История многогранников

Размещено на http://www.allbest.ru/

Астраханский государственный технический университет

Кафедра «Начертательная геометрия и инженерная графика»

Реферат

Многогранники

Преподаватель

Боловин В.Г.

Выполнила:

Студентка группы ДСАР 11_б

Натхина М.В.

1. История многогранников

многогранник звездчатый платон

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них - пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

Вселенная - додекаэдр

Земля - куб

Огонь - тетраэдр

Вода - икосаэдр

Воздух - октаэдр

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.

При первом же знакомстве с этой темой у вас возникает естественный вопрос: что такое многогранник? Геометрию можно определить иногда как науку о пространстве и пространственных фигурах - двумерных в планиметрии и трехмерных в стереометрии. Если использовать теоретико-множественный язык, то фигуру на плоскости можно было бы описать как множество отрезков прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником. Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства.

Многогранник - часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем, вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами многогранника.

Классификация многогранников:

1. Правильные многогранники

2. Призмы

3. Пирамиды

Призма - многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом.

Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью.

Призматоид - многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники или трапеции, вершины которых являются и вершинами многоугольников оснований.

2. Правильный многогранник

Термин многогранник, которым мы пользуемся, пришел к нам от древних греков. Влияние знаменитого греческого мыслителя Платона сказалось и на «Началах» Евклида. В этой книге, которая на протяжении многих веков была единственным учебником геометрии, дано описание «идеальных» линий и «идеальных» фигур. Самая идеальная линия - прямая, самый идеальный многоугольник - правильный многоугольник, иными словами, многоугольник, имеющий равные стороны и углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку они имеет наименьшее число сторон, которое может ограничивать часть плоскости. Интересно, что «Начала» Евклида открываются описанием построения правильного треугольника и заканчиваются изучением пяти правильных многогранных тел! Каждый из этих пяти многогранников имеет гранями правильные многоугольники одного типа. В наше время они известны под именем пяти Платоновых тел:

Тела Платона - это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники.

1. Тетраэдр - правильный четырехгранник;

2. Гексаэдр (куб) - правильный шестигранник;

3. Октаэдр - правильный восьмигранник;

4. Додекаэдр - правильный двенадцатигранник;

5. Икосаэдр - правильный двадцатигранник.

1.2.3.4.5.

Простейшим среди многогранников является тетраэдр. Его 4 грани - равносторонние треугольники. Четыре - это наименьшее число граней, отделяющих часть трехмерного пространства. Все его грани правильные многоугольники, причем каждая отделяется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетраэдра также равны между собой.

Октаэдр - это многогранник, гранями которого являются восемь равносторонних многоугольников. Все его противоположные грани лежат в противоположных плоскостях.

Куб, или как его иногда называют, гексаэдр - самый общеизвестный и широко используемый многогранник. Все шесть его граней - квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каждой вершине. Возможно, что в своей простоте куб не самый привлекательный многогранник. Но он обладает несколькими удивительными свойствами в отношении других Платоновых и некоторых архимедовых тел. Природа реализовала куб в виде кристалла соли. Кубами можно заполнить все пространство. Нарисовав любые три отрезка, выходящие из одной точки, и дополнив рисунок параллельными им пунктирными прямыми, мы всегда можем считать получившуюся фигуру некоторой косой проекцией куба.

Икосаэдр - одно из пяти Платоновых тел. По простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединяет то обстоятельство, что гранями каждого является равносторонние треугольники.

В известном смысле додекаэдр представляет наибольшую привлекательность среди платоновских тел, соперничая с икосаэдром, который почти ему не уступает.

3. Звездчатые формы и соединения тел Платона

Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники. Тетраэдр и гексаэдр (куб) не имеют звёздчатых форм, так как их грани при продлении через рёбра более не пересекаются.

Звёздчатые формы додекаэдра.

Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья -- Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.

формы звёздчатого додекаэдра

Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.

У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3. Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.

Звёздчатые формы икосаэдра.

Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Кокстером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Некоторые из них представлены на рисунке.

Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера--Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.

16 форма икосаэдра

1 форма икосаэдра

Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.

Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков -- частей пространства, ограниченных плоскостями граней.

Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр (см. рис) состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.

Звёздчатый октаэдр.

Существует только одна звёздчатая форма октаэдра. Звёздчатый октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula -- звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название «stella octangula Кеплера». По сути, она является соединением двух тетраэдров.

Звёздчатые формы кубооктаэдра.

