Математика в истории

Размещено на http://www.allbest.ru/

Слово «математика» произошло от др.-греч. mбthзma, что означает изучение, знание, наука, и др.-греч. mathзmatikуs, первоначально означающего восприимчивый, успевающий, позднее относящийся к изучению, математике. В частности, ars mathematica, означает искусство математики.

Математика -- наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов.

«Математика - царица наук» - говорили древние и, во многом, были правы. Математика - одна из древнейших наук, возникшая раньше письменности и многого другого. Ещё люди каменного века занимались простейшим счётом, делая зазубрины на кости и дереве пометки на различных предметах. Учёными найден наскальный рисунок, датированный ещё эпохой палеолита, изображающий число 35 в виде выстроенных в ряд 35 палочек пальцев. Первые достижения геометрии связанны с такими простыми понятиями как прямая и окружность.

Своё дальнейшее развитие царица наук получила с помощью вавилонян и египтян. Представители этих двух цивилизаций, в отличии от праздных греков, использовали науку в основном для хозяйственных нужд. Клинописные глиняные таблички вавилонян, датированные промежутком времени с 2000 тыс. лет до н. э. до 200 тыс. лет до н. э., способны много сказать нам об уровне хозяйственной жизни древней цивилизации. Алгебры вавилоняне использовали для торговли, подсчёта налогов, строительства зернохранилищ. Важнейшей задачей для тогдашних учёных был расчёт календаря, так как по нему велись все сельскохозяйственные работы. Деление окружности на 360 градусов, а минуты на 60 секунд, ввели в обиход именно вавилоняне. Система записи чисел тогда была достаточно сложной: например одни и те же символы могли обозначать как число 21, так и дробь 21/60, и даже (20/60 + 1/60*60). Неоднозначность записи разрешалась в зависимости от контекста. Во многих областях алгебры вавилоняне достигли впечатляющих успехов: им было известно примерное значение корня из двух, способ решения квадратных уравнений и уравнений с десятью неизвестными. Уравнения кубов и четвёртой степени так же не являлись неразрешимой задачкой для наших предков.

Не меньших, по тем временам, успехов достигли в алгебре и геометрии египтяне. Жители долины Нила, подобно народу Месопотамии, использовали математику как практическое орудие. Египтяне вычисляли вес тел, площади посевов, размеры налогов, и объёмы зернохранилищ. Нередкой была задачка, сколько пшеницы потребуется для варки определённого количества кружек пива. Попадались и более сложные задачки, например, с условием, что для варки используются разные сорта зерновых. В таких случаях использовались переводные коэффициенты. Однако главной областью приложения математических знаний была астрономия. Наблюдая за движениями небесных тел, составлялись карты и календари, вычислялись орбиты и прочие параметры, заметные древних астрономам. Математика, используемая при сооружении пирамид, надо сказать, была достаточно примитивной. Задачи и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями, а потому и те общие правила, которые они смогли вывести, были также самого простейшего вида.

В целом, сложно назвать древнею математику прогрессивной и развитой. Она сыграла огромную роль в становлении эти двух цивилизаций, ведь не имея таких знаний, нашим предкам не удалось бы создать действенные оросительные системы, вести упорядоченный сбор налогов, успешно заниматься земледелием. Однако, ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами; весь свод математических знаний представлял собой скопление эмпирических формул и правил.

С точки зрения 20 в. родоначальниками математики явились греки. Им мы обязаны большей частью современных гипотез и основополагающих теорем, они первыми пришли к дедуктивному методу исследования математики. И тому есть простейшее объяснение - рабство. Общество, целиком и полностью основанное на невольничьем труде, могло позволить себе заниматься математикой, естествознанием или философией. Как мы уже обговорили, математика до греков представляла собой собрание эмпирических знаний, ничем не систематизированных. Напротив, в дедуктивном рассуждении новое утверждение выводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность его неприятия. Настаивание греков на дедуктивном доказательстве было экстраординарным шагом. Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно на основе дедуктивного рассуждения, исходящего из явно сформулированных аксиом. Одно из объяснений приверженности греков методам дедукции мы находим в, уже обговоренном, устройстве греческого общества классического периода. Математики и философы (нередко это были одни и те же лица) принадлежали к высшим слоям общества, где любая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику - теоретический аспект и логистику - вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставляли свободнорожденным низших классов и рабам.

Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому, который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом. Ещё один великий грек, чьё имя мы ассоциируем с математическими науками, был Пифагор. Пифагор и его последователи, пифагорейцы, создали чистую математику в форме чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, и даже слово "калькуляция" (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего "камешек". Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. - квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д. Из простых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел. При этом полное неприятие и даже смятение вызывали у греков иррациональные числа. Впервые столкнувшись в геометрии с числом корень из двух, пифагорейцы растерялись и даже решили держать открытие в тайне. Число, которое невозможно представить в виде двух целых чисел категорически не согласовывалось с мировоззрением греков. Это пример тесного переплетений тогдашних наук. Мы так же можем увидеть его и в неспособности пифагорейцев представить число без наделения его каким-либо качеством. Так, двойка у эллинов отождествлялась с мнением, четвёрка со справедливостью, так как являлась суммой перемноженных двоек.

В целом, даже не имея жизни в практических, прикладных науках, и распространяясь исключительно в высших кругах, математика играла важную роль в жизни Эллады. Платон, и вовсе, считал алгебры и геометрию, не просто посредниками между идеями и данными чувственного опыта - математический порядок мужчина воспринимал точным отражением самой сути реальности. математика геометрия пифагор дедуктивный

Однако греческий период подошёл к концу и около 300 лет до н. э. начался новый виток развития математики - Александрийский. В целом математики александрийского периода были больше склонны к решению чисто технических задач, чем к философии. Великие александрийские математики - Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей - продемонстрировали силу греческого гения в теоретическом абстрагировании, но столь же охотно применяли свой талант к решению практических проблем и чисто количественных задач. Эратосфен нашел простой метод точного вычисления длины окружности Земли, ему же принадлежит календарь, в котором каждый четвертый год имеет на один день больше, чем другие. Величайшим математиком древности был Архимед. Ему принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания. Архимед всегда стремился получить точные решения и находил верхние и нижние оценки для иррациональных чисел. Например, работая с правильным 96-угольником, он безукоризненно доказал, что точное значение числа p находится между 31/7 и 310/71. Архимед доказал также несколько теорем, содержавших новые результаты геометрической алгебры. Ему принадлежит формулировка задачи о рассечении шара плоскостью так, чтобы объемы сегментов находились между собой в заданном отношении. Архимед был величайшим математическим физиком древности. Его сочинение о плавающих телах заложило основы гидростатики.

К сожалению, период Александрии был недолог. После падения её в 33. Году от мечей римской империи, математика на некоторое время застыла в своём развитии. Римляне не внесли каких-либо серьёзных новшеств, используя достижения предыдущих эпох и вообще уделяя больше времени практическим проблемам. Не менее «застойными» были и средние века. Сказывалось не только отсутствие образованны людей - в средние века в Европе исследование природы любыми способами, включая математические, считалось предосудительным занятием, т.к. главной стала теологическая ветвь науки. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология; астрологов называли математиками. А поскольку медицинская практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками. Центр научной мысли теперь переместился в Индию, а потом в арабские страны. В Индии зарождается алгебра, вводятся десятичная система счисления и нуль для обозначения отсутствия единиц данного разряда.

