Размещено на http://allbest.ru

Раздел 1. НАТУРАЛЬНЫЕ, ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1.1 Азы

Известные нам числа 1, 2, 3... называются натуральными. Их используют для счета или обозначения количества предметов, например: один юрист, два юриста и т. д. Кроме того, с помощью натуральных чисел обозначают порядок предметов.

Например, если всех милиционеров в отделении выстроить по росту, то каждому из них можно присвоить номер: первый милиционер, второй милиционер и т. д.

Поэтому различают количественные числа -- один, два, три, четыре..., и порядковые числа -- первый, второй, третий...

Чтобы записывать натуральные числа, большие десяти, мы пользуемся так называемой десятичной позиционной системой. Слово «позиционная» означает, что значение цифры зависит от ее места, например:

147= 1 * 100 + 4 * 10 + 7 1,

714 = 7-100 + 1 -10 + 4-1,

471 = 4 * 100 + 7 * 10 + 1 * 1. (1.1)

Слово «десятичная» означает, что используются степени десятки. В другой системе, например, пятиричной, содержащей всего пять цифр 0, 1, 2, 3, 4, числовая позиционная запись расшифровывается так:

143 = 1 * 5² + 4 - 6 + 3 * 1;

в двоичной системе, содержащей всего две цифры 0 и 1, мы получим:



1 011 001 = 1 * 2⁶ + 0 * 2⁵ + 1 - 2⁴ + 1 * 2³ + + 0-2²+ 0-2 + 1-1.

Существуют различные виды чисел. Натуральные числа используются для счёта объектов. Множество натуральных чисел обозначается .

Если к натуральным числам добавить ещё отрицательные числа и ноль, мы получим целые числа . Целые числа в математике изучаются в рамках теории чисел.

Отношения целых чисел называются рациональными числами, или обыкновенными дробями. Множество всех рациональных чисел обозначается .

При записи чисел используются различные способы (последовательности символов- цифр), т.е. конкретная система счисления

Если к рациональным числам добавить все бесконечные и непериодические десятичные дроби, называемые иррациональными числами, мы получим вещественные числа . Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число -- алгебраическим.

Действительные числа, в свою очередь, могут быть расширены до комплексных чисел .

Комплексные числа могут быть расширены до кватернионов , однако умножение кватернионов не коммутативно. В свою очередь октавы , являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство ассоциативности.

В математике для множеств существует величина мощности множества, аналогичная количеству элементов в нём. Развитие этого представления для бесконечных множеств привело к дальнейшему обобщению понятия числа. Сейчас говорят о кардинальных числах, которые описывают множества из любого числа элементов -- конечного или бесконечного.

Натуральные числа (естественные числа) -- числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел -- числа, используемые при:

а) перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);

б) обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.

Ноль некоторые авторы включают в множество натуральных чисел, другие -- нет.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом (от лат. naturalis -- естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания, называется натуральным рядом.

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют на . В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств 0 является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций ноль, как и пустое множество, не является чем-то выделенным. Одним из преимуществ натурального нуля является то, что при этом образует полугруппу с единицей.

В русской литературе обычно ноль исключён из числа натуральных чисел , а множество натуральных чисел с нулём обозначается как . Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как , а без нуля как .

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают . Множество зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают .

Индуктивное определение: Натуральные числа, не считая ноля, -- это единица или её сумма с любым другим натуральным числом.

Натуральные числа могут быть описаны аксиоматически. Одна из возможных систем -- аксиомы Пеано:

а) Единица есть натуральное число:

<math>1\in \mathbb{N}</math>;

б) Число, следующее за натуральным, также является натуральным числом:

<math>n \in \mathbb{N} \implies n+1 \in \mathbb{N}</math>;

в) Единица не следует ни за каким натуральным числом:

<math>\nexists n : n+1=1</math>

г) Если натуральное число a следует за натуральным числом b и a следует за натуральным числом с, то b=c:



<math>(a=b+1) \land (a=c+1) \implies b=c</math>;

д) Аксиома математической индукции: Если утверждение (зависящее от параметра) доказано для числа 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, следует, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

е) Система обозначения

Существуют различные методы обозначения натуральных чисел, обычно называемые системами счисления.

С дополнением метки-заполнителя -- структурного ноля -- натуральные числа можно записать в произвольной позиционной системе счисления, например, -- в двоичной (обычно применяемой в ЭВМ): 1, 10, 11, 100, 101… -- или в распространенной в настоящее время в литературе и в быту десятичной: десятью арабскими цифрами <math>0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9</math> можно записать любое число: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … 99, 100, 101, 102 …

История

Ряд древних цивилизаций: Древнее Междуречье, Древний Египет, Древний Китай, Майя знали натуральные числа и имели различные системы для их обозначения. Концепция, что существует число ноль, по видимому, появилась позже, чем понятие натуральных чисел -- только в позднем Вавилоне и у Майя.

