Апроксимація функцій дискретного аргументу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Апроксимація функцій дискретного аргументу

01.01.01- математичний аналіз

Великіна Юлія Валеріївна

Київ 1999

УДК 517.5

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано на кафедрі математичного аналізу Дніпропетровського державного університету.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор БАБЕНКО Владислав Федорович, кафедра математичного аналізу Дніпропетровського державного університету, завідуючий.

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор ЛИГУН Анатолій Олександрович, Дніпродзержинський державний технічний університет, кафедра прикладної математики; - кандидат фізико-математичних наук, НАЗАРЕНКО Микола Олексійович, старший науковий співробітник Інституту математики НАН України.

Провідна установа: Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут".

Захист відбудеться "01" червня 1999 року о 15 год. На засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 при Інституті математики НАН України за адресою: 252601, м. Київ-4, МСП, вул. Терещенківська, 3, Інститут математики НАН України

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий "27" квітня 1999 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Переверзєв С.В. доктор фізико-математичних наук.

апроксимація похибка функціонал лінійний

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Переважна більшість питань класичної теорії апроксимації стосується досліджень функцій та їх узагальнень з континуальними областями визначення.

В той же час в останні роки відбувається досить активне використання теоретичних результатів теорії апроксимації в прикладних задачах. Особливо актуальним це стало з поширенням комп'ютерної техніки.

Відомо, що характерна особливість обчислювальної техніки полягає в тому, що вона оперує величинами, аргумент яких змінюється не неперервно, а дискретно.

І тут слід зазначити, що, як виявилось, дискретизація функцій неперервного аргументу, тобто звуження їх області визначення на множину цілих чисел (точніше на рівномірну мережу точок), у більшості випадків не придатна до застосування. Так, наприклад, дискретизація сплайна неперервного аргументу не є дискретним сплайном, а становить собою дискретну функцію, яка повністю позбавлена всіх екстремальних властивостей неперервного сплайна і, внаслідок цього, дає значно більші похибки апроксимації в порівнянні з природним дискретним сплайном.

В зв'язку з цим виникла необхідність в побудуванні відповідної теоретичної бази для дослідження проблем апроксимації функцій дискретного аргументу і, зокрема, для точного розв'язку екстремальних задач теорії апроксимації.

Незважаючи на те, що перша робота по дискретній апроксимації з'явилась ще у 1919 році, де С. Валле-Пуссен розглянув дискретну задачу найкращого наближення функцій алгебраїчними поліномами і розробив алгоритм побудування полінома найкращої апроксимації, донедавна були лише поодинокі роботи в цьому напрямку. Серед них відмітимо роботи Є.Я. Ремеза, Г.Ш. Рубінштейна, М.Д. Калашнікова і І.І. Етермана. В деякій мірі питання дискретної апроксимації порушені в монографіях С. Карліна, Дж. фон Неймана і О. Моргенштерна, В.П. Дем'янова і В.М. Малаземова.

Актуальність теми. В останні роки намітилась активізація досліджень в галузі дискретної апроксимації Це показали, принаймні, роботи А. Пінкуса, К. Бора, В.Ф. Бабенка, С.О. Пічугова і В.О. Кофанова, Л. Шумейкера і О. Мангасаряна, Р. Джа, З. Дітціана, Х. Капера і Б. Спеллмана, М. вонга і А. Зеттла. Зокрема, в роботах Л. Шумейкера і О. Мангасаряна вперше було визначено дискретні сплайни і запропоновано їх використання в задачах математичного програмування та в задачах оптимального обчислення сум з великим числом доданків.

Разом з тим, слід зазначити, що донедавна залишались невирішеними, за винятком окремих випадків, такі задачі дискретної апроксимації, як обчислення точних значень похибки апроксимації дискретними сплайнами на множинах послідовностей з обмеженою різницею заданого порядку в різних просторах, точне обчислення поперечників вказаних множин, оптимальне відновлення і побудування оптимальних алгоритмів відновлення значень лінійних функціоналів. А в задачі знаходження точної константи в дискретних нерівностях типу Колмогорова в рівномірній метриці протягом останніх років були зроблені лише перші кроки.