Кубооктаэдр имеет 4 звёздчатые формы, удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первый из них ( а) получается достраиванием на гранях кубооктаэдра пирамид и представляет собой соединение куба и октаэдра. Следующая звездчатая форма кубооктаэдра представлена на рисунке ( б). Она образована из соединения куба и октаэдра добавлением 24 бипирамид.

Третья звездчатая форма кубооктаэдра (в) представляет собой соединение шести четырехугольных пирамид, основаниями которых служат квадраты.

Последняя звездчатая форма кубооктаэдра (, г) является соединением звезды Кеплера и трех правильных четырехугольных призм, общей частью которых служит исходный куб.

Звёздчатые формы икосододекаэдра.

Икосододекаэдр имеет 19 звёздчатых форм, некоторые из которых представлены на рисунке.

Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 -- правильные треугольники. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера -- Пуансо.

4. Теорема Эйлера для многогранников

Теорема Эйлера для многогранников -- теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

Формулировка

Пусть В -- число вершин выпуклого многогранника, Р -- число его ребер и Г -- число граней. Тогда верно равенство В - Р + Г =2

История.

В 1620 году Рене Декарт показал, что сумма углов всех граней многогранника равна одновременно 360є (Р -- Г) и 360є (В -- 2). Из этого непосредственно следует утверждение теоремы.

В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Более строгое доказательство дал Коши в 1811 г.

Долгое время считалось, что соотношение Эйлера справедливо для любых многогранников. Первый контрпример дал Симон Люилье в 1812 г.; при рассмотрении коллекции минералов он обратил внимание на прозрачный кристалл полевого шпата, внутри которого был чёрный кубический кристалл сернистого свинца. Люилье понял, что куб с кубической полостью внутри не подчиняется формуле Эйлера. Позже были обнаружены и другие контрпримеры (например, два тетраэдра, склеенные по ребру или имеющие общую вершину), и формулировка теоремы была уточнена: она верна для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

Теорема Эйлера:

Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его ребер и Г - число граней. Тогда верно равенство В - Р + Г = 2

Число х = В - Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То, что эйлеровая характеристика равна 2 для многих многогранников, видно из следующей таблицы:

Во время работы над своей теоремой Эйлер вывел из неё несколько утверждений, относящихся к выпуклым многогранникам:

1. Р + 6? 3В и Р + 6? 3Г;

2. Г + 4? 2В и В + 4? 2Г;

3. У всякого многогранника есть хотя бы одна треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань, а также хотя бы один трехгранный, четырехгранный или пятигранный пространственный угол;

4. Сумма плоских углов всех граней многогранника равна 2рВ- 4р.

Как отмечал Эйлер в одной из своих работ, многоугольники на плоскости можно классифицировать по числу сторон (или, что все равно, по числу вершин): треугольники, четырехугольники и т. д., в то время как аналогичный вопрос описания многогранников оказывается гораздо сложнее. Теорема Эйлера помогает немного разобраться в этом вопросе.

Например, из теоремы Эйлера, можно вывести, что если все грани выпуклого многогранника есть треугольники, причем в некоторых вершинах они сходятся по шесть, а во всех остальных по пять граней, то вершин, в которых сходятся пять граней, будет ровно двенадцать. Естественно спросить, а сколько при этом у многогранника вершин, в которых встречается шесть многоугольников. Канадский математик Бранко Грюнбаум обнаружил, что при тех же предположениях число вершин, в которых встречается шесть треугольных граней, может быть любым, кроме единицы.

Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С её помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется топологией.

5. Применение многогранников

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служат форма пчелиных сот, скелет одноклеточного организма «феодарии», форма некоторых кристаллов.

Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий - вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник - икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Алмаз (октаэдр)

Хрусталь (призма)

Шеелит (пирамида)

Поваренная соль (куб)

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

В XIII-XVII вв. многогранники были основой архитектурных строений, больше всего применялись кубы, но по мере развития нашли применения и другие виды многогранников, такие как тетраэдр.

В наши дни многогранники - это главное открытие человечества. Где мы живем, на чем мы ездим, где учимся, где работаем, где покупаем и приобретаем товары и услуги - мы в постоянном окружении многогранников, все архитектурные строения возведены в виде многогранников.

Так же применяются и звёздчатые многогранники. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре.

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа в виде кристаллов. Снежинки - это тоже звездчатые многогранники.

Таким образом, многогранник - это величайшее открытие, которое использует человек. Многогранник - креп, устойчив, красив. Со временем все совершенствуется, каждая идея сегодня новая, а завтра уже старая; каждая идея стареет, но не забывается. Мир многогранников велик, он составляет 1/3 всего составляющего на земле.

Размещено на Allbest.ru