Усеченная пирамида, площадь поверхности, объем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

по математике

на тему: Усеченная пирамида, площадь поверхности, объем

Таганрог 2014

Содержание

1. Пирамиды древнего Египта

2. Усеченная пирамида

3. Правильная усеченная пирамида

4. Площадь боковой и полной поверхности усеченной пирамиды

5. Объем усеченной пирамиды

6. Площадь поверхности усеченной пирамиды

Список используемой литературы

1. Пирамиды древнего Египта

Древний Египет - это древнейшая мировая цивилизация, которая до сих пор остается во многом загадочной и полной тайн, не смотрят на все технические достижения современной науки. И одной из таких тайн остается история создания пирамид. Пирамиды - величественные сооружения, символ Древнего Египта. Правителям древнего Египта фараонам было необходимо выделиться среди прочих смертных, подтвердить свое божественное происхождение, поэтому после смерти их мумии должны были находиться не в привычных масштабах - гробницах традиционной формы в виде усеченной пирамиды, а в более могущественных сооружениях - огромных каменных гробницах пирамидальной формы.

Существует целый ряд версий о возникновении пирамид. Официальная, или так сказать классическая версия гласит, что строительство пирамид в Древнем Египте началось за 4000 лет до начала нашей эры. Самую первую пирамиду построил древний архитектор Имхотеп для династии фараонов Джосера в Саккаре. Она прекрасно сохранилась до сих пор и находится в 20 км от современного Каира. Это ступенчатая пирамида, имеющая в основании ромб. Позднее Имхотеп, происходивший не из царской династии, получил божественный статус за возведение такого величественного сооружения. История сохранила до наших времен имя этого человека, что само по себе необыкновенно. Среди известных еще в древности так называемых "семи чудес света”, поражавших воображение своих современников, называют еще одну пирамиду Древнего Египта. Это пирамида Хеопса. Она в отличие от других чудес света существует до наших дней и по-прежнему производит грандиозное впечатление величественности. Ее высота составляет 146 м и стоит в одном ряду с самыми высокими сооружениями современности. Сложена пирамида Хеопса из 2,3 миллионов известняковых блоков, которых как бы и не коснулось время.

Строительство этих величественных сооружений осуществляли тысячи рабов. Они перетаскивали по пандусам огромные каменные блоки, обработанные медными инструментами. В некоторых пирамидах блоки достигали веса в двести тонн и для современных специалистов строителей непостижимо, каким образом древние египтяне поднимали такие глыбы к вершинам пирамид. По версии греческого историка Геродота они использовали механические подъемники, хотя даже сейчас в 21 веке на земном шаре существует не так уж много конструкций мостовых кранов, которые в состоянии переместить груз такого веса. Поэтому, возникали и возникают самые фантастические теории появления пирамид в Древнем Египте. Идеальная обработка каменных блоков, некоторые из которых имеют не просто гладкую, а, прямо таки зеркальную поверхность, наводит на мысль, что при их возведении были использованы специальные инструменты, которых просто не могло быть в эпоху бронзового века! Отсюда и весьма распространенная версия о космических пришельцах, которые являются подлинными строителями древнеегипетских пирамид.

Еще одна распространенная версия строительства пирамид - они были возведены Атлантами, гигантскими существами с острова Платона. Подлинность этой гипотезы подтверждают следы эрозии на нижних блоках пирамид, которые могут появиться от длительного пребывания сооружения в воде. Кроме того, находят даже окаменелости ракушек, которые по возрасту гораздо старше привычного возраста египетских пирамид. Существуют и другие версии, что только добавляет таинственности этим грандиозным символам Древнего Египта, и, вместе с тем, не проходящего любопытства и восхищения к ним нашим современникам.

2. Усеченная пирамида

Теорема: апофема усеченная пирамида

Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию отсекает подобную пирамиду.

Доказательство:

Пусть S - вершина пирамиды, A - вершина основания и A1 - точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA (рис. 1). Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии (фр. homothetie греч. homos равный, одинаковый, общий + thetos расположенный) относительно вершины S с коэффициентом гомотетии:

k = SA1/SA

При этой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, а следовательно, вся пирамида - в отсекаемую этой плоскостью часть. Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой подобной данной.

Теорема доказана.

По теореме плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды подобные многоугольники, их стороны попарно параллельны, поэтому боковые грани - трапеции.

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания на плоскость другого основания. Сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра усеченной пирамиды, не лежащих в одной грани, называется диагональным.

