Решение сингулярных интегральных уравнений, ограниченных на обоих концах, методом подобластей и их реализация в пакете Mathematica

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ОТДЕЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В

ГУМАНИТАРНОЙ СФЕРЕ

Специальность: 230202.65 - «Информационные технологии в образовании»

КУРСОВАЯ НА ТЕМУ:

«Решение сингулярных интегральных уравнений, ограниченных на обоих концах, методом подобластей и их реализация в пакете Mathematica»

Работу выполнил:

Студент 3 курса группы 901ист очного отделения бюджетной формы

обучения Желтов Владислав Сергеевич

Работу проверил:

Научный руководитель:

к.ф.-м.н., старший преподаватель

Хайруллина Лилия Эмитовна

Казань - 2013

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1.1 Решение сингулярного интегрального уравнения, ограниченного на обоих концах, методом подобластей

§1.2 Метод подобластей

§1.3 О программе Matchematica

ГЛАВА 2. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ПОДОБЛАСТЕЙ В ПРОГРАММЕ MATHEMATICA

§2.1 Метод Гаусса

§2.2 Функции, используемые при решении с.и.у

§2.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений метода подобластей в программе Mathematica

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. В настоящее время теория сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши широко применяются в математических и технических исследованиях.

Интегральные уравнения используются в качестве основы математических моделей прикладных задач (электродинамики, теории упругости, гидро- и аэродинамики), методом интегральных уравнений могут быть исследованы также многие фундаментальные задачи математической физики. сингулярный интегральный подобласть matchematica

Целью является решение сингулярного интегрального уравнения методом подобластей и его программная реализация в пакете Mathematica.

Для достижения цели курсовой работы поставлены следующие задачи:

1) описать корректную постановку задачи решения сингулярного интегрального уравнения, ограниченного на обоих концах;

2) описать метод подобластей и решения заданного уравнения;

3) описать пакет Mathematica и реализовать в нем метод подобластей.

Структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Во введении дается постановка задачи исследования, описываются цели и структура работа. Первая глава - теоретическая. Здесь вводится корректная постановка задачи, описывается метод подобластей. Вторая глава практическая - здесь численно решаем систему метода подобластей в пакете Mathematica. В заключении подводятся краткие итоги исследования. В приложении приводится код программы.

ГЛАВА 1. РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1.1 Решение сингулярного интегрального уравнения, ограниченного на обоих концах, методом подобластей

В этом параграфе исследуется сингулярное интегральное уравнение

(2.1)

где h(t,r), f(t) - известные непрерывные функции, x(r) - искомая функция, а сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.

Вводится новая пара пространств, на которых задача решения уравнения (2.1) будет корректно поставленной.

Корректная постановка задачи на паре пространств ,

.

Пусть - пространство непрерывных на [-1,1] функции x(t), для которой сингулярный интеграл I(px;t) также является непрерывной функцией, где . В качестве выберем пространство непрерывных на [-1,1] функций f(t) таких, что является функцией непрерывной на (-1,1), допускающей непрерывное продолжение на концы отрезка, где и выполняется условие

(2.2)

Нормы этих пространств определим соответственно следующим образом:

; (2.3)

; (2.4)

Тогда с.и.у. (2.1) может быть также записано в виде операторного уравнения

, (1.5)

где операторы определяются по формулам

(1.6)

Лемма 2.1. Сингулярный оператор непрерывно обратим и справедливы равенства

Доказательство. Рассмотрим характеристическое уравнение

Известно, что оператор обратим, причем

Покажем, что операторы непрерывны. Для этого достаточно показать, что они ограничены. Используя определения норм (2.3), (2.4), имеем

(2.5)

(2.6)

Из соотношения (2.5) и (2.6) следует утверждение леммы.

Пространства являются полными.

Из теории Рисса-Шаудера для уравнений, приводящихся к уравнениям второго рода, и леммы 2.1 следует

Теорема 2.1. Пусть ядро h(t,r) таково, что оператор вполне непрерывен. Если однородное уравнение, соответствующее уравнению (2.1), имеет только нулевое решение, то оператор непрерывно обратим.

Обозначим через оператор метода подобластей, ставящий в соответствие любой функции алгебраический полином , однозначно определяемый из условий

Лемма 2.4 Для любой функции справедлива оценка

(2.10)

Если , то справедливо соотношение

(2.11)

Доказательство. По определению нормы (2.4) имеем

Известно, что

Рассмотрим второе слагаемое. Разложим в ряд Фурье по полиномам Чебышева первого рода. Имеем

Следовательно,

Докажем оценку (2.11). Имеем

Известно, что

Рассмотрим второе слагаемое.

