Уравнение прямой в отрезках
Обзор формульного выражения общих уравнений прямой, отсекаемой на соответствующих осях координат. Изучение уравнений, определяющих расположение прямых на плоскости. Построение графика системы полярной оси координат по уравнению плоскостной прямой.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 122,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Уравнение прямой в отрезках
Пусть дано общее уравнение прямой:
Тогда:
(1)
- уравнение прямой в отрезках, где - отрезки, которые отсекает прямая на соответствующих осях координат.
Пример 1.
Построить прямую, заданную общим уравнением:
Из чего, можно построить уравнение этой прямой в отрезках:
Взаимное расположение прямых на плоскости.
Утверждение 1.
Для того чтобы прямые и , заданные уравнениями:
(*)
- совпадали, необходимо и достаточно, чтобы:
(2)
Доказательство: и совпадают, их направляющие вектора и коллинеарны, т. е.:
(3)
Возьмем точку М0 этим прямым, тогда:
Умножая первое уравнение на и прибавляя ко второму в силу (2) получим:
(4)
Итак, формулы (2), (3) и (4) эквивалентны. Пусть выполняется (2), тогда уравнения системы (*) эквивалентны соответствующие прямые совпадают.
Утверждение 2.
Прямые и , заданные уравнениями (*) параллельны и не совпадают тогда и только тогда, когда:
(5)
Доказательство:
Пусть и не совпадают:
- несовместна, т. е., по теореме Кронекера-Капелли:
Это возможно лишь при условии:
Т. е., при выполнении условия (5).
При выполнении первого равенства (5), - невыполнение второго равенства дает несовместность системы (*) прямые параллельны и не совпадают.
Замечание 1.
Полярная система координат.
Зафиксируем на плоскости точку и назовем ее полюсом. Луч , исходящий из полюса, назовем полярной осью.
Выберем масштаб для измерения длин отрезков и условимся, что поворот вокруг т. против часовой стрелки будем считать положительным. Рассмотрим любую точку на заданной плоскости, обозначим через ее расстояние до полюса и назовем полярным радиусом. Угол, на который нужно повернуть полярную ось , чтобы она совпала с обозначим через и назовем полярным углом.
Определение 3.
Полярными координатами точки называется ее полярный радиус и полярный угол :
Замечание 2. в полюсе. Значение для точек, отличных от точки определено с точностью до слагаемого .
Рассмотрим декартовую прямоугольную систему координат: полюс совпадает с началом, а полярная ось - с положительной полуосью . Здесь . Тогда:
(6)
Что является связью между прямоугольной декартовой и полярной системами координат.
Пример 2.
- уравнение лемнискаты Бернулли. Записать его в полярной системе координат.
Нормальное уравнение прямой на плоскости. Пусть полярная ось совпадает с , - ось, проходящая через начало координат . Пусть:
Пусть , тогда:
(*)
Условие (**) для того, чтобы точка :
(7)
- уравнение прямой в полярной системе координат.
Здесь - длина , проведенного от начала координат на прямую, - угол наклона нормали к оси .
Уравнение (7) можно переписать:
Получим:
(8)
- нормальное уравнение прямой на плоскости.
Покажем, как общее уравнение прямой привести к нормальному виду: пусть :
- тогда нормальное уравнение получается умножением на нормирующий множитель :
Где:
- должны быть координатами единичного вектора. Это значит:
(9)
Знак выбирается из условия: , т. е., если:
Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния от произвольной точки до прямой:
(10)
Пример 2. формульный уравнение плоскость
- общее уравнение.
Определим нормальное уравнение.
Умножим обе части исходного уравнения на:
:
Здесь:
Замечание 3.
Формула (8) может быть записана в виде:
(11)
Угол между двумя прямыми. Пусть даны две прямые:
Найти угол между этими прямыми:
Или:
(12)
Исходя из чего, можно построить график.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011Способы задания прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Рассмотрение частных случаев. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Построение графика прямой, проходящей через две точки. Рассмотрение примера.
презентация [104,9 K], добавлен 21.09.2013Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.
контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012Понятие параллельности как отношения между прямыми. Случаи расположения прямой и плоскости. Признаки параллельности прямой и плоскости. Основные свойства двух прямых. Отсутствие общих точек у прямой и плоскости. Признаки параллельности плоскостей.
презентация [1,5 M], добавлен 14.10.2014Определение связи между полярными и прямоугольными координатами. Рассмотрение уравнений прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Представление в исследуемой системе координат спирали Архимеда. Построение графиков функций.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.02.2012Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Биссектриса углов между прямыми. Деление отрезка в заданном отношении. Виды неполных уравнений. Понятие направляющего вектора. Расстояние от точки до прямой.
презентация [490,5 K], добавлен 10.11.2014Направленные отрезки и прямоугольная декартовая система координат. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. Параллельность и перпендикулярность прямых. Пространство со скалярным произведением. Решение системы линейных уравнений по формуле Крамера.
шпаргалка [1,1 M], добавлен 30.05.2015Возможные случаи ориентации прямой и плоскости для заданного уравнения. Условия их перпендикулярности и параллельности. Скалярное произведение перпендикулярных векторов. Координаты точки, лежащей на прямой. Угол между прямой и плоскостью, его определение.
презентация [65,2 K], добавлен 21.09.2013Нахождение координат треугольника по заданным вершинам. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения прямых. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Составление канонических уравнений прямой, кривой второго порядка и поверхности.
контрольная работа [259,7 K], добавлен 28.03.2014Перпендикулярные прямые в пространстве. Определение и признак прямой, перпендикулярной к плоскости. Теорема о перпендикулярности двух параллельных, двух перпендикулярных прямых к плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
презентация [160,5 K], добавлен 20.11.2014