Как отдельная наука, изучающая чистые, формальные свойства натуральных чисел, теория чисел, или высшая арифметика, основополагается в работах математика-любителя Пьера де Ферма (

Операции

Натуральные числа целиком охвачены арифметикой, так как можно:

а) их складывать и перемножать любым образом,

б) вычитать меньшее число из большего,

в) делить число на любой из образующих его множителей.

По сложению натуральные числа образуют коммутативную полугруппу: любые два натуральных числа можно сложить, и сложение коммутативно и ассоциативно:

<math>a+b=b+a</math>

(коммутативность или перестановочное свойство: от перемены мест слагаемых сумма не меняется)

<math>(a + b) + c=a + (b + c)</math> (ассоциативность)

Умножение натуральных чисел также коммутативно и ассоциативно:

<math>a \cdot b = b \cdot a</math>

<math>(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)</math>

Умножение дистрибутивно по сложению:

<math>a\cdot(b+c) = a \cdot b + a \cdot c</math>

Натуральные числа вполне упорядочены: в любом их подмножестве будет минимальный элемент. Это является как бы «отражением» правила индукции, принцип метода бесконечного спуска.

Если из большего числа «отсчитать обратно по один», «вычесть», меньшее, то получится другое меньшее,

а <math>a-b=b, a>b \iff a=2b</math>.



Уже у целых чисел такое определение нарушается ровно в «другой половине случаев», когда вычитается отрицательное, давая число, большее первого.

Каждое натуральное число, большее единицы, обладает единственным с точностью до порядка сомножителей разложением на простые множители: основная теорема арифметики.

Расширение до целых чисел и дальше

Если к натуральным числам добавить ноль и отрицательные числа (обратные к натуральным по сложению), то в совокупности получится расширение понятия числа до кольца целых чисел

<math>\mathbb{Z}</math>,

которое лежит в основе Теории чисел.

Отрицательные числа можно мыслить как получамые путем обратного счёта -- последовательного убавления по единице, которое вводит ряд отрицательных чисел, каждое из которых сложением обнуляет противоположное ему натуральное:

<math>n+(-n)=0</math>.

Если рассматривать бинарные отношения целых чисел -- дроби -- то получится поле рациональных чисел

<math>\mathbb{Q}</math>.

Пополнение этого поля по стандартной метрике (расстояние между числами равно модулю их разности) будет представлять собой поле действительных чисел



<math>\mathbb{R}</math>,

представимое как допустимо бесконечные и апериодичные цепные дроби. Алгебраическое замыкание поля действительных чисел образует поле комплексных чисел

<math>\mathbb{С}</math>

(его можно представлять как поле действительных чисел, к которому добавлена мнимая единица

<math>i</math>: <math>i^2=-1</math>.

Натуральные числа можно, как известно, складывать, вычитать, умножать и делить. Однако эти операции неравноценны.

Очевидно, что сумма а + b любых двух натуральных чисел а и b снова будет натуральным числом; то же самое можно сказать и о произведении аb. При этом порядок слагаемых и сомножителей не играет роли, т.е.

a + b = b + a иab = bа.

Что же касается операций вычитания и деления, то здесь ситуация иная. Например, разность 5-2 = 3 -- число натуральное, но натурального числа 2 - 5 не существует. В последнем случае используют так называемые отрицательные числа и записывают 2-5 =-3, 4-10 =-6 и т.п.

Числа а и -а называются противоположными.

Между натуральными числами и целыми отрицательными числами находится число 0 (нуль). Его рассматривают как количественное число; нуль предметов данного вида (например, попугаев в Антарктиде) означает отсутствие предметов данного вида. Пользуясь математической терминологией, можно сказать, что множество попугаев, проживающих в Антарктиде, есть пустое множество.

Нуль обладает следующими свойствами:

а) а + 0 = а;

а + (-а) = 0;

б) на нуль делить нельзя.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и число нуль называются в совокупности целыми числами. Множество всех натуральных чисел обозначается символом N, множество всех целых чисел -- символом Z. Наглядно целые числа представляют точками на прямой (шкала термометра):

В отличие от множества натуральных чисел, множество целых чисел устроено более «демократично»: любые два целых числа можно вычитать друг из друга и результат вычитания всегда будет также целым числом. Математики говорят, что множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания, и что это множество получено расширением множества натуральных чисел.

Потребность расширить множество натуральных чисел возникает и при делении. Например, семь милиционеров нельзя разделить на четыре равные части -- такого количества милиционеров 7/4 не существует. Но мы вполне можем разделить семь миллионов рублей на четыре равные части. Это число (1 миллион 750 тысяч) составляет 7/4 от общей суммы.

Аналогичный смысл имеет обозначение , где а и Ъ -- любые натуральные или даже целые числа (b0). Числа вида называются обыкновенными дробями или рациональными числами. Множество всех рациональных чисел обозначается символом Q.