Разложим в ряд Фурье по полиномам Чебышева первого рода с учетом теоремы Джексона, получим

Из (2.12) и (2.13) следует доказываемая оценка (2.11).

§1.2 Метод подобластей

Приближенное решение уравнения (2.1) будем искать в виде многочлена по полиномам Чебышева второго рода

коэффициенты которого определим из условий

где

Эти условий дают систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов полинома (2.14):

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия:

А) Сингулярное интегральное уравнение. (2.1) однозначно разрешимо в пространстве при любой правой f(t) части из ;

Б) функция по переменной t равномерно относительно r.

Тогда, начиная с некоторого СЛАУ (2.17) имеет единственное решение и приближенные решения сходятся к точному со скоростью

§1.3 Программе mathematica

Система Mathematica создана американской компанией Wolfram Research, Inc., глава и основатель которой - известный физик и математик Стефан Вольфрам (Stephen Wolfram) - является основным автором разработки. Еще в 70-х годах молодой исследователь, работая в различных областях физики, обратил внимание на то, что ученым очень часто встречаются похожие комплексы громоздких математических выкладок, отнимающие много времени. Проводить такие вычисления в то время можно было либо "в лоб" - вооружившись ручкой и тетрадкой, либо с помощью "заказных" компьютерных программ узкой специализации. Кроме того, становилось понятно, что некоторыми направлениями научных исследований невольно пренебрегают лишь потому, что для формирования математических моделей и анализа результатов (в числовой, символьной и графической форме) пока еще не существует подходящих средств.

Задавшись целью обеспечить ученых производительным математическим инструментом, Вольфрам собрал коллектив разработчиков для определения архитектуры новой (как теперь говорят, полностью эксклюзивной) компьютерной системы. В августе 1987 года была основана Wolfram Research, а на следующий год - в июне 1988 года - официально вышла первая версия системы Mathematica на платформе Macintosh. Программа сразу же получила очень хорошие отзывы со стороны ведущих (и не только математических) изданий мира. Еще менее чем через полгода появилась версия Mathematica для компьютеров с MS-DOS. С тех пор были разработаны версии системы для Microsoft Windows, Windows NT, OS/2, Linux, Unix, Convex и т.д. - всего более чем для 20 операционных систем и аппаратных средств.

К 1996 году в мире было уже зарегистрировано свыше миллиона постоянных пользователей системы.

Типичный рабочий вид программы показан на рис. 1. Он состоит из основного меню программы (в верхней части экрана), окна рабочего документа или "блокнота" (notebook) и панели для ввода спецсимволов и знаков наиболее употребляемых математических операций (в Mathematica имеется возможность вызова еще шести стандартных панелей, позволяющих ускоренно производить обработку символьных выражений, управлять стилем оформления блокнота и т.д.; кроме того, пользователь сам может создать подобную панель с набором нужных ему спецсимволов и команд).

Для того, кто собрался впервые поработать с Mathematica, трудности могут начаться немедленно. Все, что система предлагает при запуске, - это чистое рабочее окно нового блокнота. Однако достаточно небольшого опыта работы с компьютером, чтобы постепенно освоиться и уже в скором времени признать - по широте охвата математического материала, по возможностям оформления рабочих документов и, в особенности, по части интерфейса Mathematica как минимум не уступает всем другим математическим системам вместе взятым.

Mathematica является ведущим программным продуктом для обработки числовых, символьных и графических данных, повсюду используемым профессионалами практически в каждой ветви научных и технических вычислений. Mathematica позволяет пользователям решать, наглядно представлять и использовать силу математики без карандаша, калькулятора или привычного сложного программного подхода, необходимых прежде. Mathematica обходится механизмами математики, поэтому люди могут концентрироваться на содержании и смысле своей работы. Сочетание новых быстрых встроенных алгоритмов, улучшенные возможности экспорта и импорта, и новые свойства обработки документов делают Mathematica 4 идеальной совершенной компьютерной средой как для окончательного моделирования, так и для разработки.

Mathematica может использоваться как диалоговое вычислительное средство и как высокоуровневый язык программирования. Некоторые общие виды использования включают следующее:

· диалоговый числовой и символьный калькулятор;

· система для визуального и звукового представления функций и данных;

· высокоуровневый язык программирования, позволяющий создавать различные программы;

· среда для моделирования, имитации и анализа данных;

· система представления знаний в математической и технической сферах;

· язык контроля внешних программ и процессов;

· высокоуровневая оболочка для работы с файлами, текстами и данными;

· средство для создания интерактивных документов, содержащих тексты, анимационную графику и активные формулы;

· технический инструмент публикации для традиционной печати и web.

