Сингулярні інтегральні рівняння з додатковими умовами і методи їх розв’язання

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.9

Сингулярні інтегральні рівняння з додатковими умовами і методи їх розв'язання

01.01.02 -- диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Поліщук Олена Борисівна

Київ 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України

Захист відбудеться 16 лютого 1999р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої ради Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою: 252601 Київ - 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики.

Автореферат розісланий 14 січня 1999р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради ЛУЧКА А.Ю.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Процес взаємного збагачення і розвитку теорії сингулярних інтегральних рівнянь, методів їх розв'язання і чисельного розв'язку нових прикладних задач із різних галузей природознавства і техніки безперервно продовжується. В теперішній час є ще багато нерозв'язних задач. Одному класу таких задач, а саме задачам, що призводять до сингулярних інтегральних рівнянь, на розв'язок яких накладено певні умови, і методам розв'язання таких задач присвячена дана дисертаційна робота.

Оскільки сингулярні інтегральні рівняння точно розв'язні лише у виняткових випадках, в наукових дослідженнях велика увага приділяється проблемі розробки методів наближеного обчислення цього класу рівнянь.

Слід зауважити, що теорія наближених методів для сингулярних інтегральних рівнянь добре вивчена.

Умовам застосування методу послідовних наближень та принципу Шаудера про нерухому точку до нелінійних сингулярних інтегральних рівнянь присвячені роботи А.І.Гусейнова, Ч.Ш.Мухтарова, В.Жаковського, Г.А.Магомедова та ін.

Велика увага приділяється прямим методам розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь, частинними випадками яких є методи Бубнова-Гальоркіна, колокації, механічних квадратур, скінченних елементів. Значний прогрес в цьому напрямку був досягнутий завдяки роботам В.В.Іванова, Б.Г.Габдулхаєва, М.Я.Тихоненка, А.В.Джишкаріані, М.А.Шешко , Г.Н.Пихтєєва , їх послідовників та іноземних авторів.

Останнім часом з'явилися методи, які поєднують в собі ідеї як прямих так і ітераційних. Такий синтез зумовлений потребою усунути властиві їм недоліки. Відомо, що ітераційні методи мають показникову швидкість збіжності, прості обчислювальні схеми, але обмежену область застосування. В той час як проекційні методи, маючи широку область застосування, характеризуються степеневою швидкістю збіжності, іноді досить повільною, і обчислювальною нестійкістю.

На основі комбінування ідей прямих і ітераційних методів виникає новий ефективний метод осереднення функціональних поправок Ю.Д.Соколова. Подальший розвиток і удосконалення методу осереднення функціональних поправок призвели до створення проекційно-ітеративного методу, розробленого учнями і послідовниками Ю.Д.Соколова, серед яких в першу чергу слід назвати А.Ю.Лучку, М.С.Курпеля, В.І.Тивончука .

Ідея побудови розв'язку сингулярних інтегральних рівнянь проекційно -- ітеративним методом вперше була запропонована А.Ю.Лучкою і надалі розвинена в роботах В.Г.Іваницького і Л.С.Возняк. Слід підкреслити, що розглядався клас рівнянь з нульовим індексом. А тому неодмінно постає питання розробки ефективних методів розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь з ненульовим індексом. Дослідження в цьому напрямку почали проводитися в Одесі і в Москві. Становлять інтерес роботи К.І.Малишева, М.Я.Тихоненка та С.М.Білоцерковського, І.К.Лифанова, де були побудовані прямі методи чисельного розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь з ненульовим індексом. Ітераційні та проекційно-ітеративні методи до такого класу рівнянь не були застосовані. У зв'язку з цим поширення теорії проекційно-ітеративних методів на клас сингулярних інтегральних рівнянь з обмеженнями є актуальною і перспективною задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є встановлення умов розв'язності задачі з параметрами для сингулярних інтегральних рівнянь і умов сумісності сингулярних інтегральних рівнянь з обмеженнями; розробка і обгрунтування методів наближеного розв'язання задач такого типу; побудова зручних обчислювальних алгоритмів та здійснення їх чисельної реалізації.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, наступні:

1. Встановлено умови розв'язності задачі з параметрами для сингулярних інтегральних рівнянь і побудовано наближені розв'язки згідно з ітераційним і проекційно-ітеративним методами; одержано достатні умови збіжності і оцінки похибки запропонованих методів.

2. Досліджено сумісність сингулярних інтегральних рівнянь з додатковими умовами і обгрунтовано застосування до них методів проекційно-ітеративного типу.