Например, многогранник ABCDA1B1C1D1 - усеченная пирамида (рис. 2). Плоский многоугольник ABCDE и сечение A1B1C1D1 - основания усеченной пирамиды. Трапеции A1E1EA, E1D1DE, C1D1DC, B1C1CB, A1B1BA - боковые грани. HH1 - высота. E1C1CE - диагональное сечение усеченной пирамиды.

Теорема:

Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:

1. Боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

2. Сечение - это многоугольник, подобный основанию;

3. Площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины;

Следствие: Площадь сечения параллельного основанию пирамиды - квадратная функция расстояния его плоскости от вершины (или основания) пирамиды. Чтобы построить усеченную пирамиду, сначала намечают карандашом полную пирамиду, проводят сечение, параллельное основанию, проводят ребра усеченной пирамиды, а верхнюю часть стирать.

3. Правильная усеченная пирамида

Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды.

Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой.

Например, KK1 - апофема правильной усеченной пирамиды. Прямая OO1 называется осью правильной усеченной пирамиды.

Площадь пирамиды

Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Доказательство: Если сторона основания а, число сторон n, то боковая поверхность пирамиды равна:

a•l•n/2 =a•n•l/2=pl/2

где l - апофема, а p - периметр основания пирамиды.

Эта формула читается так: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

Sбок = pl/2

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

Sполн = Sбок + Sосн

Если пирамида неправильная, то ее боковая поверхность будет равна сумме площадей ее боковых граней.

4. Площадь боковой и полной поверхности усеченной пирамиды

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Дано: n-угольная правильная усеченная пирамида, l - апофема, p и p1 - периметры оснований.

Доказать:

Sбок = Ѕ(p+p1) ·l

Доказательство: В правильной усеченной пирамиде все боковые грани - равные между собой трапеции. Пусть основания трапеции a и a1, ее высота k, тогда

Sгр. = Ѕ(a + a1)·l,

Sбок = n Ѕ (a + a1) l = Ѕ (na + na1)•l, т.е. Sбок = Ѕ (p+p1)•l

Теорема доказана.

5. Объем усеченной пирамиды

Теорема

Объем усеченной пирамиды равен

V = h/3•(S+S1+vSS1)

Дано: ABCDA1B1C1D1 - усеченная пирамида, S и S1 - площади оснований, h - высота.

V = h/3•(S+S1+vSS1)

Доказательство: В усеченной пирамиде площадь сечения плоскостью, параллельной основанию, есть квадратная функция от расстояния сечения до этого основания. Значит, применима формула Симпсона:

V = h/6•(Sн + 4Sc + Sв)

Sн = S, Sв = S1.Найдем Sc.

Пусть A2B2C2D2 - среднее сечение. Примем AB = a, A1B1 = a1, A2B2 = x. Основания и среднее сечение - подобные многоугольники, и потому S : Sc : S1 = a2 : x2 : a12

AA1B1B - трапеция, x - ее средняя линия, значит,

(3) = (a + a1)/2

Из (2) следует, что a = mvS, x = mvSc, a1 = mvS1, где m - общая мера. Подставим эти значения в (3):

mvSc = (mvS + mvS1)/2, vSc = (vS + vS1)/2

Sc = (vS + vS1)2/4.

Подставим значения Sн, Sв и Sc в (1):

V = h/6•[S + (vS + vS1)2 + S1] = h/6[S + S + 2vSS1 + S1 + S1], т.е.

V = h/3•(S+S1+vSS1)

6. Площадь поверхности усеченной пирамиды

Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды представляет собой сумму площадей ее сторон:

Так как стороны усеченной пирамиды представляют собой трапеции, то для расчета параметров придется воспользоваться формулой площади трапеции. Для правильной усеченной пирамиды можно применить другую формулу расчета площади. Так как все ее стороны, грани, и углы при основании равны, то можно применить периметры основания и апофему, а также вывести площадь через угол при основании.

Если по условиям в правильной усеченной пирамиде даны апофема (высота боковой стороны) и длины сторон основания, то можно произвести расчет площади через полу произведение суммы периметров оснований и апофемы:

Еще один способ расчета площади боковой поверхности правильной пирамиды, это формула через углы у основания и площадь этих самых оснований.

Список используемой литературы

4. Сканави М.И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. - 592с

5. Учебник "Геометрия 7-9 класс" Атанасян Л.С. и др. 2010

6. Аналитическая геометрия. Канатников А.Н., Крищенко А.П. (2000, 388с.)

7. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Умнов А.Е. (2011, 543с.)

Размещено на Allbest.ru