Числовые системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ

1. Множество натуральных чисел

Определение: Множество называется числовым, если его элементами являются числа.

Известны следующие числовые системы:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел;

С - множество комплексных чисел.

Между этими множествами установлены следующие отношения:

В основе расширения числовых множеств лежат следующие принципы: если множество А расширяется до множества В, то:

1) АB;

2) операции и отношения между элементами, выполнимые во множестве А, сохраняются и для элементов множества В;

3) во множестве В выполняются операции, не выполнимые или частично выполнимые во множестве А;

4) множество В является минимальным расширением множества А, обладающим определенными свойствами.

Множество натуральных чисел N строго определяется с помощью аксиом Пеано.

1. Существует натуральное число 1, не следующее ни за каким натуральным числом (натуральный ряд начинается с 1).

2. Каждое натуральное число следует только за одним и только одним натуральным числом (в натуральном ряду нет повторений).

3. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число (натуральный ряд бесконечен).

4. Аксиома индукции. Пусть М-N. Если:

1) 1 М;

2) , а М множеству М принадлежит и следующий за а элемент а¹ то множество М совпадает с множеством натуральных чисел.

Итак, множество N = {1, 2, 3, 4}.

На аксиоме 4 основан метод математической индукции. Доказательство различных утверждений этим методом проводится от частного к общему, а затем делается вывод о справедливости данного утверждения.

Пример. Доказать методом математической индукции следующее равенство:

Доказательство.

1. Проверим справедливость данного утверждения для n=1:

Т. е., 1=1.

2. Предположим, что данное равенство выполняется для k слагаемых, т. е., при n=k:

3. На основании предположения 2 докажем справедливость данного равенства для:

n = k + 1

Ho тогда:

А потому:

А так как:

Следовательно:

Теперь можно смело сделать вывод о том, что данное равенство справедливо.

2. Множество целых чисел

Во множестве натуральных чисел выполняются операции сложения и умножения, но не всегда выполняется операция вычитания. Расширяя множество N так, чтобы эта операция была выполнима, мы получаем множество целых чисел Z.

Поэтому:

Z, т. е., множество целых чисел Z содержит множество натуральных чисел, число нуль и числа, противоположные натуральным.

Основную роль во всей теории целых чисел играют следующие факты.

Теорема о делении с остатком. Для любого целого а и b > 0 существуют и притом единственные целые q и r, такие, что:

а = bq + r 0 r < |b|

Определение. Натуральное число р называется простым, если р > 1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р.

Основная теорема арифметики. Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложение на простые множители:

Где:

p₁, p₂,..., p_k - простые числа;

- натуральные числа.

Разложение называется каноническим.

Определение.

1) Общим делителем целых чисел а₁, а₂,..., а_n называется целое число d, такое, что a₁, d, а₂, d, а_n.

2) Наибольшим общим делителем целых чисел а₁, а₂, ..., а_n называется такой положительный общий делитель чисел а₁, а₂, ..., а_n, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.

Наибольший общий делитель целых чисел а и b может быть найден с помощью алгоритма Евклида, в основе которого лежит теорема о делении с остатком. Последний, отличный от нуля, остаток и будет наибольшим общим делителем чисел а и b.

Пример. Найти НОД чисел 1173 и 323. Последовательным делением находим:

1173 = 323 3 + 204;

323 = 204 1 + 119;

204 = 119 1 + 85;

119 = 85 1 + 34;

85 = 34 2 + 17;

34 = 17 2.

Так что (1173, 323) = 17.

Определение. Наименьшим общим кратным целых чисел а₁, а₂, ..., а_n, отличных от нуля, называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.

Пусть а и b целые числа, тогда:

Пример. Найти HOK чисел 1173 и 323.

Т. к.:

3. Множество рациональных чисел. Система действительных чисел

Во множестве целых чисел выполняются операции сложения, вычитания и умножения, но не всегда выполняется операция деления. Расширяя множество Z так, чтобы эта операция была выполнима, получаем новое числовое множество - множество рациональных чисел Q, т. е.:

Множество рациональных чисел можно еще определить как множество бесконечных периодических десятичных дробей.