3. Запропоновано підхід до розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь з ненульовим індексом.

4. Розроблено ефективні обчислювальні схеми запропонованих методів, зручні для їх чисельної реалізації.

Практичне значення отриманих результатів. Одержані в дисертації результати збагачують теорію сингулярних інтегральних рівнянь і дають можливість розширити область застосування проекційно-ітеративних методів на клас сингулярних інтегральних рівнянь з додатковими умовами. Побудовані алгоритми наближених методів можуть бути використані для знаходження розв'язків конкретних задач аеродинаміки, теорії пружності, математичної фізики та інших прикладних задач.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності та постановка задач належать науковому керівнику -- А.Ю.Лучці. Доведення всіх результатів дисертації проведене особисто автором.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на семінарах відділу звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України; на наукових семінарах кафедри вищої математики №3 Національного технічного університету України “КПІ”; в школі-семінарі “Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування” 10-14 жовтня 1996р., м. Кам”янець-Подільський; на П'ятій та Шостій Міжнародних наукових конференціях ім. академіка М.П.Кравчука 16-18 травня 1996р., 15-17 травня 1997р., м.Київ; в школі-семінарі “Нелінійні проблеми диференціальних рівнянь і математичної фізики” 2-6 червня 1997р., м. Нальчик.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 5 робіт, список яких подано в кінці автореферату.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, розбитих на 10 підрозділів, та списку цитованої літератури з 89 назв і викладена на 133 сторінках.

сингулярний інтегральний рівняння

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан проблеми, сформульовано задачі дослідження та коротко викладено основні результати.

У першому розділі дисертації встановлено умови розв'язності і розроблено наближені методи розв'язання задачі з параметрами для лінійного сингулярного інтегрального рівняння з ядром Гільберта вигляду

R, (1)

(2)

-- скалярний добуток вектора і вектор-функції

(3)

 -- задані системи лінійно незалежних функцій з L-- періодичні функції і задовольняють умову Гельдера і

В підрозділі 1.1 обгрунтовано метод зведення задачі (1) до рівносильного їй інтегрального рівняння. Було розглянуто допоміжну задачу

(4)

де функція вважається відомою, а функція і вектор підлягають визначенню; R -- еквівалентний регуляризатор оператора А, який має вигляд

(5)

За умови, що системи лінійно незалежних функцій задовольняють умову Польського, існують такий оператор G і вектор-функція , що єдиний розв'язок задачі (4) подається формулами

, (6)

, (7)

де функція і вектор є розв'язками задачі

.

Використовуючи той факт, що , де -- компактний інтегральний оператор, задачу (1) можна подати у вигляді

. (8)

За допомогою формул (6), (7), задача (1) зводиться до інтегрального рівняння

(9)

де -- компактний інтегральний оператор, причому

(10)

Внаслідок (10), рівняння (9) можна розглядати як систему рівнянь

(11)

(12)

-- оператор ортогонального проектування простору на його підпростір , породжений системою лінійно незалежних функцій .

Встановлена справедливість твердження.

Теорема 1.1.1. Задача (1) і рівняння (12) еквівалентні. Еквівалентність розуміється в сенсі:

якщо -- розв'язок рівняння (12), тоді

(13)

, (14)

є розв'язком задачі (1) і, навпаки, якщо --розв'язки задачі (1), тоді функція

(15)

є розв'язком рівняння (12).

В підрозділі 1.2 обгрунтовано застосування ітераційного методу до задачі (1), згідно з яким наближені розв'язки задачі (1) знаходяться за формулами

(16)

(17)

де початкове наближення визначається із задачі (16), за умови, що , а задаємо довільним чином.

Теорема 1.2.1. Якщо спектральний радіус , то існує єдиний розв'язок задачі (1) і послідовності , побудовані за формулами (16), (17), збігаються до цього розв'язку, тобто справедливі співвідношення

Отримані прості достатні умови збіжності, оцінки похибки і побудовано обчислювальну схему для чисельної реалізації методу.

В підрозділі 1.3 розглянуто питання застосування до задачі (1) проекційно-ітеративного методу, згідно з яким наближені розв'язки знаходимо із задачі

(18)

(19)

(20)

Поправку шукаємо у вигляді

(21)

а невідомі коефіцієнти , визначаємо з умови

(22)

де -- задані системи лінійно незалежних функцій.

Початкове наближення визначаємо із задачі (18) за умови, що , а функцію задаємо довільним чином.

