Зворотні тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

1. Зворотна функція

2. Графік і властивості функції

3. Графік і властивості функції

4. Графік і властивості функції

5. Графік і властивості функції

6. Рівняння зі зворотними тригонометричними функціями

7. Основні найпростіші тригонометричні рівняння

8. Лінійне рівняння

9. Зведення тригонометричного рівняння до алгебраїчного

10. Розкладання рівняння на множники

11. Рівність однойменних функцій

12. Перетворення добутків у суми, а сум у добуток

13. Рішення, засновані на обмеженості функцій

14. Системи тригонометричних рівнянь

Питання для самоперевірки

Вправи для самостійного розв'язування

1. Зворотна функція

тригонометричне лінійне рівняння

Нехай функція безупинна і монотонна на інтервалі і при цьому перемінна змінюється на інтервалі . Розв'язно рівняння відносно і знайдемо рішення . Функція називається зворотної до функції . При зазначених умовах зворотна функція існує і безупинна при . При цьому справедливі рівності

, ;

, (1)

Графіки функцій , розташовані симетрично щодо бісектриси першого координатного кута.

Приклад. Функція , визначає залежність між перемінними , котру також можна задати рівнянням , . У прикладі , . Рівності (1) приймуть вид

, ;

, .

Графіки функцій , розташовані симетрично щодо бісектриси першого координатного кута (Рис. 7. 1).



Рис. 7. 1.

2. Графік і властивості функції

Функція монотонна при . Зворотна до неї функція , називається арксинусом (мал. 7. 2).

Рис. 7. 2.

Функція монотонно зростає на відрізку і задовольняє нерівності

(2)

Визначення. Арксинусом називається кут , що задовольняє нерівності (2), синус якого дорівнює .

, . (3)

Приведемо деякі числові значення , що задовольняє нерівності (2), синус якого дорівнює .

, , ,

, . (4)

Функція - непарна, тобто

. (5)

Приведемо деякі формули

, ,

, ,

, ,

, , .

Приклад. Обчислити . Одержимо .

Приклад. Вирішити нерівність . Маємо: ; . Оскільки є обмеження , то одержимо відповідь: .

3. Графік і властивості функції

Функція монотонна при . Зворотна до неї функція , називається арккосинусом (Рис. 7. 3)

Рис. 7. 3.

Функція монотонно убуває на відрізку і задовольняє нерівності

(6)

Визначення. Арккосинусом називається кут , що задовольняє нерівності (6), косинус якого дорівнює , тобто

, . (7)

У силу симетрії графіка щодо крапки виконана рівність

,

відкіля знаходимо формулу

. (8)

З порівняння графіків , знаходимо рівність

, . (9)

Приведемо деякі числові значення .

, , ,

, (10)

Приведемо формули:

; ;

; ;

, ,

, . (11)

Приклад. Обчислити значення функції

.

Приклад. Обчислити значення функції

.

4. Графік і властивості функції

Функція монотонна при . Зворотна до неї функція , називається арктангенсом (Рис. 7. 4)

Рис. 7. 4.

Функція монотонно зростає, непарна і задовольняє нерівності

. (12)

Виконано граничні співвідношення

, . (13)

Визначення. Арктангенсом називається кут , що задовольняє нерівності (12), тангенс якого дорівнює , тобто

, . (14)

Функція приймає наступні значення:

, , ;

, . (15)

Приведемо деякі формули:

; ,

; ,

; ,

; , . (16)

Приклад. Обчислити значення:

.

Приклад. Обчислити значення суми

.

Виведемо формулу для суми арктангенсів.

Нехай справедлива рівність .

Знаходимо значення

.

Звідси знаходимо формулу

. (17)

Оскільки виконані нерівності (12), те число K може приймати значення , .

Приклад. Знайде значення суми

.

Приклад. Знайдемо значення суми

.

5. Графік і властивості функції

Функція безупинна і монотонні на проміжку . Зворотна до неї функція називається арккотангенсом (мал. 7. 5).

Рис. 7. 5.

Функція монотонно убуває і задовольняє нерівності

(18)

Виконано граничні співвідношення

. (19)

Визначення. Арксотангенсом називається кут , що задовольняє нерівності (18), котангенс якого дорівнює , тобто

, . (20)

З графіків (7. 4), (7. 5) видно, що завжди виконано рівності

, (21)

. (22)

Приведемо табличні значення арккотангенса:

, , ,

, . (23)

а також формули для тригонометричних функцій

, ,

, ,

, , ,

, . (24)

Приклад. Обчислимо значення функції

.

Приклад. Обчислимо значення функції

.

Приведемо більш складні приклади обчислення значень зворотних тригонометричних функцій. Знайдемо вираження для суми

, ,

, .

Остаточно знаходимо формулу

.

Приклад. .

