t=T , то получим , т.е. остающаяся в результате распада масса составляет половину исходной массы. Так и должно быть по определению самого понятия периода полураспада.

Задача №1. Чему равна масса йода-131 к концу четвёртых суток с начала наблюдения, если в начальный момент его масса составляла 1г?

Решение. = 1г; Т = 8 сут.; t = 4 сут.; m - ?

; г.

Ответ: m 0,7 г.

Используя эту же формулу, можно решить следующую задачу.

Задача №2. Первый международный эталон радия был изготовлен Марией Кюри в августе 1911 г. и содержал 16,74 мг чистого радия. Какое количество радия содержалось в этом эталоне в 1991 г., если оно вычисляется по формуле где 16,74 мг, Т = 1600 лет и t - время, прошедшее после 1911 г.?

Решение. Найдём количество радия в 1991 году:

мг

Ответ: 16,17 мг

Астрономия

Приведём один пример использования логарифмов в астрономии.

Увеличение диаметра объектива телескопа позволяет видеть всё большее количество звёзд, не различимых простым глазом. При этом предельная «звёздная величина» k звёзд, видимых через телескоп, вычисляется по приближённой формуле

k = 7,5 + ,

где D - диаметр объектива телескопа в сантиметрах. Например, при D = 8 см k = 7,5 + 12. Значит, через телескоп можно увидеть звёзды до 12-й величины. Вычислите k, если D = 16 см.

Подставим данное значение диаметра в формулу. Получим:

k = 7,5 + 13,5.

Ответ: .

Сравнить числа и .

Нетрудно сообразить, что воспользоваться калькулятором или компьютером для их сравнения нам не удастся, поскольку такие числа просто в них «не влезут». Поэтому мы найдём десятичные логарифмы этих чисел, и у нас получится:

Поскольку 2004 > 3, то можно применить неравенство которое позволит записать верное числовое неравенство , откуда и значит, руководствуясь тем, что функция возрастающая, окончательно получим:

Разбирая пример о сравнении чисел, мы говорили о том, что числа и «не влезут» в калькулятор или в компьютер потому, что они «очень большие». Интересно, а как вообще можно установить, сколько цифр содержит десятичная запись числа, представленного подобным образом? Ну, например, сколько цифр содержится в десятичной записи числа ?

Определите, сколько цифр содержится в десятичной записи числа .

Сначала поймём, что от нас требуется. Как известно, запись числа в десятичной системе является поразрядной, следовательно, нам необходимо найти число разрядов. А вот теперь главное: число разрядов, например, у чисел 243, 576 ,831 одинаковое, так же оно будет одинаковым и у всех четырёхзначных чисел, и у всех пятизначных и т.д. Значит, мы можем искать количество цифр не в числе , а в каком-нибудь другом числе, более удобном, лишь бы количество разрядных единиц было совпадало. Но в такой ситуации самым удобным является число, представляющее собой степень десятки. Ведь эти числа всегда начинают разрядную группу и к тому же легко записываются: .

Так, двузначные числа начинаются с 10, трёхзначные с … Единственное, что нам пока не нравится, это несовпадение разряда со степенью n , ведь двузначным числам отвечает n=2 и т.д. Поэтому мы, понимая, что ищем число с большим количеством разрядов, заменим его на число вида

Итак, задача сводится к нахождению наибольшего натурального значения n , при котором верно неравенство . А решение таких неравенств для нас уже пустяки.

Используя калькулятор, получаем, что Значит, наибольшим натуральным значением будет число 45, а следовательно число - сорокапятизначное.

Заключение

В заключении работы можем сказать, что мы не исчерпали всех примеров применения логарифмов, так как сделать это очень сложно. Логарифмы находят самое широкое применение при обработке результатов тестирования в психологии и социологии, в составлении прогнозов погоды и даже в музыке (представляя собой ступени темперированной 12-ти звуковой гаммы частот звуковых колебаний), а также других областях науки и техники.

Главное мы достигли поставленной цели и поняли, как широко применяются знания логарифмов и показательной функции.

логарифмический банковский процент показательный

Используемая литература

1. В.К. Совайленко, О.В. Лебедева «Алгебра и элементарные функции 10 класс». Ростов-на-Дону «Феникс» , 1998 год

2. Г.В. Дорофеев, Е.А. Седова «Процентные вычисления 10 - 11 классы» «Дрофа», Москва 2003 год

3. П.И. Самсонов «Математика»: «Полный курс логарифмов. Естественнонаучный профиль». «Школьная пресса», Москва 2005 год

4. М.М. Лиман «Школьникам о математике и математиках» «Просвещение», Москва 1981 год

Размещено на Allbest.ru