В пункті 1.3.2 дано обгрунтування методу (18)-(22) за наявності припущення, що системи функцій і векторів задовольняють співвідношення

(23)

В цьому випадку алгоритм (18)-(22) зводиться до проекційно-ітеративного методу розв'язання інтегрального рівняння (9). Використовуючи результати з теорії проекційно-ітеративних методів, наведено достатні умови збіжності і отримано оцінки похибки методу (18)-(22), що сформульовані в теоремах 1.3.1., 1.3.2 і 1.3.3.

В пункті 1.3.3 для методу (18)-(22) отримано нові покращені достатні умови збіжності і оцінки похибки методу. На системи функцій і накладено додаткові умови

(24)

У разі виконання (23) і (24), встановлено, що алгоритм (18)-(22) зводиться до проекційно-ітеративного методу розв'язання інтегрального рівняння (12).

Встановлено справедливість тверджень.

Теорема 1.3.4. Якщо спектральний радіус , то задача (1) має єдиний розв'язок , а послідовності , побудовані згідно з проекційно-ітеративним методом (18)-(22), збігаються до цього розв'язку.

Теорема 1.3.5. Якщо , то швидкість збіжності проекційно-ітеративного методу характеризується нерівностями

(25)

(26)

де величина

(27)

а коефіцієнти визначаються з умови

Тут , а -- оператори переходу, схема побудови яких повністю викладена в 1.3.3.

Крім оцінок (25), (26) швидкості збіжності методу (18)-(22) даються конструктивні оцінки похибки методу.

Проведений порівняльний аналіз одержаних результатів з уже відомими говорить на користь умов теорем 1.3.4, 1.3.5, які встановлюють менш обмежені достатні умови збіжності і більш точні оцінки похибки проекційно-ітеративного методу.

В підрозділі 1.4 розглянуто другий підхід при розв'язанні задачі (1), який базується на застосуванні правого еквівалентного регуляризатора. Основні моменти зведення задачі (1) до рівносильного їй інтегрального рівняння для цього випадку наведені в пункті 1.4.1. В пунктах 1.4.2 і 1.4.3 детально розроблено алгоритми та побудовано обчислювальні схеми відповідно ітераційного і проекційно-ітеративного методів.

В другому розділі досліджуються умови розв'язності і методи розв'язання задачі з параметрами для сингулярних інтегральних рівнянь з малою нелінійністю вигляду

(28)

де визначається виразом (2), , -- за формулою (3), а

. (29)

Припускається, що зберігаються умови задачі (1), і, крім того:

-- -- неперервна функція своїх аргументів, -- періодична по t і задовольняє умову

;

-- інтегральний оператор переводить простір в себе, це виконується, зокрема, коли ядро інтегрального оператора або, коли має місце нерівність



-- -- малий додатний параметр.

В підрозділі 2.1 розглянуто питання зведення задачі (28) до рівносильного інтегрального рівняння

(30)

де

Встановлено еквівалентність задачі (28) і рівняння (30).

В підрозділі 2.2 запропоновано і досліджено ітераційний метод розв'язання задачі (28). Ідея методу полягає в тому, що наближені розв'язки визначаються із задачі

(31)

(32)

Для методу (31), (32) встановлено достатні умови збіжності, отримані оцінки, що характеризують швидкість збіжності методу, конструктивні оцінки похибки, а також розроблено зручну обчислювальну схему.

Підрозділ 2.3 присвячений розробці і обгрунтуванню модифікованого варіанту проекційно-ітеративного методу розв'язання задачі (28). Суть методу полягає в тому, що послідовні наближення знаходимо із задачі

(33)

(34)

(35)

Поправку шукаємо у вигляді

(36)

а невідомі коефіціенти , визначаємо з умови

(37)

Тут -- задані системи лінійно незалежних функцій. В припущенні, що системи функцій і векторів , задовольняють співвідношення (23), (24), обгрунтовано, що метод (33)-(37) розв'язання задачі (28) зводиться до модифікованого проекційно-ітеративного методу розв'язання інтегрального рівняння (30).

Теорема 2.3.1. Якщо виконуються всі припущення щодо поставленої задачі (28) і <1, тоді існує єдиний розв'язок задачі (28) і послідовності побудовані згідно з проекційно-ітеративним методом (33)-(37), збігаються до цього розв'язку.

Тут -- спектральний радіус матриці

,

в якій причому Зауважимо, що сталі існують в умовах задачі і це детально викладено в пункті 2.3.3, а -- стала Ліпшиця оператора С.

Достатні умови застосування методу (33)-(37) до інтегрального рівняння (30) встановлює наступна теорема.