Приклад. .

Значення вибирається у формулі, якщо відомо наближене значення .

Обчислити:

, , .

Обчислити: .

Позначимо ,

, , .

Обчислити: .

Знаходимо по формулі для суми арктангенсів

;

;

.

Обчислити: .

Позначимо

, ;

.

6. Рівняння зі зворотними тригонометричними функціями

До рівнянь зі зворотними тригонометричними функціями застосовують тригонометричні функції.

Приклад. . Запишемо

, , .

Варто перевірити корені рівняння , числа теж є коренями вихідного рівняння.

Приклад .

Позначимо і вирішуємо рівняння

. Застосуємо функцію до обох частин рівняння

,

, , .

Друге рішення не задовольняє рівнянню.

, .

Приклад. .

, , ,

, , , .

рівняння не має рішення;

, , .

Рішення не задовольняє рівнянню, так

, . .

Приклад. . Використовуємо тотожність

; , ;

; , , ,

, , .

Приклад. ,

, , , , .

Рішення не задовольняє вихідному рівнянню.

Приклад. ,

, ,

, ; , .

Приклад. ,

, , .

Приклад. ,

, , , .

Приклад. .

,

,

, ; .

7. Основні найпростіші тригонометричні рівняння

Зворотні тригонометричні функції використовуються для рішення тригонометричних рівнянь. Приведемо найпростіші способи рішення тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння , має рішення, які можна визначити формулою

, (26)

Рішення можна пояснити на мал. 7. 6

Рис. 7. 6.

За традицією невідомий кут позначається буквою . У межах рівняння має рішення . У межах є інше, симетричне щодо осі рішення . При ці симетричні рішення збігаються. Щоб не було повторення рішень при рішення визначають по інших формулах

, , ,

, , .

При рішення рівняння можна записати у виді (26)

,

чи в рівносильній формі

, .

До рішень завжди варто додавати доданок , , що не змінює значення .

При рівняння не має дійсних рішень.

Приклад. Знайдемо рішення рівняння . По формулі (26) знаходимо , , .

Приклад. Вирішимо рівняння .

Оскільки , те одержимо

, , .

2. Рівняння , має рішення

, (27)

Рішення можна пояснити на мал. 7. 7. Кути, обумовлені рішенням розташовані симетрично щодо осі

Рис. 7. 7.

Рівняння мають рішення

, , ,

, , .

Приклад. Знайдемо рішення рівняння .

По формулі (27) одержимо:

, ,

, .

Приклад. , ,

, .

3. Рівняння має рішення

, . (28)

Ці рішення можна представити на мал. 7. 8.

Рис. 7. 7.

Приклад. Вирішимо рівняння . По формулі (28) знаходимо

, , .

Приклад. Вирішимо рівняння . Представимо рівняння у виді:

, , , .

8. Лінійне рівняння

Тригонометричне рівняння

(29)

називається лінійним. Воно зводиться до найпростіших рівнянь.

Розділимо рівняння на вираження

.

Уведемо допоміжний кут такий, що

, .

Рівняння здобуває вид

і може бути записане у виді рівняння

яке має рішення

, .

Умова можливості розв'язання рівняння (29) має вид

, . (30)

Приклад. Знайдемо рішення рівняння

.

Розділимо рівняння на

чи

,

, , .

9. Зведення тригонометричного рівняння до алгебраїчного

Тригонометричне рівняння перетвориться до виду , де - тригонометричне вираження, наприклад , , .

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Усі члени рівняння можна виразити через функцію . Приходимо до рівняння

, , .

Рівняння має рішення

, .

Рівняння виду

(31)

називається однорідним. Якщо , то після розподілу рівняння на , одержимо рівняння

, .

Приклад. Вирішимо тригонометричне рівняння

,

яких можна записати у виді

чи

.

Це рівняння однорідне і зводиться до рівняння

, , , .

Рівняння має два рішення

, , ;

, , .

Вкажемо в загальному виді типові заміни.

, ;

, ;

, , , ;

, , .

10. Розкладання рівняння на множники

Якщо рівняння удасться розкласти на множники

,

те можна окремо вирішувати рівняння , .

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Розкладемо рівняння на множники

.

Оскільки , те рівняння приймає вид

і зводиться до двох рівнянь

, , , ;

, , , .

Рівняння входить у рівняння , і рішення рівняння входить в.

11. Рівність однойменних функцій

Нехай деякі вираження, що містять невідоме. Часто зустрічаються рівняння:

. Розкладемо на множники

,

, , ;

, , , .

Таким чином, вихідне рівняння зводиться до рівнянь

, ; , . (32)

Приклад. Вирішимо рівняння .

З формул (32) знаходимо рішення:

, ,

, , .

