Основные свойства степенных рядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Приближенное вычисление функций является важной практической задачей. Для большинства случаев практических вычислений бывает достаточно уже реализованных в программных системах функций, которые, кстати, также вычисляются приближенно. Однако, если необходимо вычислять эти функции с точностью, отличной от предлагаемой, или реализовать нестандартную функцию, то непременно возникает задача приближенного вычисления.

Степенные ряды благодаря их простоте и замечательным свойствам нашли применение практически во всех разделах математики, физики и других наук. Рассматриваемые как предел многочленов при стремлении их степеней к бесконечности, они обладают почти всеми свойствами многочленов с той разницей, что для многих рядов эти свойства выполняются не для всех значений аргумента, а лишь для некоторого ограниченного множества значений.

В курсовой работе приводятся основные свойства степенных рядов и на конкретных примерах раскрываются возможности и особенности использования степенных рядов для решения тех или иных задач.

степень ряд формула тейлор

1. Степенные ряды. Интервал сходимости

Степенным рядом называется выражение вида

(1)

где a₀, a₁, a₂, …,a_n,…, а также x₀ - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Точку x₀ называют центром степенного ряда. Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может выродиться в точку.

Определение. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от -R до +R, что для всякой точки, лежащей внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек, лежащих вне его, ряд расходится.

Число R называют радиусом сходимости степенного ряда. Для определения сходимости степенного ряда применяем признак Даламбера:

Тогда по признаку Даламбера степенной ряд сходится, если L т.е. и расходится если .

Из определения интервала сходимости следует, что

.(2)

Если же мы пользуемся признаком Коши, то

. (3)

Пример 1. Определить интервал сходимости ряда

Решение. Применяем признак Даламбера (2), получаем

.

Следовательно, при ряд сходится и интервал сходимости ряда (-1; +1). Пример 2. Определить сходимость степени ряда

Решение. Применяя признак Даламбера (2), имеем

,

ряд сходится, если

т. е..

Пример 3. Определить интервал сходимости ряда

.

Решение. Применяем признак Даламбера, получаем

.

Так как предел не зависит от x и меньше 1, то, значит, ряд сходится при всех значениях x.

Ряд Тейлора -- разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации/ (Аппроксимация, или приближение -- научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация (один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной)уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Определение. Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

Свойства.

· Если есть аналитическая функция в любой точке , то её ряд Тейлора в любой точке области определения сходится к в некоторой окрестности .

· Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности . Например, Коши предложил такой пример:

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке равны нулю.

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

§ Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки ,

§ Пусть

§ Пусть -- произвольное положительное число, тогда: точка при или при :

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме

Вычисление значений показательной функции.

Для показательной функции справедливо разложение в ряд

(6)

При больших по модулю значениях x ряд (6) малопригоден для вычислений. В этих случаях обычно поступают так: представляют x в виде суммы

где E(x) - целая часть числа х (наибольшее целое число, не превосходящее х) и q - дробная его часть, 0 ? q 1. Тогда

.

Первый множитель находится с помощью умножения. Второй множитель вычисляют с помощью разложения (6). При 0 ? х < 1 этот ряд быстро сходится, поскольку остаток ряда оценивается следующим образом:

.

Пример 4. Найти с точностью до .

Решение. Так как члены разложения (4) имеют вид

.

Подсчитаем слагаемые с двумя запасными знаками:

,

Округляя сумму до шести десятичных знаков после запятой, получаем

.

Вычисление значений логарифмической функции.

Непосредственное применение разложения логарифмической функции в степенной ряд

(7)

затруднительно из-за ограничения -1 < x ? 1 и медленной сходимости. Поэтому заменим x на -x и получим

Вычитая из первого равенства второе, находим

(8) где <1.

Формула (8) очень удобна для вычисления логарифмов по двум причинам:

1) аргумент логарифмической функции для указанных значений x принимает произвольные положительные значения;

2) ряд (8) сходится довольно быстро. Оценим остаток ряда (8). Так как отношение последующего ряда к предыдущему равно

,

и потому меньше , то остаток меньше, чем сумма геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем .

Таким образом, выполняется неравенство

. (9)

Пример. Вычислить ln 5 с точностью до

Решение. Для ускорения сходимости ряда лучше представить . Полагая находим

Из (9) следует, что при таком x остаток приблизительно равен первому из отброшенных членов. Как и в предыдущем примере, будем проводить вычисления с двумя запасными знаками:

Складывая члены ряда, получаем ln 5 = 1,609438.

Вычисление значений синуса и косинуса.

Для вычисления значения функции и используем разложения в ряд

(10)

(11)

Ряды (10) и (11) при больших х сходятся медленно. Однако, учитывая периодичность функций и и формулы приведения тригонометрических функций, достаточно уметь вычислять и для промежутка Так как в этом промежутке ряды (10) и (11) являются знакочередующимися с убывающими по модулю членами, то остаток ряда в обоих случаях не превышает модуля первого отброшенного члена.

Пример. Вычислить с точностью до .

Решение. Значение аргумента с двумя запасными знаками: Применяя (10), получим

Требуемая точность достигнута, поэтому

Разумеется, можно было этот результат получить, используя значение , равное .

Приближённое нахождение интегралов.

Пример. Вычислить интеграл

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд

Интегрируя обе части этого неравенства, получим

С помощью этого равенства можно при любом a вычислить данный интеграл с любой степенью точности. В частности, для вычисления интеграла с точностью до достаточно взять семь членов разложения. Получаем

Оценим остаток ряда:

Учитывая это, вычислим сумму с пятью знаками после запятой (с одним запасным знаком). Окончательно получим

Пример. Вычислить интеграл

с точностью до .

Решение.

Областью сходимости этого ряда является интервал (-1;1). Отрезок интегрирования входит в этот интервал, следовательно, данный ряд можно почленно интегрировать.

Интегрируя по отрезку [0; 0,5], получим

Так как уже третий член меньше, чем , то попробуем взять в качестве приближённого значения интеграла сумму первых двух членов.

Оценим остаток :

Таким образом, сумма первых двух членов даёт значение интеграла с требуемой точностью. Окончательно получим

Заключение

С помощью формулы Тейлора находят числовые значения различных функций. На основании этой формулы составлены различные таблицы числовых значений тригонометрических, логарифмических, показательных функций, таблицы квадратных и кубических корней и т.д.

В настоящее время для вычисления значений различных функций используются также микрокалькуляторы и ЭВМ, которые гарантируют достаточную точность и быстроту вычислений. Вместе с тем рассмотренные в данной работе примеры вычисления значений функций с помощью рядов полезны не только для выработки некоторых практических навыков, но и для ознакомления с приёмами составления алгоритмов вычисления различных функций и интегралов.

Список литературы

1) Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. Заведений. /Н.В. Богомолов. - 6-е изд., степ. - М.: Высш. шк., 2003.- 495 с.

2) Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. Ч.2. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 376 с.: ил.

3) Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов: Учеб. пособие. -- М.: ИНФРА-М, 2009. -- 448 с. -- (Учебники РУДН).

Размещено на Allbest.ru