Теорема 2.3.2. Нехай одиниця -- регулярне значення компактного оператора L, системи лінійно незалежних функцій задовольняють умову Польського, причому перша повна в .

Якщо параметр достатньо малий, зокрема, виконується умова , то існує такий номер , що для всіх , причому

де

Теорема 2.3.3. Якщо виконуються умови теореми 2.3.1, то справедливі оцінки, що характеризують швидкість збіжності методу (33)-(37)

а -- оператор ортогонального проектування простору на його підпростір, породжений системою функцій .

Для методу (33)-(37) отримано також конструктивні оцінки похибки і запропоновано обчислювальну схему.

Третій розділ дисертації присвячений методам розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь з обмеженнями. Розглядається задача знаходження функції , що задовольняє рівняння

(38)

і додаткові умови

(39)

В підрозділі 3.1 встановлено умови сумісності перевизначеної задачі (38), (39).

Теорема 3.1.1. Задача (38), (39) сумісна тоді і тільки тоді, коли існує розв'язок рівняння (30), що задовольняє умову

Наслідок 3.1.1. Задача (38), (39) сумісна тоді і тільки тоді, коли задача з параметрами (28) має розв'язок, причому .

Підкреслимо, що наслідок 3.1.1 встановлює зв'язок між перевизначеною задачею (38), (39) і задачею з параметрами (28), і саме цей факт був використаний при застосуванні наближених методів розв'язання задачі (38), (39).

В підрозділі 3.2 побудовано алгоритми ітераційного і проекційно-ітеративного методів розв'язання задачі (38), (39). Для кожного методу встановлено достатні умови збіжності. Зокрема, справедливе твердження.

Теорема 3.2.3. Якщо виконуються умови теореми 2.3.1 і задача (38), (39) сумісна, тоді існує єдиний розв'язок задачі (38), (39) і послідовність , побудована згідно з проекційно-ітеративним методом (33)-(37), збігається за нормою до цього розв'язку, причому

Якщо задача (38), (39) не сумісна, то , але якщо до лівої частини (38) додати елемент , то задача (38), (39) стане сумісною. Справедлива обернена теорема, що має важливе практичне значення.

Теорема 3.2.4. Якщо виконуються умови теореми 2.3.1 і , то задача (38), (39) буде сумісною, причому її розв'язок де -- послідовності, побудовані згідно з проекційно-ітеративним методом (33)-(37).

В підрозділі 3.3 розглядаються сингулярні інтегральні рівняння з ненульовим індексом і встановлюється зв'язок між ними і розглядуваними задачами типу (1) і (38), (39). На конкретних прикладах проілюстровано застосування до такого класу рівнянь наближених методів.

Зауваження. Слід підкреслити, що методика розв'язання задач типу (1), (28), (38), (39) може бути успішно застосована до розв'язання задач для сингулярних інтегральних рівнянь з ядром Коші.

ВИСНОВКИ

Встановлено умови розв'язності задачі з параметрами для сингулярних інтегральних рівнянь, побудовано алгоритми ітераційного і проекційно-ітеративного методів наближеного розв'язання такого типу задач, одержано достатні умови збіжності і оцінки похибки запропонованих методів, розроблено зручні обчислювальні схеми; встановлено умови сумісності сингулярних інтегральних рівнянь з обмеженнями і умови застосування до такого класу задач методів проекційно-ітеративного типу; розроблено підхід до розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь з ненульовим індексом.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО В НАСТУПНИХ РОБОТАХ

1. Поліщук О.Б. Методи розв'язання лінійних сингулярних інтегральних рівнянь з параметрами // Доп.НАН України. -1998.- №1.- С.48-52.

2. Поліщук О.Б. Метод послідовних наближень розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь з параметрами // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - К.: Ин-т математики НАН Украины, 1996. - С.217-218.

3. Поліщук О.Б. Розв'язання нелінійного сингулярного інтегрального рівняння з параметрами методом послідовних наближень // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики. - К.: Ин-т математики НАН Украины, 1997. - С.229-232.

4. Поліщук О.Б. Про один метод розв'язання лінійних сингулярних інтегральних рівнянь з ядром Гільберта // Тези доп. П'ятої Міжнародної наук.конф. ім. академіка М.Кравчука, м.Київ, 16-18трав.1996р.-Київ, 1996. - С.345.

5. Поліщук О.Б. Проекційно-ітеративний метод розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь з ядром Коші з параметрами // Тези доп. Шостої Міжнародної наук.конф. ім.академіка М.Кравчука, м.Київ, 15-17трав. 1997р. - Київ, 1997.- С.316.

Размещено на Allbest.ru