Половина зарегистрированных пользователей Mathematica -- это коммерческие и правительственные организации, другая половина - академические заведения. Mathematica сегодня используется в каждом из пятнадцати основных министерств правительства США.

В научном мире все 50 важнейших университетов США, предоставляющих степень доктора физико-математических наук, используют Mathematica . Учебные учреждения всего мира используют Mathematica в университетском образовании. Академические издательства используют технологии Mathematica для создания сетевых версий традиционных текстов, например, с помощью Mathematica популярный учебник арифметики был полностью переведён в интерактивную электронную версию.

В настоящее время более половины продаж компании Wolfram Research осуществляются на международном рынке. Филиалы компании в Европе и Японии контролируют международные продажи и маркетинг, и сейчас компания начала создание местных версий продукта. Была создана японская версия Mathematica с цельным интерфейсом, включающим в себя меню, палитры, окна диалога, сообщения и предупреждения об ошибках, и более тысячи страниц помощи-и всё это на японском языке. Сейчас Япония является вторым после США рынком для Mathematica.

Хотя Mathematica заняла прочное положение на рынке профессионального программного обеспечения, у неё остаются практически неограниченные возможности для роста. По оценкам американского министерства по трудоустройству, только в США существует 4,2 миллиона профессионалов в технической сфере. Около двух миллионов из них инженеры и только около восьмисот тысяч - математики. И пока Mathematica закрепляет свои позиции как фактический стандарт в таких областях, как математические и физические исследования, другие области, включающие в себя естественные и общественные науки, технику и финансовый анализ остаются полными потенциальных покупателей продукции компании Wolfram Research.

Mathematica была впервые выпущена 23 июня 1988 года и незамедлительно получила высочайшую оценку как научных и технических кругов, так и масс-медиа. В 1991 году фирма Wolfram Research представила вторую версию Mathematica, включающую в себя усовершенствованный язык программирования, компилятор и возможность использования готовых звуковых схем. Третья версия, выпущенная в 1996 году, представила Mathematica как пакет с новым, простым в использовании интерфейсом с кнопками и палитрами. Mathematica 4 предлагает намного ускоренные численные вычисления, расширенное взаимодействие с другими программными продуктами, и множество улучшений в пользовательском интерфейсе, что облегчает программирование и техническую публикацию, делает Mathematica всеобъемлющей ideas to result технической вычислительной средой.

Координаторы запусков межпланетных космических зондов используют Mathematica для представления оценки риска путём исследования всех комбинаций ошибок запуска, которые могут повлечь выброс вредных веществ в атмосферу. Затем отдельная команда оценки риска использует графические возможности Mathematica для отображения возможных путей вредных частиц, возникающих при авариях в первые минуты после запуска.

Руководитель производства сложного оборудования использует Mathematica для построения моделей комплексной защиты машин. Графические и символьные способности пакета позволяют всему отделу подсчитать оптимальные характеристики без ручных вычислений путём проб и ошибок, экономя 10 месяцев при работе только над одним проектом.

Финансовый аналитик международной банковской компании использует. Mathematica для моделирования роста цен, он может объединять как символьные, так и численные значения.

Другой врач пользуется Mathematica для создания математических моделей распространения инфекционных заболеваний, здесь особенно ценны графические возможности среды.

Исследователь использует Mathematica для моделирования привычек пчёл. Mathematica позволяет ему скомбинировать данные о поведении пчёл с формулами, прогнозирующими их перемещение для создания графиков, иллюстрирующих поведение пчёл при сборе пыльцы.

Студент изучает традиционный курс алгебры, дополненный Mathematica. Поскольку Mathematica берёт на себя большинство обременительных вычислений, он может рассмотреть намного больше различных примеров и графиков, чем с бумагой и карандашом или графическим калькулятором. Используя Mathematica, он изучает концепции и правила алгебры вместо стандартных методов вычисления.

Школьник использует Mathematica для изучения криптографии, и он создал новый алгоритм, способный произвести революцию в сфере компьютерной передачи секретной информации. Алгоритм ускоряет шифровку данных на 30% по сравнению с действующим промышленным стандартом. Способность пакета Mathematica оперировать большими числами без потери точности благоприятствует исчерпывающим исследованиям математических концепций и идей.