Целое число а можно записать как дробь а/1, поэтому целые числа входят как часть во множество рациональных чисел. В этом случае говорят, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел. Точно так же, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Записывается это следующим образом:

N Z Q,

а знак «» читается так: «содержится в», «является подмножеством» или «является частью». Заметим, что во множестве рациональных чисел «равноправия» еще больше, чем во множестве целых чисел: любые два рациональных числа можно не только вычитать друг из друга, но можно и делить одно на другое (кроме деления на нуль!); при этом в результате указанных действий всегда будут получаться снова рациональные числа. Таким образом, множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех операций: сложения, вычитания, умножения и деления.

Все натуральные числа, за исключением единицы, подразделяются на простые и составные. Натуральное число называется составным, если оно представляет собой произведение двух натуральных чисел, не равных единице, например: 4 = 2-2, 39 = 3 * 13, 111 = 3 * 37. Если натуральное число нельзя представить в виде такого произведения, то оно называется простым, например: 2, 3, 5, 7, 11.

Простые числа играют в математике особую роль. В их жизни много загадочного, и математики, стремясь разгадать эти тайны, открыли (и продолжают открывать до сих пор!) интереснейшие свойства простых чисел, придумали оригинальные математические методы исследования, которые применяются не только в теории чисел, но и в других разделах математики.

Из школьной программы нашим читателям, безусловно, должны быть известны следующие факты: - натуральное число называется простым, если оно делится только на самого себя и на 1; - натуральное число называется составным, если оно имеет делитель, отличный от самого себя и 1; - 1 не считается ни простым, ни составным числом (это связано с тем, что 1 является так называемым обратимым элементом множества целых чисел, т.е. любое число можно поделить на 1, а простые числа этим свойством не обладают); - любое натуральное число, отличное от 1, можно разложить в произведение простых сомножителей, причем единственным образом (с точностью до перестановки сомножителей) - этот факт называется основной теоремой арифметики.

Вместе с этими фактами следует помнить и следующие: - составные числа имеют в своем разложении на простые множители хотя бы 2 (не обязательно разных!) множителя, простые - ровно 1 множитель, единица - 0 множителей (!); - для любого простого числа (p) и любого натурального числа (n) существует целая неотрицательная степень вхождения p в разложение n, и она определена однозначно; если в разложении n нет множителя p, то степень равна 0, если есть - степень вхождения равна количеству простых множителей, равных p, в разложении n (здесь и далее мы повсеместно будем обозначать эту степень вхождения через v_p(n), как принято в высшей алгебре; более того, это сделано специально, чтобы читатели хорошо овладели удобным и кратким языком этих обозначений);

- 2 натуральных числа a и b равны тогда и только тогда, когда

число математика дробь делимость

v_p(a)=v_p(b)

для любого простого p (по-русски: "два числа равны тогда и только тогда, когда степени вождения в них всех простых множителей одинаковы");

- если натуральное число n=a*b, то для любого простого p:

v_p(n)=v_p(a)+v_p(b)

(по-русски: "степень вхождения любого простого множителя в число n равна сумме его степеней вхождения в a и b");

это следует из того, что разложение произведения чисел на простые множители есть объединение их разложений;

- число n делится на число d если и только если любой простой множитель входит в n в не меньшей степени, чем в d, т.е.

v_p(n)>=v_p(d)

для любого простого p; иначе, если для какого-то множителя p это неверно, то при делении образуется дробь с неуничтожаемым множителем p в знаменателе;

- последнее условие достаточно проверять, разумеется, только для простых множителей входящих в разложение d; для невходящих будет v_p(d)=0, что в любом случае не больше v_p(n);

- при этом, если n делится на d, и частное мы обозначим за q, то

v_p(q)=v_p(n)-v_p(d)

для любого простого p (по-русски: "степень вхождения любого простого множителя в число q равна разности его степеней вхождения в n и d"); это следует из равенства n=d*q и предыдущих пунктов; - да, чуть не забыл: для любого простого p, v_p(1)=0 (по-русски: "степень вхождения любого простого множителя в единицу равна нулю").

(!) Буква p (а также буква q) в этой лекции будет специально зарезервирована для обозначения только простых чисел. Поэтому слова "для всех p", "для любого q" и т.п. следует понимать как "для всех простых p", "для любого простого q".

Примеры: Типичные простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 101, 239... (во многих учебниках и справочниках есть полная таблица простых чисел от 1 до 1000; а всего простых чисел бесконечно много).

Типичные составные числа: 4, 6, 8, 10, 12... (делятся на 2), 9, 15, 21, 27... (делятся на 3), 25, 35, 55, 65... (делятся на 5).

Нетипичные: 111=37*3, 1001=7*11*13, 10001=73*137... (составных чисел тоже бесконечно много, хотя бы потому, что четных - бесконечно много). А простого способа определить по виду числа его простоту (если для него не выполняется ни один из признаков делимости на маленькие числа) не существует(!).

Разложение на простые множители - это что-то типа: 72=2*2*2*3*3=2³*3²; здесь мы имеем v₂(72)=3, v₃(72)=2 и v_p(72)=0 для простого p, отличного от 2 и 3.

Если написать, например, 72=6*12, то для этих чисел будут разложения: 6=2*3, 12=2*2*3==2²*3.

