Элементы линейной алгебры

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. Матрицы и определители. Основные понятия

Определение 1.1. Прямоугольная таблица чисел, состоящая из строк и столбцов называется матрицей порядка .

Числа () называются элементами матрицы (здесь первый индекс - номер строки а второй - номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент).

Определение 1.2. Матрица, полученная из матрицы А заменой строк на столбцы, называется транспонированной матрицей и обозначается .

Замечание 1. В определении 1.2 матрица имеет размер (n х m).

Определение 1.3. Матрица размера называется квадратной матрицей порядка:

.

Замечание 2. Диагональ называется главной диагональю квадратной матрицы, а диагональ - побочной диагональю.

Пример 1.1.

а) (размер _1_х_4_) - однострочная матрица или матрица-строка;

б) (размер _3_х_1_) - столбцовая матрица или матрица-столбец;

в) С=(-2) (размер _1_х_1_).

Пример 1.2.

, .

С каждой квадратной матрицей свяжем определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.

Обозначение:

.

Определение 1.4. Определителем матрицы первого порядка, называется сам элемент :

.

Определение 1.5.

Определителем матрицы второго порядка, называется число:

. (1.1)

Определение 1.6. Определителем матрицы третьего порядка, называется число:

. (1.2)

Равенство (1.2) вычисляется по правилу Саррюса (часто его называют правилом треугольника):

а (+) б (-)

Замечание 3. Для определителя матрицы A употребляют также следующие обозначения: , , .

Примеры 1.7.

Вычислить определители:

1) ;

2);

3) ;

4) .

Определение 1.7. Минором элемента квадратной матрицы -го порядка называется определитель матрицы ()-го порядка, остающийся после вычеркивания -й строки и -го столбца данной матрицы -го порядка (то есть строки и столбца на пересечении которых стоит элемент ). Обозначение: . (Минор - это число или матрица?).

Определение 1.8. Алгебраическим дополнением элемента . называется его минор, взятый со знаком , где - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент

. (1.3).

Пусть задана матрица A размером 4х 4:

, тогда ,

Заметим, что , если - четное число,

, если - нечетное.

Учитывая это, для правильной расстановки знаков перед минорами в алгебраических дополнениях удобна таблица:

.

Теорема (разложения). Определитель матрицы порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: матрица определитель замещение минор

. (1.4)

- разложение по -й строке.

Доказательство. Пусть, тогда:

(1.5).

Докажем, что имеют место следующие равенства:

, (1.6)

(1.7)

(1.8)

Чтобы доказать (1.6) достаточно записать правую часть формулы (1.5) в виде:

.

Величины, стоящие в скобках являются алгебраическими дополнениями матрицы порядка элементов , , , т.е.

.

Равенства (1.7) и (1.8) доказываются аналогично.

2. Свойства определителей

1. Значение определителя не меняется при транспонировании матрицы (замен всех его строк соответствующими столбцами).

Проверим для..

.

Замечание. Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк, и для столбцов, а доказывать только для строк или только для столбцов.

2. При перестановке двух строк значение определителя меняет знак, сохраняясь по абсолютной величине.

Проверим для..

, .

Проверим для .

Разложим по второй строке:

,

поменяем 1 и 3 строки. Каждое поменяет знак, т.к. является определителем второго порядка, у которого строки поменялись, следовательно:

.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Проверим для .

Допустим совпадают 1 и 3 строки:

.

4. Общий множитель всех элементов какой-либо строки можно вынести за знак определителя (т.е. при умножении определителя на число, все элементы какой-либо одной строки умножаются на это число).

Доказательство. Пусть,

.

Применяя теорему разложения, разложим по -той строке:

.

5. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Пусть -тая и -тая строки пропорциональны:

.

6. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен нулю.

Доказательство. Если все элементы строки равны нулю, то разлагая определитель по этой строке, получим, что он равен нулю.

7. Если два определителя одного порядка отличаются только элементами одной строки, то сумма таких определителей равна определителю с элементами указанной строки, равными суммам соответствующих элементов этой строки данных определителей.

Доказательство.

.

8. Значение определителя не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Доказательство. Пусть

.

Тогда, по свойству (7):

.

Пример 2.1. Вычислить .

Решение. Пользуясь свойством (8), прибавим элементы третьей строки, умноженные на (-2) к элементам первой строки, а также элементы третьей строки, но умноженные на (-3), к элементам второй строки. При этом значение определителя сохранится, но два элемента первого столбца окажутся нулями.

.

Пример 2.2.

1) С помощью теоремы разложения разложить определитель по 1-ой строке:

2) Вычислить определители удобным способом:

.

3) Вычислить:

.

Следствие теоремы. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

(1.9)

Доказательство.

.

Вычисление определителя только по теореме разложения не рационально. Таким способом, например, ЭВМ с быстродействием 1 млн. операций в секунду определитель порядка будет вычислять несколько миллионов лет. Существенно упрощает вычисление определителей высоких порядков использование свойств (4) и (8), причем, основным инструментом является свойство (8). С использованием этих свойств тот же определитель порядка может быть вычислен за 1 секунду.

Теорема 2.3 (замещения). Пусть ? - некоторый определитель третьего порядка. Сумма произведений алгебраических дополнений элементов какой-нибудь строки (столбца) на любые числа , , равна определителю ?', который получается из данного определителя заменой упомянутой строки (столбца) строкой (столбцом) из чисел , , .

Пример 2.4. Пусть,

.

Построить .

Проверить, что .

Теорема 2.4 (аннулирования). Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Докажем к примеру, что сумма произведений элементов второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов первого столбца равна нулю. Пусть задан определитель (1.5). Тогда имеем разложение (1.6).

.

Алгебраические дополнения , , не зависят от самих элементов , , . Поэтому если в обеих частях равенства (1.6) числа , , заменить произвольными числами , , , то получится верное равенство:

, (1.10).

Если теперь в равенстве (1.10) в качестве , , взять элементы , , второго столбца, то согласно свойству (3) определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.

Размещено на Allbest.ru