Если же число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, то его называют иррациональным числом.

К необходимости введения понятия иррационального числа приводит рассмотрение многих задач, в частности - задачи измерения некоторых отрезков (например, длины диагонали квадрата со стороной, равной единице). Иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью.

Например, рациональные числа и представляются следующими десятичными дробями:

= 0,75;

= 0,333 = 0,(3).

Иррациональные числа и представляются непериодическими бесконечными дробями:

= 1,41;

= 3,14159.

Множество, состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел R. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой. Отметим, что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой установлено взаимно однозначное соответствие.

4. Система комплексных чисел

Однако действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Например, уравнение вида:

- действительных корней не имеет. А это означает, что система действительных чисел нуждается в расширении.

Определение.

Множество чисел вида:

- называется системой комплексных чисел С.

а - действительная часть комплексного числа;

bi - мнимая часть комплексного числа;

i = - мнимая единица;

b - коэффициент при мнимой единице.

Запись числа в виде:

z = а + bi

- называется алгебраической.

Комплексное число:

z = а + bi

- равно нулю тогда и только тогда, когда а = 0 и b = 0. Два комплексных числа:

z₁ = а₁ + b₁i

z₂ = а₂ + b₂i

-называются равными, если а₁ = a₂, и b₁ = b₂, в этом случае пишут: z₁ = z₂.

Число:

= а - bi

- называется сопряженным для числа:

z = а + bi

При этом числа z и называются взаимно сопряженными. Например, числа:

z = 2 + i

z = 2 - i

z = -5 - i

z = -5 + i

z = iz = -i

Что взаимно сопряженное. Арифметические действия над комплексными числами проводятся по следующим правилам. Пусть:

z₁ = а₁ + b₁i z₂ = а₂ + b₂i

Тогда:

Таким образом, видим, что если:

z = a + bi

= a - bi

z = a² + b²

Примеры. Выполнить действия:

Геометрически комплексные числа можно изображать точками плоскости, абсциссами которых служат действительные части, а ординатами - коэффициенты при мнимой единице. Таким образом, если:

z = a + bi

То на плоскости ХОУ это будет точка М (а, b). Так как любой вектор плоскости с началом в точке O(0,0) определяется координатами конца, то комплексные числа также изображают радиус - векторами (рис. 1).

Кроме алгебраической формы комплексное число может быть записано с помощью тригонометрической формы. Введем следующие определения.

Определение.

Модулем комплексного числа:

z = а + bi

- называется арифметический квадратный корень из суммы квадратов его действительной части и коэффициента при мнимой единице:

|z| = r =

Определение. Аргументом комплексного числа:

z = а + bi

- называется число, для которого:

Возьмем на плоскости точку М (а, b), пусть ей соответствует комплексное число:

z = а + bi

Обозначим через угол, который образует радиус - вектор ОМ с положительным направлением оси ОХ.

Запись числа:

z = r (cos + isin)

- называется тригонометрической формой комплексного числа.

Тогда:

z = а + bi = rcos + irsin = r(cos + isin)



С геометрической точки зрения, модуль комплексного числа представляет собой длину радиус-вектора, который это число изображает, а аргумент - это угол, который образует данный радиус-вектор с положительным направлением оси ОХ.

Пример. Найти модуль, аргумент и записать число:

z = 1 - i

- в тригонометрической форме.

Имеем:

Используя тригонометрическую форму комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел можно выполнять так если:

z₁z₂ = r₁r₂ [cos (₁ + ₂) + isin (₁ + ₂)]

Операции же возведения в целую степень и извлечения корня удобнее проводить в тригонометрической форме. Возведения в целую степень n:

z = r (cos + isin)

Известна формула Муавра:

zⁿ = rⁿ(cos n + isin n)

Пример.

Если:

Тогда:

Для извлечения корня степени n N из комплексного числа:

z = r (cos + isin )

- используется следующая формула:

Пример. аксиома математический теорема

Найдем тригонометрическую форму подкоренного выражения:

Размещено на Allbest.ru