Решение краевых задач эллиптического уравнения методами Ритца и Канторовича

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Воронежский Государственный Технический Университет

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

Курсовая работа

Решение краевых задач эллиптического уравнения методами Ритца и Канторовича

Выполнил:

студент группы НТ-061

Тимошинова Т.С.

Проверил:

Кострюков С.А.

Воронеж 2008.

Содержание

эллиптический вариационный уравнение граничный

1. Краевые задачи

2. Классификация краевых задач

3. Краевая задача для уравнения эллиптического типа

4. Вариационные постановки задач

5. Вариационные постановки основных эллиптических задач

6. Прямые методы вариационного исчисления

7. Метод Канторовича

8. Метод Ритца

1. Краевые задачи

Чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Математически это связано с неединственностью решения дифференциальных уравнений. Поэтому, чтобы выделить решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые условия: начальные и граничные условия. Соответствующая задача называется краевой задачей. Таким образом, краевая задача математической физики -- это дифференциальное (интегро-дифференциальное) уравнение (или система уравнений) с заданными краевыми условиями.

2. Классификация краевых задач

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

(1)

описывает процессы колебаний, уравнение

(2)

описывает процессы диффузии уравнение

(3)

описывает соответствующие стационарные процессы.

Пусть ЩRⁿ -- область, где происходит физический процесс, а - ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверхностью. Область изменения аргументов х -- область Щ -- в случае уравнения (3) есть область задания уравнения. Временную переменную t считаем из (0,T).

Будем предполагать, что коэффициенты с, р и q уравнений (1)-(3) не зависят от t. Далее, в соответствии с их физическим смыслом, считаем, что с(x)>0, p(x)>0, q(x)>0,. Кроме того, в соответствии с математическим смыслом уравнений (61)-(63) необходимо считать, что и .

При сделанных предположениях, согласно введенной классификации, уравнение колебаний (1) -- гиперболического типа, уравнение диффузии (2) -- параболического типа, стационарное уравнение (3) -- эллиптического типа.

Различают, таким образом, следующие три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений:

Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область Щ совпадает со всем пространством Rⁿ граничные условия отсутствуют.

Краевая задача эллиптического типа: задаются граничные условия на границе Щ начальные условия отсутствуют.

Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные и граничные условия, Щ? Rⁿ

Рассмотрим подробнее постановку краевой задачи эллиптического типа.

3. Краевая задача для уравнения эллиптического типа

Краевая задача для уравнения (3) (эллиптический тип) состоит в нахождении функции u(x) класса удовлетворяющей , в области Щ уравнению (3) и граничному условию на вида

(4)

где -- заданные кусочно непрерывные функции на причем ,

Выделяют следующие типы граничных условий (4).

граничное условие первого рода

(5)

граничное условие второго рода

(6)

граничное условие третьего рода

(7)

Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами первого, второго и третьего рода.

Для уравнений Лапласа и Пуассона краевая задача первого рода называется задачей Дирихле

(8),

краевая задача второго рода называется задачей Неймана

(9)

Аналогично ставятся краевые задачи для уравнения (3) и во внешности ограниченной области Щ (внешние краевые задачи). Отличие состоит в том, что помимо граничного условия (4) на задаются еще условия на бесконечности. Такими условиями, например, могут быть: условия излучения Зоммерфельда -- для уравнения Гельмгольца;

условия вида

u(x)=0(1) или u(x)=₀(1), x>? (10)

для уравнения Пуассона.

4. Вариационные постановки задач

Многие задачи математической физики могут быть переформулированы как вариационные задачи, представляющие собой один из подходов к введению обобщенных постановок исходных краевых задач. Рассмотрим этот подход к исследованию обобщенных постановок задач, известный еще как энергетический метод.

5. Вариационные постановки основных эллиптических задач

Рассмотрим в самосопряженное уравнение эллиптического типа второго порядка

(11)

Коэффициенты A_ij и С в общем случае суть функции координат x₁,x_2,…,x_n переменной точки x в частных случаях эти коэффициенты могут быть и постоянными. Будем считать, что искомая функция должна быть определена в некоторой конечной области Щ.

