Сходимость рядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача №385

Исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение:

Применяем признак Даламбера:

Пусть для ряда с положительными членами при существует предел отношения (n+1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, т.е. , тогда а) если l<1, то ряд сходится; б) если l>1, то ряд расходится; в) если l=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешённым.

Сначала запишем формулы для n-го и n+1-го членов ряда:

,

Затем найдем предел отношения . Также используем определение функции факториал. Поскольку для каждого целого положительного числа n функция n!, по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до n, т.е. n!=1*2*3*….*n, то (n+1)!=1*2*3*……*n(n+1), (n+2)!=1*2*3*……*n(n+1)*(n+2).

В итоге получим:

В нашем случае, , т.е. ряд расходится по признаку Даламбера.

Задача №406

Дан степенной ряд . Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения a, b и k даны: a = 2, b = 3, k = 5.

Решение:

По условию задачи ряд имеет вид:

Данный степенной ряд можно записать так:

Применяем признак Даламбера:

Ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

.

Определим сходимость на концах интервала. При х= -3/2 ряд примет вид:

Этот ряд является знакочередующимся; он сходится по признаку Лейбница.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

Или:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю. Причём, убывают монотонно.

3)

Если выполнены все условия, то ряд сходится. В нашем случае условие 1) выполняется, т.к. ряд знакочередующийся, 2) выполняется, т.к. члены ряда убывают по модулю.

- 3) условие выполняется.

Следовательно, значение х=-3/2 принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив х = 3/2, получим

Этот ряд расходится, так как каждый член этого ряда начиная со второго больше соответствующего члена гармонического ряда. Следовательно, значение х=3/2 не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.

Задача №427

Требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

.

Решение:

Преобразуем:

Воспользуемся формулой разложения:

В данном случае:

.

Задача №448

При указанных начальных условиях найти три первых (отличных от нуля) члена разложения в степенной ряд Маклорена функции у(х), являющейся частным решением дифференциального уравнения:

.

Решение:

Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем:

Свободный член данного разложения, то есть у(0), дан по условию. Чтобы найти значения нужно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислять значения производных при х = 0.

Значение получаем, подставив начальное условие в дифференциальное уравнение

Подставив найденные значения производных при х = 0 в ряд Маклорена, получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

Ответ:

Задача №469

Определить общее решение дифференциальных уравнений первого порядка:

Решение:

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при и есть однородные функции одного и того же измерения относительно переменных . Применяем подстановку , где - некоторая функция аргумента .

Если , то дифференциал , и данное уравнение примет вид.

Сократив на , будем иметь:

Из введенной подстановки следует, что, . Следовательно, или - общее решение данного уравнения.

Задача №490

Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

, , .

Решение:

Рассмотрим отдельно интеграл:

Интегрируем по частям:

Тогда:

Подставим начальные условия:

, .

- частное решение дифференциального уравнения

Задача №501

Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Определить частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Решение:

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются и . Т.к. решения действительные различные числа (первый случай), то .

Теперь найдём . Правая часть имеет специальный вид, причём =2, =0, значит , =0, =0, тогда и , т.о. =0.

Получаем: , т.к. , =1, =0, то ,

. Найдём производные первого и второго порядка от .

, . Запишем , и следующим образом, подписывая слева коэффициенты , и из исходного уравнения:

Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях :

Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения:

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём

: .

Подставляем начальные условия

и в и .

Отсюда

Тогда - частное решение исходного уравнения.

Задача №522

Требуется решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

, , .

Решение:

, , .

Выберем второе уравнение системы: и выразим из него x:

.

Дифференцируем по t обе части полученного уравнения:

Подставим полученные данные в первое уравнение системы:

Получили обычное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составим и решим характеристическое уравнение:

Подставим начальные условия:

Задача №543

Принимая вероятность рождения мальчика равной 0,51, найти вероятность того, что среди 5 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события q=1-р, то вероятность Р_п(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно m раз, вычисляется по формуле:

- есть число сочетаний из п элементов по т.

а) По условию задачи вероятность рождения мальчика р=0,51; тогда q= 1-0,51=0,49; в данном случае n=5 и т = 4. Подставляя эти данные в формулу Бернулли, получим:

.

б) В данном случае вероятность рождения мальчика q=0,51; тогда вероятность рождения девочки равна p= 1-0,51=0,49.

Искомое событие А состоит в том, что из пяти новорожденных не более двух девочек, т.е. может быть либо одна девочка, либо 2 девочки, либо не будет их вообще. Таким образом,

Задача №564

Дана вероятность р появления события A в каждом из n независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее m₁ раз и не более m₂ раза.

n = 600, p = 0.4, m₁ = 210, m₂ = 252

Решение:

Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р отлична от нуля и единицы), а число п достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее т₁ раз и не более т₂ раз, вычисляется приближенно по формуле

Функция Ф(х) являйся монотонно возрастающей. При неограниченном возрастании х функция Ф(х) стремится к 0,5. Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу можно записать так:

Имеются таблицы значений функции (см. Приложения). Функция Ц(х) называется функцией Лапласа. Эта функция является нечетной, т.е. Ф(-х)=-Ф(х). Поэтому таблица значений дается только для положительных чисел. По условию n = 600, p = 0,4, m₁ = 210, m₂ = 252, тогда q=1-p=1-0,4=0,6. Находим

лаплас даламбер сходимость интегрирование

По таблице находим Ф(-2,5)=-0,4938; Ф(1)=0,3413. Подставив эти значения в формулу, получим искомую вероятность:

Задача №585

Задан закон распределения случайной величины X (в первой строке таблицы даны возможные значения величины X, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(Х); 3) среднее квадратическое отклонение у.

Решение:

1) Математическое ожидание вычислим по формуле: . Тогда имеем:

2) Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

.

Сначала вычислим :

.

Тогда получим:

3) Среднее квадратическое отклонение :

. Т.е. .

Задача №606

Дано, что втулки, выпускаемые цехом, по размеру внешнего диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина внешнего диаметра втулки (математическое ожидание) равна мм, среднее квадратическое отклонение - мм. Найти: 1) вероятность того, что внешний диаметр наудачу взятой втулки будет больше мм и меньше мм; 2) вероятность того, что внешний диаметр втулки отклонится от стандартной длины не более чем на мм. Значения , , , , даны.

Решение:

а) Пусть X -величина втулки, тогда

где а=М(Х) и . По условию задачи а=80, , б=76 и в=84. Подставив эти данные в формулу, получим:

б) Если X-длина втулки, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-д, а+д), где а=80 и д=1. Подставив в формулу б=а-д и в=а+д, получим

Таким образом, подставляя в данную формулу имеющиеся данные, получим

Размещено на Allbest.ru