Рациональное возмущение линейных дифференциальных систем, не изменяющих отражающую функцию

Наряду с дифференциальной системой

(2.1)

будем рассматривать множество систем

(2.2)

где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Систему (2.2) назовём возмущённой, а добавку возмущением. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем (2.1) и (2.2).

Как известно, отражающая функция системы (2.1) обязана удовлетворять следующему соотношению

(2.3)

Для решения поставленной задачи нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 2.1. Для любых трёх вектор-функций

имеет место тождество

(2.4)

Доказательство.

Будем преобразовывать левую часть тождества (2.4)

Лемма доказана.

Лемма 2.2. Пусть есть отражающая функция системы (2.1) с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор-функции функция

(2.5)

удовлетворяет тождеству

 (2.6)

Доказательство.

Подставив функцию (2.5) в выражение , придем к следующим тождествам:

Выразим из соотношения (2.5) частную производную , подставим в последнее тождество и будем преобразовывать получившееся выражение:

Применив к первым двум слагаемым последней части этой цепочки тождеств тождество (2.4) придем к следующим соотношениям:

Выразим из соотношения (2.2) выражение, находящееся в скобках последнего тождества и подставим в последнее из получившихся тождеств:

Учитывая определение функции , полученное тождество можно переписать в виде

Мы пришли к соотношению

Прибавив к левой и правой частям этого соотношения выражение , придем к нужному нам тождеству (2.5) и тем самым докажем лемму.

Лемма доказана.

Теорема 2.1. Пусть вектор-функция является решением диф- ференциального уравнения в частных производных

(2.7)

Тогда возмущенная дифференциальная система (2.2) где произвольная непрерывная скалярная нечетная функция, эквивалентна дифференциальной системе (2.1) в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Пусть отражающая функция системы (2.1) Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению(2.3). Покажем, что помимо этого уравнения при условиях теоремы она удовлетворяет тождеству

(2.8)

С этой целью введем функцию по формуле (2.5). Согласно предыдущей лемме, эта функция удовлетворяет тождеству (2.6). При условиях доказываемой теоремы, с учетом соотношения (2.6) это тождество переписывается в виде

Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции верно тождество , имеют место соотношения

Поставим следующую задачу Коши для функции :

Решение этой задачи существует и единственно [5, с.66]. Таким образом, имеет место тождество влекущее за собой тождество(2.8).

Теперь покажем, что отражающая функция дифференциальной системы (2.1) является также и отражающей функцией дифференциальной системы (2.2). Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения (2.3), которое в данном случае должно быть переписано в виде

(2.9)

Последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечетность функции , приходим к следующей цепочке тождеств:

Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое - потому, что для отражающей функции системы (2.1) верно тождество(2.3), второе - потому, что при условиях теоремы верно тождество(2.8). Следовательно, тождество (2.9) выполняется, и функция является отражающей функцией системы(2.2).

Теорема доказана.

Следствие2.1. Пусть функции являются решениями дифференциального уравнения в частных производных (2.6). Тогда все диф-ференциальные системы вида

(2.10)

где нечетные скалярные непрерывные функции, такие, что ряд сходится к непрерывно дифференцируемой функции, эквивалентны между собой в смысле совпадения отражающих функций и все они эквивалентны дифференциальной системе (2.1).

Доказательство следствия очевидно и сводится к последовательному применению теоремы 2.1

Замечание 2.1. В [1, с.24] доказано, что правая часть стационарной дифференциальной системы, эквивалентной дифференциальной системе (2.1) в смысле совпадения отражающих функций, если такая система существует, может быть найдена по формуле Учитывая этот факт и сформулированное выше следствие, для нас важно установить, когда вектор-функция может быть представлена в виде

(2.11)

где решения уравнения (2.7). Последующие рассмотрения направлены на решение этой задачи. Решив ее, мы сможем заменить изучение свойств решений нестационарных систем изучением свойств решений стационарных систем вида или, если угодно, использовать уже изученные стационарные системы для изучения нестационарных систем.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Дана дифференциальная система:

(1)

Выяснить при каких m и n возмущение вида:

A(t)= (2)

Где а(t) нечётная функция, не изменяющая отражающую функцию этой системы.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой 2.1

Запишем данное выражение в развёрнутом виде:

(3)

В данном случае

функция (2)

система (1)

=

Далее мы найдём все частные производные

Имеем:

Теперь получившееся выражение подставим в уравнение (3)

Тогда имеем:

Теперь подставим всё в исходное уравнение

Имеем:

Выражать m и n из функции

=

Преобразовав выражение, придём к уравнению с двумя неизвестными. Запишем эти уравнения и получим искомые m и n. Но сначала мы сгруппируем все коэффициенты. Потом мы выразим одну переменную через другую. Рассмотрим первый строку всего равенства:

=0

Сгруппируем m и n

=

имеем уравнение вида:

=0

Соберём коэффициенты при степенях:

Теперь мы произведём такие же преобразования и со второй строчкой уравнения, имеем

Сгруппируем m и n,получим

=

Соберём коэффициенты при степенях:

Мы нашли решения данной дифференциальной системы

(*)

При m и n возмущениях вида , где - нечётная функция, не изменяет отражающую функцию этой системы (**).

Наши решения имеют одну и туже отражающую функцию следовательно они эквивалентны. А так как они эквивалентны и справедлива теорема:

Пусть система (*) с 2w-периодической по t правой частью и функцией (**) принадлежащему одному и тому же классу эквивалентности, а их решение определенны при t=0 существует при всех t принадлежащих [-w,w].Тогда между 2w периодическими решениями системы(*) и решениями двухточечной задачи y(-w)=y(w) для системы(**)можно установить взаимно однозначное соответствие.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. - Минск: Издательство БГУ имени В.И. Ленина. 1981 - 104 с.

2. Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. - Минск, издательство "Университетское". 1981 - 76 с.

3. Мироненко В.И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. - Гомель:. 2004. - 196 с.

4. Мироненко В.И. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. - Дифференц. уравнения, Т.40, №10, 2004. С.1325-1332 с.

5. Богданов Ю.С. Лекции по дифференциальным уравнениям. Минск, 1977. - 191 с.

6. Мироненко В.В. Конспект лекций по спецкурсу.

Размещено на Allbest.ru