Для эллиптических уравнений чаще всего ставятся следующие задачи, различающиеся по типу краевых условий, которые будем считать однородными.

Задача Дирихле, или первая краевая задача:

(12)

Задача Неймана, или вторая краевая задача:

(13)

Третья краевая задача:

(14)

Здесь п -- внешняя нормаль к поверхности , -- неотрицательная и отличная от тождественного нуля функция, определенная на поверхности

Если коэффициент , то при краевых условиях (12) и (14) оператор А положительно определенный. Задача Дирихле сводится к задаче о минимуме функционала

(15)

(dx -- элемент объема) на множестве функций, удовлетворяющих условию (12);

третья краевая задача сводится к задаче о минимуме несколько иного функционала

(16)

в классе функций, на которых этот функционал имеет конечное значение,

т. е. в классе . Краевому условию (14) подчинять эти функции нет необходимости, так как это условие естественное.

Если коэффициент C(x) не только неотрицателен, но и отличен от нуля, то оператор А положительно определенный, и на множестве функций, удовлетворяющих условию (13), задача Неймана равносильна вариационной задаче о минимуме интеграла (15) на функциях класса . Краевое условие (13) естественное.

Особо остановимся на задаче Неймана в случае, когда C=0. Уравнение (11) принимает вид

 (17)

Задача Неймана для этого уравнения в общем случае неразрешима;

необходимым и достаточным условием ее разрешимости является равенство

(18)

С другой стороны, если задача Неймана разрешима, то она имеет бесчисленное множество решений, которые различаются на постоянное слагаемое. Можно это слагаемое подобрать так, чтобы (u,1)=0. Теперь можно в уравнении (17) рассматривать данную функцию f{x) и искомую u(x) как элементы подпространства, ортогонального к единице. В этом подпространстве оператор A₀ положительно определен на множестве функций, удовлетворяющих условию (13). Задача Неймана равносильна задаче о минимуме интеграла

на множестве функций из удовлетворяющих условию

эта вариационная задача разрешима и имеет единственное решение. Иногда рассматриваются краевые условия смешанного типа: границаразбивается на две, части и искомое решение подчиняется условиям

 (19)

Оператор А в уравнении (11) при этом положительно определенный, и «смешанная» краевая задача равносильна задаче о минимуме функционала

на множестве функций, удовлетворяющих первому из условий (19);

второе из этих условий естественное.

Замечание. Энергетический метод можно часто использовать и в том случае, когда краевые условия (13), (14) исходной задачи неоднородны.

6. Прямые методы вариационного исчисления

Дифференциальные уравнения вариационных задач интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях. В связи с этим естественно возникает потребность в иных методах решения этих задач. Основная идея так называемых прямых методов заключается в том, что вариационная задача рассматривается как предельная для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных. Эта задача на экстремум функции конечного числа переменных решается обычными методами, а затем предельным переходом получается решение соответствующей вариационной задачи.

Функционал F[у(х)] можно рассматривать как функцию бесконечного множества переменных. Это утверждение становится совершенно очевидным, если предположить, что допустимые функции могут быть разложены в степенные ряды

y(x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + ... + a_n xⁿ +...,

или в ряды Фурье

,

или вообще в какие-нибудь ряды вида

, (20)

где (x) -- заданные функции. Для задания функции у(x), представимой в виде ряда (20), достаточно задать значения всех коэффициентов a_n , и, следовательно, значение функционала F[y(x)] в этом случае определяется заданием бесконечной последовательности чисел a₀, a₁, a₂, ... , a_n, ..., т. е. функционал является функцией бесконечного множества переменных:

F[y(x)]= (a₀, a₁, ... , a_n, ...).

Следовательно, различие между вариационными задачами и задачами на экстремум функций конечного числа переменных состоит в том, что в вариационном случае приходится исследовать на экстремум функции бесконечного множества переменных. Поэтому основная идея прямых методов, заключающаяся, как уже сказано выше, в том, что вариационная задача рассматривается как предельная для задачи на экстремум функций конечного числа переменных, является весьма естественной.