Новым подъёмом математики можно считать эпоху Возрождения, но лишь в некоторой мере. Началом же современной математики считают 16 век. Именно это время ознаменовалось важнейшими достижениями в алгебре и геометрии. Были введены десятичные дроби и, естественно, правила обращения с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1617 году логарифмов. Сформировавшаяся к тому времени сеть учебных заведений по всей Европе уже могла взрастить образованных эрудированных людей, которые, с помощью всё расширяющегося набора средств, продвигали вперёд алгебры и геометрию. Однако многое тогдашние вычисления и размышления современным математикам всё ещё могли бы показаться странными и глупыми. В частности, всё ещё не была решена судьба иррациональных чисел. В то время как Декарт и ряд других математиков свободно использовали их в алгебраических управлениях и вычислениях, знаменитый учёный Паскаль искренне верил, что всевозможные корни не имеют права на жизнь за пределами геометрических уравнений. Не утихали споры касательно правомерности использования отрицательных чисел. Если некоторые математики свободно с ними работали, другие наотрез отказывались подобные величины рассматривать. Недопустимыми большая часть мирового сообщества считала и уравнения с комплексными числами, как, например, 5 + корень из пяти. Уже упомянутый выше Декарт упорно именовал такие уравнения «мнимыми». Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л.Эйлер с успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим представлением.

Подлинным переворотом, истинно поднявшим уровень математической науки, стало изобретение аналитической или координатной геометрии. Учёным, внедрившим её в научное сообщество, считается Декарт. Евклидова геометрическая алгебра для каждого построения требовала изобретения своего оригинального метода и не могла предложить количественную информацию, необходимую науке. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение - отрезок, имевший соответствующую длину. Аналитическая геометрия стала одним из важнейших открытий, так как полностью поменяла ролями геометрию и алгебру. Как заметил великий французский математик Лагранж, "пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем, их прогресс был медленным, а приложения ограниченными. Но когда эти науки объединили свои усилия, они позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству".

Время с начала 16 века считается началом современной математики, так как именно тогда с помощью этой науки стали подходить ко всем вопросам естествознания. Физика, химия, инженерия, астрономия и многие другие науки начали активно использовать математические методы для своего развития. В наше время уже не одно утверждение, теория или гипотеза не могут считаться истинными, если не доказаны математически. Создание дифференциального и интегрального исчислений ознаменовало начало "высшей математики". Практически любое физическое явление можно просто и понятно расписать математическими средствами, математическим анализом.

Когда-то И.Кант сказал: «Математика - наука, брошенная человеком на исследование мира в его возможных вариантах". Математику дано видеть мир во всех его логических вариантах. Ему разрешены построения, противоречивые физически, главное, чтобы они не были противоречивы логически. Физики говорят, каков мир, математики исследуют, каким бы он мог быть в его потенциальных версиях. Как замечает австрийский математик и писатель нашего времени Р. Музиль, «математика есть роскошь броситься вперед, очертя голову, потому математики предаются самому отважному и восхитительному авантюризму, какой доступен человеку». Раскованность и рискованность - преимущество не только собственно математика, но и любого исследователя, поскольку он мыслит математически, то есть, по выражению Г. Вейля, пытаясь дать "теоретическое изображение бытия на фоне возможного". Но у учёного нет возможности для бескрайнего фантазирования. Истина состоит в том, что нематематические науки, сталкиваясь с запретами в проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых распространяется их компетенция. Это может знать только математика, которая владеет расчётами на основе количественного описания явлений. Другие науки не могут устанавливать пределы возможного - той количественной меры, которая определяет вариантность изменений. Например, биолог не знает пределы возможного для жизни и познаёт её в диапазоне наблюдаемого.

Т. к. абстракции математики отдалены от конкретных свойств, она способна проводить аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением "наводить мосты над пропастью". Там, где конкретная наука останавливается, математика может переносить свои структуры на соседние, близкие и далекие, регионы природы.

Однако, как кажется мне, математическая наука абсолютно лишает мир многообразия. Как выразился русский математик И.Шафаревич она «убивает индивидуальность». Он пишет: «Мы имеем, скажем, яблоко, цветок, кошку, дом, солдата, студента, луну. Можно сосчитать и объявить, что их 7. Но 7 чего? Единственный ответ: "7 предметов". Различия между солдатом, луной, яблоком и т.д. исчезают. Они все потеряли свою индивидуальность и превратились в лишенные признаков "предметы"». То есть счёт делает предметы равными.

Невозможно, конечно, отрицать, что современный мир нельзя представить без математики и её достижений, но лично я предпочитаю углубляться в другие школьные предметы.

Размещено на Allbest.ru