Тогда получаем: v₂(6)=1, v₂(12)=2, v₃(6)=1, v₃(12)=1, v_p(6)=v_p(12)=0, при p, не равном 2 и 3.

Заметим, что 1+2=3, 1+1=2 и 0+0=0, в соответствии с формулой

v_p(n)=v_p(a)+v_p(b)

для n=a*b.

Рассмотрим, например, число 18=2*3*3=2*3² - у него будет здесь мы имеем v₂(18)=1, v₃(18)=2 и v_p(18)=0 для всех прочих множителей. 3>=1, 2>=2, 0>=0, поэтому v_p(72)>=v_p(18) для любого p.

И при этом, действительно, 72 делится на 18.

Частное от деления 72 на 18 равно 4=2*2=2², и у него v₂(4)=2, v₃(4)=0, v_p(4)=0 для p, не равного 2 и 3.

Как ни странно, 2=3-1, 0=2-2, 0=0-0, т.е. все согласуется с формулой

v_p(q)=v_p(n)-v_p(d)

для q=n/d.

Если рассмотреть число, на которое 72 вообще не делится, например 48, то оно равно 2*2*2*2*3=2⁴*3.

Тогда v₂(48)=4>3=v₂(72). Именно из-за этого оно и не делится (72/48=3/2 - как раз остается 2 в знаменателе).

Разложение на простые множители и вопросы делимости:

Свойства делимости числа полностью определяются его разложением на простые множители. Более того, как показывает ряд следующим примеров, это свойства удобнее проверять именно через разложение.

(!) Утверждение "a делится на b" или "b делит a" мы будем записывать общепринятым обозначением b|a. Другое общепринятое обозначение - вертикальное троеточие - мы по техническим причинам использовать не будем.

1. Делится ли 2⁹*3 на 8? А делится ли оно на 9? А на 6? На 8 это число делится, т.к. 2 входит в его разложение на множители в степени 9, а 8=2³.

На 9 это число не делится, так как 3 входит в его разложение на множители только в степени 1, а 9=3².

На 6 оно делится, потому что 6=2*3, а в разложение данного числа на множители входят 2 и 3, каждое в степени не меньше 1.

2. Верно ли, что если натуральное число делится на 3 и на 4, то оно делится на 12?

А верно ли, что если число делится на 4 и на 6, то оно делится на 24?

Первое утверждение верно: если 4|n, то v₂(n)>=2. Кроме того, 3|n, и поэтому v₃(n)>=1. Тогда ясно, что n делится на 2²*3=12 ч.т.д.

Второе утверждение неверно: Если 4|n, то v₂(n)>=2. Если 6|n, то v₂(n)>=1 и v₃(n)>=1.

В общей сложности получается, что v₃(n)>=1, а v₂(n)>=max(1,2)=2 (важно, что тут максимум, а не сумма!). Тогда n делится на 2²*3=12, но не обязательно на 24. Действительно, числа 12, 36, 60, 84... делятся на 4 и на 6, делятся, как и было доказано, на 12, но они не делятся на 24.

3. Число 5А делится на 3. Верно ли, что А делится на 3? А верно ли, что если 15А делится на 6, то А делится на 6?

Первое утверждение верно: если 3|5А, то v₃(5A)>=1. v₃(5)=0 (5 на 3 не делится), откуда v₃(A)=v₃(5A)-v₃(5)>=1, т.е. 3|A, ч.т.д.

Второе утверждение неверно: 6=2*3, откуда v₂(15A)>=1, v₃(15A)>=1. Но 3 входит и в разложение числа 15, поэтому v₃(A)=v₃(15A)-v₃(15)=v₃(15A)-1>=0, т.е. может быть и нулем - тогда неверно 6|A. Например, так будет при А=2: 15А=30, 6|30 (а 2|A, т.к. 15 на 2 не делится).

Древнегреческий математик Эратосфен предложил способ получения простых чисел, который называется решетом Эратосфена.

Отметим (кружком) простое число 2 и затем вычеркнем все четные числа (или, как говорят, числа, кратные двум).

Согласно определению, вычеркнутые числа не являются простыми, так как делятся на два и их можно записать в виде 2k.

Затем отметим простое число 3 и вычеркнем все числа, кратные трем: 3, 6, 9, 12 и т.д. Эти числа не простые, а составные, так как их можно записать в виде 3k. Часть этих чисел, а именно четные, уже вычеркнута (на рис. 2 они зачеркнуты два раза). Следующее наименьшее незачеркнутое число -- 5, оно простое. Выделим его, а затем вычеркнем все числа, кратные пяти: 10, 15, 20 и т.д. В результате останутся незачеркнутыми только простые числа.

Заметим, что осуществить описанную процедуру полностью практически невозможно, так как множество натуральных чисел бесконечно. Но мы можем, пользуясь решетом Эратосфена, найти «вручную» все простые числа, например, в первой тысяче натуральных чисел. Современные компьютеры позволили отодвинуть эту границу до 10²⁰. Принципиально, возможности ЭВМ здесь не ограничены.



1.1 Упражнения

а) Найдите такое число х, что для любого числа а выполняется равенство ха = а.

