Частные производные
Характеристика частных производных по переменным в определенной точке. Сущность дифференциалов высших порядков, их классификация и задача. Основные экстремумы функции двух переменных. Главные правила нахождения наибольших и наименьших значений функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 51,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция 1
1. Частные производные и дифференциалы высших порядков
Определение 1.
Частные производные по переменным и в точке от функций и в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции .
Обозначение.
- смешанные частные производные.
Пример 1.
Найти частные производные функции .
Решение.
; .
Теорема 1. Если функции и существуют в и непрерывны в самой точке М, то они равны между собой:
(28.1).
Определение 28.2.
- дифференциал первого порядка
- дифференциал второго порядка.
Тогда
- дифференциал n-го порядка
2. Экстремумы функции двух переменных
Пусть функция определена в окрестности точки
Определение 3.
Функция имеет в точки локальный максимум (минимум), если существует : из окрестности выполняется неравенство:
()
Таким образом, в окрестности точки :
локальный минимум,
локальный максимум.
производный дифференциал экстремум
Теорема 2 (необходимое условие экстремума).
Если функция имеет в точке экстремум и частные производные первого порядка, то выполняется равенство:
(28.2).
Точки, в которых выполняется равенство (28.2) называются точками возможного экстремума, или стационарными точками.
Теорема 3 (достаточное условие экстремума).
Пусть в точке возможного экстремума и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные второго порядка.
Положим
Тогда: а) если , то в точке экстремум: ;
б) если , нет экстремума;
в) если , требуется дополнительное исследование.
Пример 2.
Исследовать на экстремум функцию .
Решение.
, , - (минимум)
Найдем точки минимума.
По теореме 28.2. , т.е. , x=1/3, y=4/3
Итак, в точке функция имеет минимум.
3. Нахождение наибольших и наименьших значений функции
Чтобы вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области, поступают следующим образом:
находят все максимальные и минимальные значения функции, достигаемые в данной области;
находят наибольшие и наименьшие значения функции на границе области.
сравнивают найденные значения.
Пример 3.
Найти наибольшее значение функции в замкнутой области, ограниченной линиями: , , .
Решение.
1) , (min) .
2) , , => y=1/3.
z(0)= 2, z(1/3)=1/3-2/3+2=4/3; z(1)=3.
при x=0, z=3(наибольшее).
3) , аналогично при y=0, z=3 (наибольшее);
4) x+y=1; 12y-6=0 y=1/2
z(0)=3, z(1)=3, z(1/2)=3/2
Итак, наибольшее значение: 3 при y=0 или y=1.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.
контрольная работа [61,5 K], добавлен 14.01.2015Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.
контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Функция многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные. Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы. Интегральное исчисление функций. Неопределённный интеграл.
курс лекций [309,0 K], добавлен 08.04.2008Основные признаки возрастания и убывания функции. Максимум и минимум функций. План решения текстовых задач на экстремум. Производные высших порядков. Формулы Тейлора и Маклорена. Применение дифференциалов при оценке погрешностей. Длина плоской кривой.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 25.11.2010Исследование функции на непрерывность. Алгоритм вычисления производных первого и второго порядков. Порядок определения скорости и ускорения в определенный момент времени при помощи производных. Особенности исследования функции на наличие точек экстремума.
контрольная работа [362,7 K], добавлен 23.03.2014Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.
контрольная работа [90,0 K], добавлен 24.10.2010Определение частных производных первого и второго порядков заданной функции, эластичности спроса, основываясь на свойствах функции спроса. Выравнивание данных по прямой методом наименьших квадратов. Расчет параметров уравнения линейной парной регрессии.
контрольная работа [99,4 K], добавлен 22.07.2009Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.
контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012Понятия зависимой, независимой переменных, области определения функции. Примеры нахождения области функции. Примеры функций нескольких переменных: линейная, квадратическая, функция Кобба-Дугласа. Построение графика и линии уровня функции двух переменных.
презентация [104,8 K], добавлен 17.09.2013