7. Метод Канторовича

Этот метод применяется для приближенного решения вариационной задачи, когда функционал зависит от функции нескольких переменных. Пусть

(21)

При применении метода Ритца к функционалу (21) выбирается следующая система базисных функций: ₀(x, y), ₁(x, y), … , _m(x, y). Решение ищется в виде

где C_k - неизвестные постоянные.

Метод Канторовича также требует выбора системы базисных функций ₀(x, y), ₁(x, y), … , _m(x, y), и выражение для экстремали берется в виде

(22)

однако коэффициенты u_k(x) здесь не постоянные, а являются неизвестными функциями одной независимой переменной, определяемые таким образом, чтобы функционал (21) достигал экстремального значения. Если перейти к пределу при m, то при некоторых условиях можно получить точное решение, если предельного перехода не осуществлять, то этим методом будет получено приближенное решение и притом, вообще говоря, значительно более точное, чем при применении метода Ритца с теми же базисными функциями и с тем же числом членов m.

Большая точность этого метода вызвана тем, что класс функций с переменными u_k(x) значительно шире класса функций при постоянных u_k и, следовательно, среди функций вида (22) можно подобрать функции, лучше аппроксимирующие решение вариационной задачи, чем среди функций вида , где u_k постоянны. Итак, отыскание решения в виде (22) позволяет расширить класс экстремалей.

После подстановки (22) в (21) и интегрирования полученного выражения по y получается следующий функционал:

,

который теперь зависит от m функций одной независимой переменной u₁(x), u₂(x), ..., u_m(x).

Для того чтобы функционал J достигал экстремума, необходимо, чтобы функции u_k^*(x), k = 1, 2, … , m удовлетворяли системе уравнений Эйлера-Лагранжа

и приближенное решение u_m^*(x, y) вида (22) - заданным граничным условиям на прямых x = a и x = b.

Пример

Рассмотрим задачу о кручении призмы, сечение которой есть прямоугольник со сторонами 2 и 1. Задача эта приводится к разысканию решения уравнения Пуассона , обращающегося в ноль на контуре, т. е, при x=±1 и y=±1/2 если за начало координат взят центр прямоугольника.

Задача эта равносильна задаче о минимуме интеграла

Вводим одну произвольную функцию от одного переменного f(x) и подбираем Функцию , которая при у = 0 обращается в f(x) и при y=±1/2 обращается в 0. Функция будет очевидно

откуда

Подставляя эти выражения в I, найдем

Следовательно уравнение Эйлера примет вид:

или

Откуда решение, удовлетворяющее условию f=0 при x=±1, будет

Подставляя полученное значение в выражение , найдем окончательно

Точное решение в данном случае, как известно, дается рядом

Сравнивая значение приближенного и точного решения в средней точке (0, 0), найдем соответственно 0.11443 и 0.11387 так, что погрешность равна 0.00056. При применении же метода Руншe при делений на 32 части получается значение 0.11211 и погрешность 0.00176, т. е. примерно в 3 раза большая.

8. Метод Ритца

Идея метода состоит в том, что при разыскании экстремума функционала рассматривается не все пространство допустимых функций, а лишь всевозможные линейные комбинации допустимых функций вида

 (23)

где -- постоянные, а система {}, называемая системой координатных функций, такова, что функция линейно независимы и образуют в рассматриваемом пространстве полную систему функций.

Требование, чтобы были допустимыми функциями, вообще

говоря, накладывает на координатные функции некоторые дополнительные условия типа условий гладкости или удовлетворения граничным условиям. На таких линейных комбинациях функционал обращается в функцию аргументов

.

Находим те значения , которые доставляют функции экстремум; для этого решаем систему, вообще говоря, нелинейных относительно уравнений

,

и найденные значения подставляем в (23). Полученная таким образом последовательность является минимизирующей последовательностью, т.е. такой, для которой последовательность значений функционала сходится к минимуму или к нижней грани значений функционала . Однако из того, что , еще не следует, что . Минимизирующая последовательность может и не стремиться к функции, реализующей экстремум в классе допустимых функций.