б) Вспомните, что такое четные и нечетные числа. Назовите все четные простые числа.

в) Будет ли множество четных чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения?

г) Назовите наименьшее натуральное число.

д) Сравните дроби: и ; и ; и ; и .

е) Вспомните, что такое среднее арифметическое двух, трех или нескольких чисел. Найдите среднее арифметическое следующих чисел.

ж) Покажите, что следующие числа являются простыми:

2-3 + 1; 2-3-5 + 1; 2 * 3 * 5 * 7 + 1; 2 * 3 * 5 * 7 * 11 + 1.

Попробуйте предсказать общий результат.

1.2 Типовое задание

Выполните следующие арифметические действия



Раздел 2. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Понятия числа являются первичным и основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел

появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые числа

и рациональные числа

где .

Для однозначности записи рационального числа будем считать, что дробь не сократима, если не будет делаться оговорки на этот счет.

Введение рациональных чисел, однако, полностью не решило важной практической задачи об измерении отрезков. Ведь существует отрезок, длина которого не является рациональным числом. Примером может служить диагональ квадрата, сторона которого равна единице.

В связи с этим возникла необходимость введения, кроме рациональных чисел, и других чисел - иррациональных. Произвольные числа - рациональные или иррациональные - называются действительными или вещественными. Множество действительных чисел обозначают через .

Существуют различные способы введения (определения) действительных чисел. Мы остановимся на способе представления их в виде бесконечных десятичных дробей

. (1)

Здесь - целое неотрицательное число, при - десятичные цифры. Таким образом, может принимать только одно из значений . Знак часто в этих записях опускают.

Чтобы представить не равное нулю рациональное число в виде десятичной дроби, производим процесс деления на по известному способу, которому нас учили в школе:

(2)

Заметим, что если этот способ применить к другой записи дроби , то получим тот же результат.

Полагаем

(3)

и правую часть (3) называем десятичным разложением числа .

Если знаменатель дроби имеет вид , где , - целые неотрицательные числа, то процесс (2) заканчивается после конечного числа шагов и получается конечная десятичная дробь



. (4)

Конечную десятичную дробь мы будем записывать также в виде бесконечной дроби:

(5)

Но пользуются также и другой записью:

(5?)

хотя она не возникает из процесса (2).

Итак, имеют место равенства

Дроби и могут служить примерами периодических дробей.

Первая из них после цифры имеет период 0, а вторая после цифры имеет период 9.

Пусть теперь знаменатель несократимой дроби не имеет вид . Тогда процесс (2) бесконечный - на любом шаге возникает положительный остаток. Каждый остаток меньше , и потому (после того, как цифры числа снесены) уже среди первых остатков, по крайней мере, два, равные между собой.

Но, как только возникает остаток, который уже был прежде, процесс становится повторяющимся - периодическим. Поэтому, десятичное разложение произвольного рационального числа имеет вид

(6)

Разложения (5) и (5?) можно рассматривать как частные случаи (6).

Примеры:

(7)

Разложение вида (6) называется бесконечной десятичной периодической дробью.

Итак, каждое не равное нулю рациональное число можно разложить с помощью процесса (2), а в случае (4) и процесса (5) - в бесконечную периодическую дробь с периодом, отличным от 9. При этом можно доказать, что разным рациональным числам соответствуют разные бесконечные десятичные разложения. Но и обратно: любая бесконечная периодическая дробь (6), с периодом, отличным от 9, порождается при помощи указанных процессов.

Здесь мы позволили себе через и обозначить целое число, записанное соответственно цифрами и .

Например,

Кроме периодических десятичных дробей, существуют непериодические, например ; .

Вот еще пример: если извлекать корень квадратный из 2 по известному правилу, то получим определенную бесконечную непериодическую десятичную дробь . Она определена в том смысле, что любому натуральному числу соответствует определенная цифра , стоящая на -м месте после запятой и однозначно вычисляемая согласно правилу извлечения квадратного корня.

Математический анализ дает много путей вычисления числа с любой наперед заданной точностью. Это приводит к вполне определенному бесконечному десятичному разложению , которое, как оказывается, не является смешенной периодической десятичной дробью.

Дадим теперь определение иррационального числа, пока чисто формальное. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная непериодическая дробь

(8)

где - целое неотрицательное число, а - цифры, знак же равенства «=» выражает, что мы обозначили правую часть (8) через . Впрочем, удобно говорить, что правая часть (8) есть десятичное разложение числа .

Рациональные и иррациональные числа называются действительными (или вещественными) числами.

Из сказанного следует, что всякое не равное нулю действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби (8). Если оно рациональное, то его десятичное разложение есть бесконечная периодическая десятичная дробь. В противном случае, согласно нашему определению, выражение (8) само определяет иррациональное число.

Не равная нулю десятичная дробь может быть конечной, но она не определяет нового рационального числа: в силу соглашений, выраженных равенствами (5), (5?), она может быть заменена указанными в этих равенствах бесконечными периодическими дробями.