Дослідження даної дисертації саме і присвячені розв'язанню вищевказаних задач.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках держбюджетної теми № 122-95 "Екстремальні задачі апроксимації та їх застосування до оптимізації алгоритмів", яка проводиться на кафедрі математичного аналізу Дніпропетровського державного університету.

Мета і задачі досліджень. Знайти точні значення похибки апроксимації інтерполяційними і найкращими дискретними сплайнами як окремих послідовностей, так і множин послідовностей з обмеженою різницею будь-якого порядку в різних просторах.

Точно обчислити поперечники вказаних множин послідовностей.

Знайти точні похибки оптимального відновлення і побудувати оптимальні алгоритми відновлення значень лінійних функціоналів.

Розв'язати задачу знаходження точної константи в дискретних нерівностях типу Колмогорова.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертаційної роботи є новими. До них відносяться:

1. Отримані точні значення незменшуваних констант в деяких дискретних нерівностях типу Колмогорова.

2. Обчислені точні значення колмогоровських і лінійних поперечників довільної парності множин послідовностей з обмеженою різницею будь-якого порядку.

3. Знайдено точне значення похибки оптимального відновлення значень лінійних функціоналів на вищевказаних множинах і побудовано оптимальні алгоритми відновлення.

4. Обчислені точні значення похибки апроксимації інтерполяційними і найкращими дискретними сплайнами як індивідуальних послідовностей, так і множин послідовностей.

Ці результати, на відміну від більшості відомих, дають остаточний розв'язок вищевказаних задач.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертації, а також методи їх доведення можуть знайти застосування в подальших дослідженнях екстремальних задач теорії наближення і теорії оптимальних алгоритмів. Поряд з теоретичним, вони мають і практичне значення. Всі отримані результати доведені до конкретних обчислювальних формул, що дає можливість їх безпосереднього використання в обчислювальних задачах та програмуванні.

Особистий внесок здобувача. Рузультати розділів 1, 2, 3, 4 і підрозділів 5.2 і 5.3 отримані самостійно, а результати підрозділу 5.1 - у співавторстві з Великіним В.Л.

Апробація роботи. Результати, отримані в дисертації, доповідались на науковому семінарі кафедр теорії функцій і математичного аналізу Дніпропетровського державного університету, науковому семінарі по теорії апроксимації університету штату Вісконсін, м. Медісон, США; на розширеному науковому семінарі Інституту математики НАН України; на міжнародній конференції 1993 року з "Теорії наближень і задач обчислювальної математики"; в ІІ школі "Ряди Фур'є: теорія і застосування" Інституту математики НАН України.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в п'яти роботах, список яких наведено в кінці реферату.

Структура і обсяг дисертації. Робота складається із вступу, п'яти розділів, висновків і списку літератури із 43 найменувань. Загальний обсяг роботи 113 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові Бабенко В.Ф. за постійну увагу до цієї роботи і дуже корисні обговорення різних питань, пов'язаних з тематикою дисертації.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ дисертації носить вступний характер. В ньому введено ортогональний базис простору . Визначено дискретні аналоги ядер Бернуллі :

iZ.

Встановлено обчислювальну формулу для значень координат будь-якої послідовності за допомогою ядер Бернуллі :

rN,iZ.

Наведено декілька означень дискретних сплайнів і доведено їх еквівалентність оригінальному означенню. З цих означень наведемо тут одне (деякою мірою, більш цікаве): дискретний сплайн s порядку m з вузлами n_k Z -- це послідовність коефіцієнтів {s(i )} = s в розкладанні

неперервного сплайна порядку т з вузлами п_k по неперервним кардинальним В-сплайнам В_т . Зауважимо, що послідовність { ( і )}, тобто дискретизація неперервного сплайна ( t ), не є дискретним сплайном. Зазначимо, що дискретні В-сплайни були введені Р.Джа.

