Преобразование плоскости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости

Пусть на плоскости р заданы две произвольные декартовы прямоугольные системы координат: первая, определяемая началом О и базисными векторами i и j, и вторая, определяемая началом и базисными векторами и (рис. 1).

Выразим координаты и произвольной точки плоскости относительно первой системы координат через координаты и этой же точки относительно второй системы координат.

Координаты и совпадают с координатами вектора в разложении его по базису , а координаты и совпадают с координатами вектора в разложении его по базису , т.е.

 (1.1)

Если обозначить через и координаты начала второй системы относительно первой системы, то

(1.2)

Так как любой вектор на плоскости можно разложить по базису, то найдутся числа , такие что

(1.3)

В силу правила треугольника сложении векторов (рис. 1.1)

. (1.4)

Вставляя в правую часть (1.2) значения и , определяемые формулами (1.4), и после этого подставляя в (1.5) значения , определяемые формулами (1.1), (1.2) и (1.3), и группируя слагаемые относительно и , получим

(1.5)

В силу единственности разложения вектора по базису из равенства (1.5) получим формулы преобразования координат

 (1.6)

Вывод: каковы бы ни были две произвольные декартовы системы на плоскости , координаты любой точки плоскости относительно первой системы являются линейными функциями координат той же точки относительно второй системы.

Перейдём к геометрической интерпретации полученных формул. Для этого обозначим символом косинус угла между векторами и . Помножая каждое из равенств сначала на , а затем на и учитывая, что получим

(1.7)

Пусть базисные векторы направлены так, что оба кратчайших поворота от к от к совершаются в одном направлении ( либо оба по часовой стрелке, либо оба против часовой стрелки).

Обозначим через угол между базисными векторами и , отсчитываемый в направлении, отвечающем кратчайшему повороту от к. Тогда

Угол между базисными векторами и также равен , и поэтому первая система координат может быть совмещена со второй посредством параллельного переноса вдоль вектора и последующего поворота вокруг начала на угол (рис.2)

Пользуясь формулами (1.7), подсчитаем для обоих случаев коэффициенты .

Таким образом, формулы преобразования координат (1.7) принимают вид:

(1.8)

Общее преобразование координат (1.8) распадается на сумму двух преобразований, одно из которых отвечает только параллельному переносу системы, а другое - только повороту системы вокруг начала на угол .

Полагая в формулах (1.8) угол поворота =0, получим формулы преобразования координат при параллельном переносе системы вдоль вектора

(1.9)

Полагая в тех же формулах (1.8) координаты и вектора равными нулю, получим формулы преобразования координат при повороте системы вокруг начала на угол ( в направлении против часовой стрелки)

. (1.10)

Вывод: каковы бы ни были две системы координат и , первая может быть совмещена со второй посредством параллельного переноса вдоль вектора и последующего поворота вокруг начала на некоторый угол .

Приведение к каноническому виду

Решение задачи приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду включает отыскание канонического уравнения кривой и канонической системы координат.

Укажем, как можно с помощью преобразований координат, рассмотренных в предыдущем параграфе, привести общее уравнение кривой второго порядка

(1)

К каноническим уравнениям эллипса, гиперболы или параболы, или к случаям их выражения.

Приведение общего уравнения (1) кривой к каноническому виду осуществляется в несколько шагов. Опишем их.

1. Если исходная система координат не прямоугольная, переходим к какой-нибудь прямоугольной системе координат. При этом общий вид уравнения (1) не изменится. Далее считаем систему координат прямоугольной.

2. Если в уравнении (1) коэффициент , то следует перейти к такой системе координат, чтобы в преобразованном уравнении коэффициент при произведении был равным нулю. Для этого систему координат надо повернуть вокруг начала координат на угол :

(1.10)

Подставим выражения (1.10) для и в левую часть уравнения (1):

Сгруппируем коэффициенты при различных степенях и :

плоскость координата канонический уравнение

В полученном уравнении найдём такой угол , чтобы коэффициент при стал равен нулю, для этого необходимо

Разделив правую и левую часть уравнения на -1 получим:

Применяя тригонометрические формулы преобразуем уравнение:

(1.11)

(1.12)

Уравнения (1.11) можно свести и к уравнению следующего вида:

Разделим обе части уравнения на , получим:

Получили уравнение относительно . Поделив каждую часть уравнения на , получим

(1.13)

Из нескольких возможных значений можно брать любое. При можно положить . Далее по формулам тригонометрии , получаем нам нужные значения для :

(здесь можно взять любое из значений ) (1.14)

. (1.15)

Затем следует подставить значения в формулы (1.10)

Следовательно, уравнение кривой в новых координатах примет вид

(1.16)

Если в уравнении (1.16) , то говорят, что уравнение определяет линию эллиптического типа, если же то говорят, что уравнение определяет линию гиперболического типа и, если один из коэффициентов или равен нулю, то уравнение (1.16) определяет линию параболического типа.

3. Далее с помощью параллельного переноса системы координат уравнение всегда можно привести к виду:

(1.17)

т.е. фактически к каноническому виду.

Из уравнения (1.17) следует, что мы имеем либо эллипс (если и одного знака, а противоположного),

Либо мнимое место точек (если имеют один знак),

Либо одну точку (если имеют один знак, а ),

Либо гиперболу (если разных знаков и )

Либо две пересекающиеся прямые (если разных знаков и ).

Если же в уравнении (1.16) один из коэффициентов и , обращается в нуль, то это уравнение с помощью переноса осей приведётся к каноническому уравнению параболы при или к виду при ,

Что даёт или две параллельные прямые, или мнимое место точек.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и сделать чертёж.

Решение.

Найдём угол поворота системы координат из формулы (1.12):

Пусть тогда

Пусть , тогда

И формулы преобразования координат запишутся в виде:

Подставим выражения "старых" координат через "новые" в исходное уравнение кривой :

Сгруппируем коэффициенты при различных степенях и получим:

Выделяя полный квадрат по и запишем:

Введём новые координаты и в этих координатах уравнение примет вид

,

т. е. данная кривая есть эллипс с полуосями и . Сделаем чертёж.

Пример 2. Определить тип кривой второго порядка, составить её каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:

Решение. Найдём угол поворота системы координат из формулы () (при этом можно считать, что , тогда , и знаки и совпадают):

,

Замена координат при повороте на угол осуществляется по формулам ():

Подставляя эти выражения в уравнение кривой, получим после упрощения:

Выделим полные квадраты по :

Перенесём начало координат по формулам

Получим .

Так как это уравнение отличается от канонического уравнения гиперболы знаком свободного члена, требуется дополнительный поворот системы на угол , после которого получаем каноническое уравнение гиперболы:

Запишем окончательные формулы перехода от исходной системы координат к канонической:

.

Найдём каноническую систему координат:

Размещено на Allbest.ru