Число , где не все равны нулю, положительно или отрицательно в зависимости от того, будет ли в (8) фигурировать или ; при этом, как обычно, будем опускать.

Число 0 тоже может быть записано бесконечной десятичной дробью одного из следующих видов:

.

Действительные числа определены пока формально, надо еще определить арифметические операции над ними, ввести понятие и проверить, что эти операции и понятие согласуются с уже имеющимися соответствующими операциями и понятием для рациональных чисел, а также удовлетворяют свойствам, которые мы предъявляем к числам.

Рациональные числа и иррациональные числа образуют множество действительных чисел . Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. которую называют числовой прямой.

Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десятки, т.е. 10, 10² = 100, 10³ = 1000 и т.д., называются десятичными дробями. Записываются они особым образом:

; 1; 2

Попытка записать любую обыкновенную дробь в виде десятичной дроби приводит иногда к бесконечной десятичной дроби. Например, разделив «уголком», мы получим: *

=0,333...; =0,90909...;

Как видно, получающаяся бесконечная последовательность цифр содержит так называемый период -- один и тот же повторяющийся набор цифр. Поэтому полученные десятичные дроби называют бесконечными периодическими десятичными дробями.

Можно доказать, что любая обыкновенная дробь записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Обратное также верно: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. Как найти последнюю, поясним на примере.

Пример. Превратим в обыкновенные дроби числа q = 0,777... и р = 0,999...

Умножив на 10, получаем:

1) 10q = 7,777... = 7 + q, откуда 9q = 7 и q = .

Проверьте результат, превратив 7/9 в десятичную дробь.

2)10р = 9,999... = 9 + р, откуда 9р = 9 и р = 1. Заметим, что 1 можно записать в виде бесконечной десятичной дроби с периодом 0: 1,000...; аналогично, 0,24 = = 0,24000..., 3,5 = 3,5000... и т.п.

2.1 Упражнения

С помощью калькулятора и «вручную» превратите данную обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите период: , , , . .

Превратите бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную: 1,888...; 0,1212...; 0,444...

Решив эти примеры, каждый будущий юрист задаст себе вопрос: а имеют ли смысл бесконечные непериодические десятичные дроби?

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник, длина катетов которого равна единице. Обозначим длину гипотенузы через х. По теореме Пифагора

_X²₌1² + 1² = 2.(1)

Докажем, что корни этого уравнения не являются рациональными числами. В самом деле, предположим противное, т.е. что корнем уравнения (1) является дробь х = (a и b -- целые числа). Если дробь можно сократить, сделаем это, и будем полагать далее, что дробь является уже несократимой.

Подставляя в уравнение (1), получим = 2 или

a² = 2b²(2)



Так как в правую часть равенства (2) входит множитель 2, то а² -- число четное.

Следовательно, число а также четное и его можно записать в виде а = 2с. Подставив в (2), получим (2с)2 = 2b² или, сократив на 2, 2с² = b². Отсюда следует, что число b² также является четным. Но тогда четным будет и число b. Теперь, поскольку оба числа а и bполучились четными, дробь является сократимой.

Это противоречит сделанному выше предположению, что дробь -- несократимая. Противоречие возникло вследствие того, что в самом начале было сделано неверное предположение -- корнем уравнения (1) является рациональное число -- дробь . Следовательно, никакая дробь не может быть корнем уравнения (1), что и требовалось доказать.

Результат наших рассуждений можно сформулировать иначе: квадратный корень из числа 2 не является рациональным числом, т.е. бесконечной периодической десятичной дробью.

Будем искать приближенные значения числа х = . Ясно, что 1 < х < 2. Далее, так как 1,4² = 1,96 < 2 = х², а 1,5² = 2,25 > 2 = х², то 1,4 < х < 1,5. Это означает, что с точностью до 0,1 число х приближенно равно 1,4, (я » 1,4). Аналогично устанавливаем, что 1,41 < х < 1,42, так как 1,41² < 2, а 1,42² > 2. Следовательно, с точностью до 0,01 получаем х 1,41. Применив еще раз тот же прием, найдем, что 1,414 < х < 1,415, т.е. х 1,414, и т.д.

Описанная процедура позволяет находить все более точные приближения числа . Но ни одно из этих приближений не может быть равным , так как все приближенные значения являются рациональными числами, а мы доказали, что не является рациональным числом. Поэтому последовательность приближенных значений будет бесконечной.

Итак, число представляется в виде бесконечной последовательности приближенных значений. Каждое последующее значение получается добавлением к предыдущему нового десятичного знака. Это позволяет записать в виде бесконечной десятичной дроби: =1,414213662373...

Описанным способом можно находить десятичные приближения любого числа. Для обыкновенных дробей -- это просто деление уголком (cм. выше), которое приводит к бесконечным периодическим дробям. Поскольку число не является рациональным, то представляющая его бесконечная десятичная дробь не будет периодической. Таким образом мы приходим к понятию бесконечной непериодической десятичной дроби.

Для чисел вида , а N также имеются процедуры, позволяющие найти любое число знаков в их десятичной записи. Один из таких алгоритмов мы приводим ниже без описания: Это ребус посложнее, чем деление «уголком». Попробуйте его разгадать.

