Чисельні методи оптимізації та моделювання в псевдогіперболічних системах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чисельні методи оптимізації та моделювання в псевдогіперболічних системах

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика

Актуальність теми. Задачі оптимізації та моделювання в лінійних системах складають один з найбільш актуальних напрямків розвитку прикладної математики та кібернетики, серед яких значне місце займає теорія оптимального керування розподіленими системами та розробка чисельних методів наближеного розв'язання цих задач. У багатьох прикладних випадках (застосування лазерної, імпульсної техніки в медицині та народному господарстві, керування космічними апаратами, проектування систем мікрозрошення грунту, поверхневого загартовування металу, розповсюдження забруднень з місця екологічної катастрофи та ін.) вплив на систему носить зосереджений характер, що призводить до появи у правій частині рівняння системи узагальненої функції і вимагає розробки спеціальних підходів до оптимізації та моделювання такими системами.

З іншого боку, деякі фізичні процеси (розповсюдження збурень у в'язкому газі, крутильні коливання в стержні з внутрішнім тертям, міграція хімічних речовин з урахуванням структури середовища та ін.) не адекватно моделюються за допомогою відомих рівнянь математичної фізики другого порядку, що вимагає залучати до розгляду некласичні псевдогіперболічні моделі. Так, для системи, функціонування якої описується диференціальними рівняннями з частинними похідними псевдогіперболічного типу, раніше не досліджувався важливий для практичних застосувань випадок другої мішаної задачі.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є дослідження моделей та розробка чисельних методів узагальненої оптимізації системи, функціонування якої описується другою мішаною задачею для псевдогіперболічного диференціального оператора. Для цього потрібно побудувати теорію узагальненої розв'язності указаної крайової задачі, знайти умови керованості та існування оптимального керування для конкретних задач узагальненого керування (імпульсного, точкового, рухомого та ін.), відшукати градієнт функціоналу якості, дослідити його гладкість та розповсюдити отримані результати на якомога ширший клас задач узагальненого керування.

Наукова новизна одержаних результатів. Для моделей, що описуються другою мішаною задачею для псевдогіперболічного оператора, отримано декілька типів апріорних нерівностей в негативних нормах та побудовано теорію узагальненої розв'язності. Знайдено умови керованості та існування оптимального керування системою через праву частину рівняння та коефіцієнти. Досліджено питання гладкості деяких критеріїв якості для широкого класу керуючих функцій, що дає можливість застосовувати чисельні методи градієнтного типу. Запропоновано процедуру регуляризації керуючої функції. Досліджено питання обчислювальної стійкості методів градієнтного типу.

Практичне значення результатів. Обгрунтовано можливість застосування чисельних методів для розв'язання задач моделювання та узагальненого керування псевдогіперболічними системами (друга мішана задача). Для розв'язання крайової задачі запропоновано аналог методу Гальоркіна, доведено його сильну збіжність.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися на міжнародній конференції «Сучасні проблеми теорії фільтрації» пам'яті П.Ф. Фільчакова (Рівне, 1998); 3-й Українській конференції з автоматичного керування «Автоматика-96» (Севастополь, 1996); Українській конференції «Моделирование и исследование устойчивости систем» (Київ, 1996); наукових конференціях аспірантів та професорсько-викладацького складу Київського університету імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики (м. Київ, 1997, 1998); наукових семінарах з позитивними відгуками «Моделювання проблем екологiї та енергетики» Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України (кер. В.В. Скопецький); «Чисельні методи оптимізації» Інституту прикладного і системного аналізу (кер. Б.Н. Пшеничний); «Обчислювальна математика» кафедри ОМ (кер. С.І. Ляшко) та «Системний аналіз та теорія прийняття оптимальних рішень» кафедри САТПР факультету кібернетики Київського університету (кер. О.Г. Наконечний).

Публікації. Основні положення дисертації висвітлено у восьми наукових роботах, з яких п'ять статей надруковано в наукових журналах України, одну депоновано в ДНТБ України та дві наукові роботи - в збірниках тез доповідей конференцій.

Особистий внесок дисертанта в роботах, виконаних у співавторстві полягає в знаходженні умов теореми, що відносяться до пункту «Дифференциальные свойства критерия качества» статті [3], в статті [4] знайдено умови та доведено теорему існування оптимального рухомого керування, в статті [5] автору належать ідеї доведення теорем про оптимальне рухоме керування і доведення цієї теореми в більш простому випадку, в статті [6] знайдено доведення апріорної нерівності в негативних нормах.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку літератури та додатку. Загальний обсяг роботи складає 157 сторінок. Бібліографія містить 78 найменувань.

Зміст дисертаційної роботи

керування імпульсний градієнт

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюється мета, вказується наукова новизна дослідження.

У першому розділі «Моделі псевдогіперболічного типу. Друга мішана задача» досліджується питання узагальненої розв'язності указаної задачі.

У багатьох сучасних наукових дослідженнях розглядають системи, функціонування яких описується рівняннями

(1)

в області , де  - шукана функція,  - обмежена область в з регулярною межею , ,

,

еліптичні оператори з достатньо гладкими коефіцієнтами, які задовольняють умови

,

,

при .

Означення 1. -градієнтом функції будемо називати вектор

,

де

, .

Означення 2. -похідною функції за вектором нормалі  до поверхні (позначаємо через ) будемо називати скалярний добуток .

Означення 4. Узагальненим розв'язком (1) називається така функція , що існує послідовність :

.

Наявність правих частин в нерівностях леми 1 дає можливість розглядати розширення операторів , та (,та ). Наприклад, перша нерівність дає можливість розширити за неперервністю оператор та вважати його діючим з усього простору в .

Теорема 1. Для довільної функції () існує єдиний узагальнений розв'язок (1) за означенням 3 (відповідно 4).

Теорема 2. Якщо - розв'язок (1) за означенням 4 і , то  - розв'язок (1) за означенням 3.

Теорема 3. Якщо - розв'язок (1) за означенням 3 - має класичну гладкість, то , та задовольняє умови (2) в класичному розумінні.

Аналогічно будуються теореми узагальненої розв'язності за іншими нерівностями леми 1.

Другий розділ роботи - «Оптимальне керування в псевдогіперболічних моделях» - присвячений дослідженню питання керованості та існування оптимального керування системою через праву частину та коефіцієнти рівняння.

Нехай стан системи задовольняє рівняння з відповідними крайовими умовами. Функція стану залежить (через праву частину рівняння) від керування з допустимої множини простору керувань . На розв'язках рівняння задано функціонал , який треба мінімізувати на .

Теорема 4. Нехай - розв'язок рівняння , де . Тоді, якщо

- слабко напівнеперервний знизу за станом системи (обмежений знизу) функціонал;

- обмежена, замкнена та опукла множина в гільбертовім просторі ;

- слабко неперервне за відображення,

то оптимальне керування існує.

Зауваження. Зважаючи на те, що в загальному випадку відображення нелінійне, функціонал може виявитися неопуклим, а оптимальне керування не єдиним.

Зауваження. Аналогічна теорема має місце для довільної системи, що задовольняє нерівностям в негативних нормах.

У роботі розглядається серія аналогів теореми 4 для інших функціоналів якості та для випадку задачі керування коефіцієнтами рівняння.

Розглянуто застосування теореми 4 та її аналогів для дослідження задач з імпульсним, точковим, імпульсно-точковим, рухомим та деякими іншими типами керуючої функції.

Размещено на Allbest.ru