Можно указать условия, обеспечивающие существование абсолютного минимума функционала и его достижение на функциях .

В случае, когда ищется экстремум функционала

эти условия таковы:

1. Функция F(x,y,z) непрерывна по совокупности своих аргументов при любом z и при , где D -- замкнутая область плоскости XOY, в которой лежат линии.

2. Существуют константы, для которых

каково бы ни было z и для любой точки

3. Функция имеет непрерывную частную производную .причем эта производная для любой точки есть неубывающая функция от .

Сформулированные выше условия выполняются, в частности, для функционалов вида.

где p(x), q(x), r(x) -- заданные непрерывные на [x₁,x₂] функции, причем р(х) имеет непрерывную производную p'(x) и p(x)>0, q(x)>2.

Если таким методом определяется абсолютный экстремум функционала, то приближенное значение минимума функционала получается с избытком, а максимум -- с недостатком. От удачного выбора системы координатных функций {} в значительной степени зависит успех применения этого метода.

Во многих случаях достаточно взять линейную комбинацию двух трех функций для того, чтобы получить вполне удовлетворительное приближение к точному решению.

В случае, когда приходится находить приближенно экстремум функционалов , зависящих от функций нескольких независимых переменных, выбирается координатная система функций

и приближенное решение вариационной задачи ищется в виде

где коэффициенты -- некоторые постоянные числа. Для определений их аналогично предыдущему составляем систему уравнений

,

где -- результат подстановки z_m в функционал J[z].

Пример

Применим, например, метод Ритца к решению следующей задачи. В области решить уравнение

(1)

при условии, что

(2)

Построим кусочно-билинейное приближенное решение по методу конечных элементов, используя метод Ритца, примененный к соответствующему этой задаче вариационному принципу , причем

(3)

где

Если на границе значения решения заданы (граничные условия Дирихле), то эти условия налагаются на пространство , тогда как в случае задания естественных граничных условий это не является обязательным. В данной задаче необходимо ограничиться пространством функций, удовлетворяющих граничному условию .

Аппроксимирующие функции определены на области R, разбитой на (T+1)² квадратных элементов посредством 2T равно расположенных внутренних линий сетки, параллельных осям.

Тогда N(T²) базисных функций (i,j=1,…,T) подпространства K_N, определенных в гл. 1 (упражнение 6), принадлежат, очевидно, пространству, так как они все обращаются в нуль на границе.

Приближенное решение имеет тогда вид

(4)

где -- значение приближенного решения в точке(x_i,y_j). Условием стационарности является система уравнений

(5)

Отсюда и из (3) получаем

Непосредственное вычисление интегралов приводит к уравнениям

где U_ki=0, если k,i=0, T+1. Эти уравнения можно записать через разностные операторы так:

где , -- центрированные разностные операторы второго порядка, а

I_x,I_y -- операторы «правила Симпсона», определенные равенством

и аналогично для I_y. Приближенное решение в узловых точках, изображенных на рис. 1, приводится в табл. 1; вследствие симметрии необходимо изображать только одну восьмую области. Точное решение в этой задаче есть

Рис. 1

Если уравнение (2) снова решается в области , но заданы естественные граничные условия



пространство допустимых функций содержит также функции, не равные нулю на границе. Аппроксимирующее подпространство также должно содержать такие функции, поэтому мы берем дополнительные базисные функции , соответствующие граничным точкам (x_i,y_j) с x_i, y_j=. Такие функции не равны нулю, остальные же базисные функции отличны от нуля.

Системы уравнений

Метод Ритца можно применять и к решению систем дифференциальных уравнений с частными производными в теории упругости при малых деформациях. Вообще, если мы берем приближения вида

(6)

и ищем стационарную точку функционала I(U, V) относительно U и V, то получаем N₁+N₂ уравнений

(7)



Размещено на Allbest.ru