2.2.1 Ребус

Рассмотрим Рисунок 2.1

Рисунок 2.1 «Ребус»

	1
24 4	100 - 96		42 2	100 -84
281 1	400 -281		443 3	1600 -1359
2824 3	11900 -11296		4466 6	27100 -26796
...	...		...	...

=1,414... =2,236...

Найдите еще несколько знаков и проверьте результат с помощью калькулятора.

Заметим, что всякую бесконечную десятичную дробь можно записать в виде суммы бесконечного числа слагаемых:

= 0,333... = + + + ...;

= 1 + + + + ...

Такие суммы называются рядами. Первый ряд представляет собой так называемую бесконечную геометрическую прогрессию, с которой, возможно, Вы познакомились в школе.

Второй ряд прогрессией уже не является.

В школе Вы решали квадратные, кубические и биквадратные уравнения. Их корни выражаются через радикалы второй, третьей или четвертой степени. Например, уравнение х³ = 5 имеет корень х = , уравнение 2х² = 3 -- корни х = и х = -.

Корни квадратного уравнения

ах² + bх + с = 0

вычисляются по формуле

(2.1)

В школьных учебниках числа а, b и с обычно подбирают так, чтобы под корнем получался квадрат целого числа.

Но, если коэффициенты уравнения не подбирать специально, то корни х₁ и х₂ будут, вообще говоря, бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Наиболее общий результат формулируется так: корень любого алгебраического уравнения

а₀х^п + a₁x^n-1 + а²х^{п -2} + ... + а_п-1 + а_п = 0 (3)

степени п с целыми коэффициентами (если этот корень существует!) является, вообще говоря, бесконечной непериодической десятичной дробью.

Помимо алгебраических уравнений, существуют другие источники получения бесконечных непериодических десятичных дробей.

Определим два очень важных числа.

Первое из них -- число , равное отношению длины I произвольной окружности к ее диаметру d:

Это число известно с глубокой древности.

Вавилонские, египетские, китайские и греческие математики нашли различные приближенные значения числа :

3, 4, , , ,

и другие.

Рассматривая вписанные в окружность правильные 2n-угольники, Архимед умел вычислять с большой точностью.

В частности, он нашел, что

< п <

Лейбниц доказал, что число п можно представить в виде следующего ряда:



(4)

(Заметьте, что дроби в правой части не являются десятичными.) Этот ряд позволяет находить приближенные значения числа п.

В скобках стоят положительные числа. Поэтому, «отбросив» их, мы увеличиваем правую часть:

<

Умножив это равенство на 4, найдем оценку «сверху».

С другой стороны, из того же равенства (4) находим:

В скобках стоят положительные слагаемые.

Поэтому, отбрасывая их, получаем:

<,

что дает оценку «снизу» для числа : >. Итак, мы получили, что

< <

Это довольно грубая оценка истинного значения числа . Ее можно улучшить, если взять для оценки не 5, а более слагаемых из ряда (4).



Вот первые 15 точных знаков после запятой:

= 3,141592653589793...

Другое очень известное в математике число -- так называемое неперово⁴ число е -- также может быть представлено в виде ряда:

Здесь мы используем стандартное обозначение n! = 1 2 3 ... n, которое читается «n факториал».

Чтобы найти приближенное значение числа е, нужно в сумме (5) оставить несколько слагаемых, а остальными пренебречь. Чем больше слагаемых мы оставим, тем точнее будет результат:

е = 2,718281828459045...

Используя ЭВМ, можно подсчитать числа е и n с любой точностью.

Числа n и е относятся к так называемым трансцендентным числам. Так называются числа, которые не могут быть корнями никакого уравнения вида (3) с целыми коэффициентами.

Подведем итоги. Назовем действительными или вещественными числами все бесконечные десятичные дроби. Обозначим множество всех таких чисел через R. Из предыдущих рассуждений вытекает, что множество R включает в себя множество.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Весьма важный математический факт заключается в том, что множество действительных чисел является упорядоченным. Это означает, что любые два действительных числа можно сравнить между собой, т.е. указать, какое из них больше (или меньше). Процедура сравнения очень проста: нужно последовательно сравнивать цифры, стоящие на одинаковых позициях. Например, 2,381615... > 2,381529..., т.к. на первых четырех позициях соответствующие цифры одинаковы, а 6 > 5. Описанное правило сравнения работает при одном (и единственном) соглашении: не рассматривать периодические дроби с периодом 9. При этом множество действительных чисел, образно говоря, не сузится, т.к. всякую бесконечную периодическую дробь с периодом 9 можно заменить равной ей конечной десятичной дробью, например: 0,999... = 1, 0,42999... = 0,43, 2,65999... = 2,66 и т.п. (см. пример на с. 15).

Напомним свойства операций сложения и умножения действительных чисел:

переместительность или коммутативность:

а + b = b + а;

сочетательность или ассоциативность (для сложения):

(а + b) + с = а + (b + с);

сочетательность или ассоциативность (для умножения):

(аb)с = а(bс);

распределительность или дистрибутивность:

а(b + с) = ab + ас.