Разработчик компьютерных игр использует Mathematica для разработки и поддержки электронной базы данных для игроков. Он запрограммировал Mathematica на автоматическую распаковку информации, создание JPG-изображений и HTML-файлов. Гибкость встроенного языка программирования позволяет разработчику осуществлять ежедневное обновление базы данных, обрабатывая при этом большое количество данных и графики.

Разработчик программного обеспечения пользуется функцией HTMLSave для разработки сетевой документации для научных программных приложений. В настоящее время он создаёт, редактирует и преобразовывает программные руководства для публикации на web-сайте лишь при помощи блокнота в среде Mathematica.

Работа в системе Mathematica происходит в режиме сессии (session) или сеанса.

Во время сессии можно работать попеременно с несколькими документами.

Решение любой задачи начинается с набора выражения, содержащего символы, числа, строки, для вычисления которого следует нажать клавиши Shift+Enter.

Если выражение набрано без синтаксических ошибок, Mathematica вычислит его, при этом набранное выражение будет помечено ремаркой In[1]:=, а полученый ответ - ремаркой Out[1]:=. В противном случае Mathematica выдаст сообщение об ошибке. Под выходной ячейкой имеется горизонтальная черта- это означает, что Mathematica готова принять новое выражение. (Чигарев А.В., Кравчук А.И., Кравчук А.С.[3, с.7]).

Система Mathematica содержит обширный справочный материал, сосредоточенный, в основном, в Help Browser (подсистема просмотра справочной информации), где помимо справочного материала содержится довольно много фактического материала в виде дополнительных пакетов и примеров. При этом удобно, что вся информация Help Browser представлена в виде NoteBook.

Справочные средства ядра вызываются командами ? и ??. Для получения информации о любом объекте, известном ядру системы, следует выполнить команду ?<имя объекта>

Многие встроенные функции системы Mathematica имеют необязательные дополнительные параметры - опции. Вывести список всех опций той или иной функции, а также их значения по умолчанию позволяет команда Options[]. Работая с документами системы Mathematica, часто приходится прибегать к набору всевозможных математических символов и выражений. Для их ввода можно использовать, как уже отмечалось выше, палитры из стандартного набора (Basic Input, Basic Typesetting, Complete Characters).Однако большинство часто употребительных специальных символов имеют соответствующие комбинации клавиш на клавиатуре, которыми удобно пользоваться для ускорения ввода с клавиатуры математических выражений:

[ctrl] + [6] степень

[ctrl] + [/] дробь

[ctrl] + [2] корень квадратный

[ctrl] + [2] - [ctrl] + [5] радикал и другие.

Система Mathematica обладает огромным числом так называемых «встроенных» функций, которые становятся доступными непосредственно после загрузки системы. Встроенных функций обычно оказывается вполне достаточно для выполнения широкого круга вычислений. Однако при работе в какой-либо специализированной области могут понадобиться иные функции, определенные в отдельно хранящихся специализированных программах и существенно расширяющие возможности пользователя. Такие программы сосредоточены в 13 пакетах или поддиректориях директории PACKAGES. Каждый из перечисленных пакетов имеет свои поддиректории, содержащие соответствующие функции, расширяющие возможности системы Mathematica. Для подключения того или иного пакета можно воспользоваться функциями Needs и Get.Mathematica содержит обширный набор математических функций, полный перечень которых можно найти в Help Browser. Такие, как:

Sqrt [x] квадратный корень

Sin[x], Cos[x], Tan[x] тригонометрические функции

Abc[x] модуль числа х (|х|)

n! факториал числа

Аргументы всех функций в программе Mathematica заключаются в квадратные скобки (круглые скобки используются только для группировки операндов в операциях) и наименования встроенных функций обязательно начинаются с заглавных букв. Одна из наиболее важных особенностей системы Mathematica - то, что она позволяет выполнять помимо вычислений символьные (алгебраические) преобразования. Можно напечатать любое алгебраическое выражение, используя основные арифметические операторы. Система автоматически выполнит основные алгебраические упрощения. Палитра Algebraic Manipulation позволяет осуществлять алгебраические операции и использовать программу как калькулятор.

Приведем описание доступных функций:

Expand раскрытие скобки

Factor раскладывает на множители

Together приводит к общему знаменателю

Simplify пытается упростить выражение

FullSimplify производит упрощение выражения, приводя более

тщательный анализ, чем Simplify

ComplexExpand Раскрывает комплексные выражения, при этом

PowerExpand Раскрывает все степени степеней и произведений

TrigToExp Преобразует тригонометрическое выражение в

экспоненциальное (Чигарев А.В., Кравчук А.И., Кравчук А.С.[3, с.25]).