Отримано зображення дискретних сплайнів через дискретні ядра Бернуллі.

У другому розділі дисертації доведено основні властивості дискретних сплайнів і вивчено можливість інтерполяції дискретними сплайнами непарного порядку з будь-якими вузлами, а також дискретними сплайнами довільного порядку з рівновіддаленими вузлами практично з будь-якими точками інтерполяції. Введено дискретні аналоги ейлерових сплайнів :

та їх модифікацій:

,

Дано досить вичерпний аналіз розташування нулів та екстремальних значень таких сплайнів і отримано обчислювальні формули для їх норм. Використання дискретних ейлерових сплайнів та їх модифікацій

дозволило автору дати в 1998 році розв'язок однієї екстремальної задачі - знаходження точної константи в дискретній нерівності типу Колмогорова в просторі . Перші спроби вирішення цієї задачі здійснив у 1983 році З.Дітціан. Пізніше деякі окремі випадки цієї задачі були розглянуті в 1987 році Х.Капером і Б.Спелманом, в 1988 році - М.Квонгом і А.Зеттлом і в 1993 році - автором.

Основними результатами даного розділу є наступні теореми.

Теорема 3.1.2

Нехай , , і для деяких і

Якщо для деяких Z , , <, то

, де

Теорема 3.2.1 Для послідовності має місце наступна нерівність:

,

де константа є точною.

Розвиває відповідний результат В.Ф. Бабенка, С.О. Пічугова і В.О. Кофанова, отриманий ними для в 1992 році. Зазначимо, що дискретний тригонометричний поліном -- це, по суті, єдиний випадок з розглянутих в дисертації дискретних функцій, який є дискретизацією звичайного тригонометричного полінома. Цей розділ містить також досить вичерпні властивості переставлень послідовностей x, зокрема, доведено наступну теорему.

Теорема 4.3.3

Якщо то для будь - якого ,

.

Ця теорема, в свою чергу, дозволила довести наступну теорему.

Теоремa 4.3.5

Якщо і то

При треба в обох нерівностях замінити на .

Нарешті, в цьому розділі доведена

Теорема 4.4.5. Для будь-яких , ,

, , .

ВИСНОВКИ

Основними результатами роботи, які виносяться на захист, є:

1. Точні значення незменшуваних констант в дискретних нерівностях типу Колмогорова з довільним порядком старшої різниці.

2. Точні значення колмогоровських та лінійних поперечників довільної парності множин послідовностей з обмеженою різницею будь-якого порядку.

3. Точне значення похибки оптимального відновлення значень лінійних функціоналів на множинах послідовностей з обмеженою різницею будь-якого порядку і оптимальні алгоритми відновлення.

4. Точні значення апроксимації інтерполяційними і найкращими дискретними сплайнами як індивідуальних послідовностей, так і множин послідовностей.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ, ОПУБЛІКОВАНІ В РОБОТАХ

1. Velikina J.V. Sharp constants in discrete Kolmogorov - type inequalities // East J. Approx. - 1999. - 5, 1. - S. 89 - 100.

2. Velikina J.V. Approximation of linear functionals of finite-dimensional spaces by functionals defined on the spaces of smaller dimensional // Праці Ін-ту Математики НАН України. - 1998. - Т.20. - С. 72-76.

3. Великина Ю.В., Великин В.Л. Поперечники множеств функций дискретного аргумента // Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 10. - С. 1311-1320.

4. Великина Ю.В. Некоторые неравенства, связывающие нормы числовых последовательностей и их разностей // Теорія наближення та задачі обчислювальної математики: Тези доп. міжнар. конф. -Дніпропетровськ, 1993. - С. 40.

5. Великина Ю.В. Дискретные сплайны в оптимальной аппроксимации // ІІ школа "Ряди Фур'є: теорія і застосування": Тези доп. - Київ, 1997. - С. 33.

АНОТАЦІЇ

Великіна Ю.В. Апроксимація функцій дискретного аргументу. -- Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут математики НАН України, Київ, 1999.