Числовые множества N, Z, Q, R являются примерами так называемых числовых систем, которые имеют специальные названия. Например, говорят кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле действительных чисел.

2.2 Правило округления десятичных дробей

Поясним на примере. Следующие десятичные дроби мы округляем до сотых долей:

а) 0,811 0,81, 0,812 0,81, .... 0,814 0,81,

б) 0,815 0,82, 0,816 0,82, .... 0,819 0,82.

2.2.1 Упражнения

Вычислите с помощью калькулятора и округлите до тысячных

а) Найдите 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, 8!, 9!, 10!.

б) Расставьте правильно знаки > или <:

в) 0,142816... 0,142827...;

г) ;

д) ;

е) .

Округлите числа и е до тысячных.

Решите линейное уравнение 3х: - 2 = 0, запишите ответ в виде бесконечной периодической десятичной дроби и округлите его до сотых.

Решите неравенство 3х + 7 > 0, запишите ответ в виде бесконечной периодической десятичной дроби и округлите его до сотых.



2.3 Действия со степенями

По определению

a⁰ = 1,

Из этого определения следует, что для любых натуральных чисел m и n справедливы следующие формулы:

а^та^п = а^т+п, (аⁿ)^т = а^тп, а^пb^п = (ab)ⁿ.

Число, которое при возведении в степень n дает а, называется корнем степени n из а. Если число п нечетное, то существует только один корень степени п из числа а, который обозначается или .

Если п четное, а число а -- положительное, то корней будет два. Например, числа 3 и -3 будут корнями четвертой степени из 81, т.к. 3⁴ = 81 и (-3)⁴ = 81. Положительный корень называется арифметическим и именно он обозначается символом или .

Степень с дробным показателем определяется так:

(2.2.1)

Оказывается, что имеют смысл и выражения вида а^х, где х -- любое действительное число, например . Действия с такими степенями производятся по тем же правилам, что и с натуральными степенями, например, .

При различных вычислениях большие числа удобно записывать в так называемой стандартной форме, т.е. в виде произведения двух множителей, первый из которых заключен между числами 1 и 10, а второй представляет собой степень десятки: 243507 = 2,43507 * 10⁵, 0,184 = 1,84 * 10^n-1 и т.д. Стандартную форму используют при работе с калькулятором, в особенности тогда, когда не хватает разрядов для точных вычислений.

Например,

243507 * 1385462 = 2,43507 * 10⁵ * 1,385462 * 10⁶ = (2,43507 * 1,385462) * 10¹¹ 3,37369695 * 10¹¹;

3¹⁷ = 3¹⁶ *· 3 = (3⁴)⁴ * 3 = (81)⁴ * 3 = (6581)² * 3 = = 3 * (6,581 * 10³)² = 3 * (6,581)² * (103)² 129,140163 * 10*.

2.3.1Типовые задания

Вычислите, округляя в каждом действии результат до тысячных; окончательный результат округлите до сотых:

Найдите корни квадратного уравнения и округлите результат до сотых:

2.4 Проценты

Одна сотая доля какого-либо количества называется процентом. Например, в городе N всего 300 судей, следовательно, 3 судьи -- это 1%, 6 судей -- 2% и т.д.

Иногда бывает удобным сравнивать две величины не по разности их значений, а в процентах.

Например, цену двух товаров сравнивать не в рублях, а оценивать, насколько цена одного товара больше или меньше цены другого в процентах. Если сравнение по разности вполне однозначно, то есть всегда можно найти, насколько одна величина больше или меньше другой, то для сравнения в процентах нужно указывать, относительно какой величины вычисляется процент.

Такое указание, впрочем, необязательно в том случае, когда говорят, что одна величина больше другой на число процентов, превышающее 100. В этом случае остается только одна возможность вычисления процента, а именно деление разности на меньшее из двух чисел с последующим умножением результата на 100.

Подумайте, сколько тверских судей составляют 4% от их общего числа? (в Твери 145 судей.)

Другой пример. Некто утаил прибыль в размере 10 млн. руб. Какую сумму недополучила казна, если налог на прибыль составляет 22%?

Решение:

2.4.1 Типовое задание

4. За год в области совершено 6720 преступлений. Из них тяжких -- 33; в состоянии алкогольного опьянения -- 3262; связанных с дорожно-транспортными происшествиями -- 1310.

После завершения следствия переданы в суд 4520 дел; по 3816 из них уже вынесены приговоры, причем половина из последних -- обвинительные; из всех обвинительных приведены в исполнение 40%. Заполните до конца Таблицу 2.1



Таблица 2.1

Всего	6720	100%
Тяжких	33
В состоянии алкогольного опьянения	3262
Транспортных	1310
Завершено	4520
Всего приговоров	3816
Обвинительных

В первом столбце проставьте соответствующие абсолютные значения, а во втором укажите, какой процент они составляют от общего числа преступлений.

Размещено на Allbest.ru