ГЛАВА 2. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ПОДОБЛАСТЕЙ В ПРОГРАММЕ MATHEMATICA

§2.1 Метод Гаусса

Метод Гаусса -- классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Алгоритм

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

· На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

· На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построитьфундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Опишем метод:

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица  называется основной матрицей системы,  -- столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных .

Тогда переменные  называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть  для любых .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом  (, где  -- номер строки):

,

где 

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

§2.2Функции, используемые в программе при решении с.и.у

Списки. Списки используются, чтобы представлять векторы, матрицы, тензоры, наборы, диапазоны интегралов и графиков, и группы параметров в функциях. Списки даны в фигурных скобках, и их элементы разделены запятыми.

Распространенный способ генерировать список с командой Table. Здесь {x, 2, 10} также список, который определяет, что x идет от 2 до 10.

Значения, которые присваиваются переменным, сохраняются до тех пор, пока их не очистят или пока не завершить сеанс Mathematica. У x и y все еще есть численные значения, они были присвоены ранее.

Чтобы избежать такого неожиданного поведения, хорошо очистить значения переменных, как только Вы закончили использовать их.

Определяет функцию f.

Добавление строки, увеличение матрицы

Для этого воспользуемся функцией Join.

Транспонирование матрицы

Оценка значения по Коши

§2.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений метода подобластей в программе Mathematica

Решим СЛАУ (2.17) методом Гаусса в программе Mathematica. Выбираем

значение n=2, h=(t+10*z),

Задаём формулу для нахождения узлов :

Чтобы получить одну общую систему со столбцом свободных членов, найдем значение r :

Вычисляем значения функции в узлах :

Далее используем функцию Join , объединяем систему и столбец свободных членов, обозначив эту систему за m:

m=Join[r,{Table[f[i],{i,1,n}]}]//N

Затем транспонируем систему, которую получили. Воспользуемся формулой прямого хода метода Гаусса :

Do[M[[j]]=M[[j]]/M[[j,j]]//N; Do[M[[i]]=M[[i]]-M[[j]]M[[i,j]]//N,{i,2+j-1,n}],{j,1,n}]

В нашем случае многочлены Чебышева первого рода определяются с помощью рекуррентного соотношения:

U[0,t]=1;

U[1,t]=2*t;

U[i_,t_]:=2*t* U[i-1,t]-U[i-2,t]

Затем воспользуемся формулой обратного хода метода Гаусса и найдем все x.

Проверяем правильность найденного решения, с помощью

функции CauchyPrincipalValue. Для этого подключаем приложение:

<<NumericalMath`CauchyPrincipalValue`

Задаём пределы интегрирования, точки сингулярности, выбрав при этом r=0,2

Результат: 3,987

Подставим r=0,2 в . Получим 4,04.

Так как разница получилась не очень большая, можно сказать, что решение получено достаточно близко к точному решению.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой работе представлен алгоритм решения сингулярного интегрального уравнения, ограниченного на обоих концах, методом подобластей в пакете Mathematica.

- Подробно рассмотрены используемые функции, метод Гаусса и его реализация в программе Mathematica;

- Система метода подобластей решена методом Гаусса;

- Найдено решение, близкое к точному решению;

- Решение найдено методом подобластей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хайруллина Л.Э. Равномерная сходимость приближенных решений сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши.-М.:[Автореферат] //Хайруллина Л.Э. Равномерная сходимость приближенных решений сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши.-М, 2011.(Дата обращения:20.04.2013)

2. Мостовский А.П. Числовые методы и система Mathematica: [Электронный учебник]// Мостовский А.П. Численные метода линейной алгебры, 2009.(Дата обращения: 20.04.2013)

3. Чигарев А.В., Кравчук А.И., Кравчук А.С. Основы система Mathematica: [Электронный учебник]// Чигарев А.В., Кравчук А.И., Кравчук А.С. Структура системы Mathematica, 2002. (Дата обращения: 18.04.2013)

Электронные ресурсы:

1.Центр документации Mathematica// Интернет ресурс:http://reference.wolfram.com/mathematica/guide/Mathematica.html

2.Учебник Mathematica (включен в программу Mathematica 5.0)

3. Википедия//Интернет ресурс: http://ru.wikipedia.org/

ПРИЛОЖЕНИЕ



Размещено на Allbest.ru