Приклад. Вирішимо рівняння . Запишемо рівняння у виді і знаходимо рішення з рівнянь (32) :

, , ;

, , .

2. Рівняння можна представити у виді .

, відкіля знаходимо рівності

, ;

, . (33)

Приклад. Вирішимо рівняння з рівнянь (33) знаходимо рішення:

, , ;

, , .

3. Рівняння , можна представити у виді

, =0, , , .

Таким чином, рівняння зводиться до рівняння

, . (34)

Приклад. Вирішимо рівняння . З рівняння (34) знаходимо рішення , . При непарному вираження , не існують. Тому одержимо остаточне рішення , , .

Приклад. Вирішимо рівняння .

Запишемо рівняння у виді , і знаходимо рішення (34).

, , .

Приклад. Вирішимо рівняння .

З рівняння (34) знаходимо

, , , .

Квадратне рівняння має дійсне рішення за умови

, .

Ця нерівність виконана, якщо .

При цьому знаходимо рівняння

, , .

Остаточно знаходимо рішення, що залежить від двох цілих чисел

, , , .

12. Перетворення добутків у суми, а сум у добутки

Частина зустрічаються рівняння, що спрощуються при перетворенні добутків у чи суми сум тригонометричних функцій у добутки.

Приклад. Вирішити рівняння . Перетворимо добутку в суми

.

З рівняння знаходимо два рішення

, ,

, , .

Рішення містить у собі рішення .

Приклад. Вирішити рівняння

.

Перетворимо добуток у суми

.

Одержимо рівняння

.

Перетворимо суми в добутки

.

Остаточно приходимо до рівняння

.

Маємо рівняння і їхнє рішення:

, , ,

, , ,

, , ,

13. Рішення, засновані на обмеженості функцій

Розглянемо кілька рівнянь, рішення яких засновано на обмеженості тригонометричних функцій.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Оскільки значення косинуса обмежені одиницею, то рівняння зводиться до системи рівнянь

.

Приклад. Вирішити рівняння

,

що зводиться до системи рівнянь

, , ;

, , , .

Щоб система рівнянь мала рішення необхідне виконання рівняння

, , , .

Підбираємо частка рішення рівняння для цілих числі , . Нехай , тоді .

Виконаємо заміну , , , .

Приходимо до рівняння для .

Знаходимо , , і рішення , .

14. Системи тригонометричних рівнянь

Виводять невідоме з під знака тригонометричних функцій, використовуючи властивості тригонометричних функцій.

Приклад.

Складаючи і віднімаючи рівняння одержимо рівняння

знаходимо рішення рівнянь

.

Складаючи і віднімаючи рівняння знаходимо невідомі

, , .

Приклад.

Щоб виключити зводимо рівняння в квадрат і складаємо

, ,

1. , .

2. , , .

Приклад. Знайти всі значення , при яких система рівняння має розв'язки і розв'язати систему:

.

Складаючи і віднімаючи рівняння знаходимо рівняння

, .

Щоб ці рівняння мали рішення необхідне виконання нерівностей

, ,

що мають рішення . Із системи рівнянь знаходимо

.

Складаючи і віднімаючи рівняння, знаходимо невідомі

, .

Приклад. .

Перше рівняння перетвориться до виду

, .

З рівнянь знаходимо невідомі

.

Приклад. .

З першого рівняння знаходимо

1) , ,

2) , , , , .

Значення не задовольняє рівнянню, отже

, , , , .

Приклад. .

Позначимо , і із системи рівнянь

знаходимо рішення

1) 2)

Приклад. .

Запишемо друге рівняння у виді , відкіля одержимо систему рівнянь

.

З рівнянь знаходимо невідомі

.

Приклад. .

Перше рівняння розкладається на множники.

1) , , , , ,

, ; , , .

2) , , .

Приклад. .

1) , , , .

2) , , , .

Рівняння не задовольняє системі.

, , ; , .

Питання для самоперевірки

Побудувати графіки зворотних тригонометричних функцій.

Побудувати графіки тригонометричних функцій.

Основні найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівність однойменних функцій.

Рішення лінійного рівняння.

Перетворення суми тригонометричних функцій у добуток і перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

Вправи для самостійного розв'язування

Побудувати графіки

, 4. ,

, 5. ,

, 6. .

Обчислити:

,

,

,

,

Довести рівність

.

Розв'язати рівняння

23.

24.

25.

26.

27.

Розв'язати рівняння

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41. ,

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

Вирішити рівняння і знайти корені, розташовані на заданих інтервалах

49. на

50. на

51. на

52. на

53. на

54. на

55. на

Розв'язати рівняння

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.

Скільки розв'язків в інтервалі має рівняння

94. (3)

Скільки розв'язків має рівняння

95. в інтервалі (10)

Розв'язати рівняння

96. .

Размещено на Allbest.ru