Число "е"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Число "е"

Рассмотрим последовательность {x_n} с общим членом:

Докажем, что она сходится. Для этого достаточно доказать:

1) {x_n} возрастающая;

2) {x_n} ограничена сверху.

Рассмотрим:

И докажем, что последовательность {y_n} убывает, т. е.:

Докажем, что она сходится. Доказательство:

Замечание 1. Неравенство (*) верно: знаменатель увеличили, дробь уменьшилась. Обозначим:

Итак:

Т. е., последовательность {y_n} убывающая.

Так как , то последовательность ограничена, т. е., существует предел последовательности .

Замечание 2. В доказательстве использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической последовательности:

Обозначим:

Таким образом:

- называют вторым замечательным пределом.

Функции одной переменной.

Определение 1.

Пусть x и y - некоторые числовые множества. Если каждому элементу множества X единственным образом соответствует элемент множества Y, то это соответствие называется функцией. Обозначение:

Здесь y - зависимая переменная, х - независимая переменная.

X - обл. определения (существования) функции (D(f));

Y - множество значений функции (E(f)).

Определение 2.

Пусть f(x) определена на некотором множестве X.

f(x) ограничена сверху (снизу), если:

Условие ограниченности:

Пример 1.

Показать, что - ограниченная функция.

Способы задания функции.

Аналитический:

При аналитическом способе задания функция задается с помощью заданной функции можно перейти к явному виду, иногда это сделать невозможно:

Пример 2.

При аналитическом способе функцию можно задать:

а) несколькими выражениями:

Пример 3.

Signum (лат.) - знак.

б) параметрические:

Пример 4.

График функции - астроида.

в) в полярной системе координат:

Пример 5.

- уравнение лемнискаты Бернулли.

Таблица:

Например, расписание поездов.

Соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика.

Замечание.

Окружность, заданная формулой:

- не является графиком функции (это график уравнения), однако полуокружности, заданные уравнениями:

- являются графиками функций.

Классификация элементарных функций.

Основные элементарные функции.

а) тригонометрические:

б) обратные тригонометрическим:

в) степенная: ;

г) показательная: .

Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над элементарными функциями, а также суперпозицией этих функций составляют класс элементарных функций.

Пример 6.

Примеры элементарных функций:

Классификация элементарных функций.

Функция вида:

Где:

- называется целой рациональной функцией или алгебраическим многочленом степени .

Функция вида:

- называется дробно-рациональной.

Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и арифметических действий над степенными функциями, не являющаяся рациональной, называется иррациональной функцией:

Функция, не являющаяся рациональной или иррациональной, называется трансцендентной функцией:

Предел функции.

Предел функции в точке х_о.

Определение 3. - на языке последовательностей.

Пусть функция f(x) определена на множестве X. Пусть также заданы: последовательность:

Причем:

А также соответствующая последовательность:

Причем:

Тогда:

Или:

Пример 7.

Доказать, что функция:

- не имеет предела.

Построим:

При . Тогда:

Но если построить:

При , но:

Таким образом, для двух сходящихся последовательностей, соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы.

Определение 3.

Предел функции в точке на языке эпсилон-дельта ().

Число A называется пределом функции f(x) в точке, если:

- удовлетворяющих неравенству:

- выполняется неравенство:

Или:

формула геометрический множество

Замечание 3. Оба определения предела функции эквивалентны.

Геометрический смысл понятия «предел функции».

Пусть М - произвольные точки графика функции:

Точки М графика должны находиться в полосе шириной , ограниченной прямыми:

- для всех значений x, удаленных от точки не далее чем на .

Пример 8.

Односторонние пределы.

Определение 4.

Если у любой сходящейся к точке последовательности все ее элементы меньше , а соответствующая последовательность сходится к , то число называется левым пределом функции .

Обозначение:

Определение 5.

Если у любой сходящейся к последовательности все ее элементы больше , а соответствующая последовательность сходится к , то число называется правым пределом функции f(x):

Утверждение: Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы справа и слева и они равны .

Пример 9.

Размещено на Allbest.ru