Дисертацію присвячено екстремальним задачам дискретної апроксимації. В дисертації дано повний розв'язок задачі знаходження точної константи в нерівності типу Колмогорова для оцінки в рівномірній метриці норми різниці послідовності через норму самої послідовності та норму її різниці будь-якого порядку. Застосований при цьому метод відрізняється від відомих методів, які були вжиті раніше як у неперервному, так і в дискретному випадках. Обчислено колмогоровські та лінійні поперечники будь-яких вимірностей множин послідовностей з обмеженою різницею довільного порядку. Вирішено задачу оптимального відновлення лінійних функціоналів на таких множинах. Встановлено точні значення похибки апроксимації інтерполяційними та найкращими дискретними сплайнами на множинах послідовностей з обмеженою в різних метриках різницею будь-якого порядку.

Ключові слова: дискретний, сплайн, апроксимація, інтерполяція, поперечник, відновлення.

Великина Ю.В. Аппроксимация функций дискретного аргумента. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт математики НАН Украины, Киев, 1999.

Диссертация посвящена экстремальным задачам дискретной аппроксимации. В диссертации дано полное решение задачи нахождения точной константы в неравенстве типа Колмогорова для оценки в равномерной метрике нормы разности последовательности через норму самой последовательности и норму её разности любого порядка. Примененный при этом метод отличается от известных методов, которые были использованы ранее как в непрерывном, так и в дискретном случаях. Вычислены колмогоровские и линейные поперечники любых размерностей множеств последовательностей с ограниченной разностью произвольного порядка. Решена задача оптимального восстановления линейных функционалов на таких множествах. Для информаций, которые используют значения отдельных координат последовательности, найдено точное значение погрешности, и построен оптимальный алгоритм восстановления. Получены оценки для погрешности приближения произвольной последовательности интерполяционными дискретными сплайнами и установлена оптимальная по точности формула для приближенных вычислений координат последовательностей.

Определены дискретные аналоги ядер Бернулли и с их помощью получены вычислительные формулы для значений координат произвольной последовательности.

Дан ряд определений дискретных сплайнов и доказана их эквивалентность, в частности, при помощи В - сплайнов установлена связь дискретных сплайнов с непрерывными. Введены дискретные аналоги эйлеровых сплайнов и их модификаций. Исследованы их свойства и получены вычислительные формулы для значений и норм этих сплайнов и их разностей произвольного порядка.

Найдены точные значения приближения в пространствах интерполяционными и наилучшими дискретными сплайнами множеств последовательностей с ограниченной в пространствах разностью произвольного порядка.

Установлены свойства невозрастающих перестановок последовательностей, на основании которых доказана экстремальность дискретных аналогов эйлеровых сплайнов в норме пространств , .

Получены достаточно эффективные и простые в использовании вычислительные формулы для аппроксимации дискретными сплайнами функций как дискретного, так и непрерывного аргумента.

Ключевые слова: дискретный, сплайн, аппроксимация, интерполяция, поперечник, восстановление.

Velikina Yu.V. Approximation of functions of discrete argument.-- Manuscript. Thesis for the degree of the candidate of physical and mathematical sciences, speciality 01.01.01 -- mathematical analysis. -- Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, 1999.

The dissertation is dedicated to the solution of extremal problems of discrete approximation. In the dissertation, we give complete solution to the problem of finding sharp constants in the Kolmogorov-type inequality estimating the norm of a difference of a sequence via the norms of the sequence and its difference of any degree in the uniform metric. The method used in the proof differs from the known methods that were used earlier by different authors both in the discrete and in the continuous cases. We compute Kolmogorov and linear widths of any dimension of the sets of sequences with the bounded difference of arbitrary order and solve the problem of optimal recovery. We establish exact values of the error of interpolation and best approximation by discrete splines on the sets of sequences with the difference of any order bounded in different metrics.

Keywords: discrete, spline, approximation, interpolation, width, recovery.

Размещено на Allbest.ru