Построение сечений многогранников

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Пояснительная записка

1. Автор: учитель математики МБОУ «Гимназия №3» городского округа город Октябрьский Республики Башкортостан

2. Предмет: Геометрия, 11 класс

3. Авторы учебника: Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. - М. Дрофа, 2005

4. Тема урока: Построение сечений многогранников

5. Оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска, УМК «Живая геометрия», УМК «Математика, 5-11 классы. Практикум»

Этот материал был использован для проведения урока-повторения при подготовке к устной итоговой аттестации за курс одиннадцатилетней школы. В настоящее время так же может использоваться для повторения теоретического материала, необходимого для решения задач тестов ЕГЭ.

Особенность человеческого мышления такова, что даже простейшее восприятие и запоминание требуют неоднократного обращения к материалу. Данная тема была изучена еще в 10 классе, прошло длительное время, поэтому забывание неизбежно. Следовательно, программой необходимо предусмотреть уроки тематического повторения. Повторение темы «Построение сечений» имеет особое значение, т.к. является фундаментом для решения задач на нахождение их площадей, углов между сечениями и плоскостями, расстояний между плоскостями сечений и другими элементами. Для того, чтобы избежать однообразия и активизировать самостоятельную деятельность обучающихся, необходимо расширить знания обучающихся, предоставить другие формы деятельности. Современные информационные технологии позволяют сделать это. В данной разработке используются возможности УМК «Живая геометрия», интерактивной доски.

Преимущества использования информационных технологий:

- нужный объект в нужное время мигает, нужные линии можно выделить ярким цветом, обучающиеся могут наблюдать за процессом построения, процесс в любой момент можно остановить или повторить заново;

- использование УМК помогает решить проблему наглядности; экономит время на уроке; способствует развитию пространственного мышления, позволяя во время работы изменить ракурс объекта. Тем самым в одном изображении сочетаются двумерное и трехмерное представления фигуры, в любой момент построения можно как бы «перейти в трехмерный режим», включив вращение конструкции вокруг одной или нескольких осей, а также некоторые другие эффекты, создающие ощущение трехмерности. Все это служит лучшему восприятию учебного материала, его пониманию обучающимися. геометрия сечение многогранник пирамида

- экономит время, затраченное на подготовку к уроку учителем, так как в УМК «Живая геометрия» разработаны многие темы курса, а также многие задачи снабжены интерактивными чертежами и подсказками.

- возможность использования мультимедийных технологий для анимации и озвучивания тех или иных фрагментов процесса обучения.

Кроме этого используются презентации, созданные самими обучающимися. Конкретные задания о создании презентаций обучающиеся получают заранее. В результате работы с компьютерной презентацией у обучающихся активизируется интерес к геометрии и появляется стимул к освоению более сложных задач.

2. План-конспект урока

Тема урока: Построение сечений многогранников

Цель урока: Повторить, систематизировать и закрепить знания обучающихся по данной теме, подготовиться к итоговой аттестации в форме ЕГЭ (задачи по стереометрии)

Задачи:

- формирование у обучающихся навыков решения задач на построение сечений;

- формирование и развитие у обучающихся пространственного воображения;

- формирование у обучающихся графической культуры.

Оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска, УМК «Живая геометрия», УМК «Математика, 5-11 классы. Практикум.»

План урока

1. Организационный момент

2. Постановка цели урока

3. Повторение материала. Презентация методов построения сечений

-- метод следов

-- метод внутреннего проектирования

-- комбинированный метод.

4. Закрепление материала при решении задач

5. Самостоятельное решение задач

6. Рефлексия, подведение итогов урока.

3. Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие учителя, проверка готовности обучающихся к уроку.

2. Постановка цели урока. Ребята, мы с вами продолжаем повторение курса стереометрии 10-11 классов, ведем подготовку к ЕГЭ. На предыдущих занятиях мы повторили аксиомы стереометрии, следствия из аксиом, теоремы о взаимном расположении прямых в пространстве, прямой и плоскости, теоремы о взаимном расположении плоскостей. Я благодарна вам за то, что вы приготовили презентации к каждой теме, медиатека нашего кабинета расширяется, с приготовленными вами материалами будут знакомиться следующие классы.

Анализ заданий ЕГЭ показывает, что при решении многих стереометрических задач используют сечения многогранников плоскостью. Существует несколько методов решения задач на построение сечений многогранников. Наша задача сегодня: вспомнить эти методы, показать применение при решении задач. На дом вы получили задание приготовить презентации по методам построения сечений многогранников. Сейчас мы с ними ознакомимся. Вам слово.

3. Повторение материала.

1) Метод следов

Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Презентация. Метод следов (приложение «Построение сечения куба по трем точкам»). После показа презентации просмотр урока «Как построить сечение куба» со звуковым сопровождением в УМК «Живая геометрия»

2) Метод внутреннего проектирования

Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы секущей плоскости) оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «искусственные». Тем не менее, в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Задача. Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью (МКР), если точки М, К и Р лежат на боковых ребрах пирамиды.

Решение

Поскольку точки М, К и Р лежат на боковых ребрах пирамиды, то сразу можно построить две стороны сечения МР и РК. После этого надо найти точку Н пересечения секущей плоскости с ребром SD.

Так как проекцией МК на плоскость (АВС) является прямая АС, а проекцией РН (где точка Н пока неизвестна, но знаем, что она лежит на ребре SD) на плоскость (АВС) является прямая ВD, то точка их пересечения О будет проекцией точки О₁ на прямой МК.

Теперь в плоскости (ВSD) мы имеем две точки секущей плоскости: О₁ и Р. Значит, искомая на ребре SD точка Н будет точкой пересечения ребра SD и прямой РО₁.

Точка найдена, последние две стороны сечения МН и НК легко построить. Таким образом, МКРН - искомое сечение.

3) Комбинированный метод

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Рассмотрим задачу о построении сечения куба, проходящего через точки P, R, Q. P лежит на ребре А₁В_1, R лежит на ребре АА_1, Q лежит на ребре СС_1.

1. Точки P и R лежат в одной плоскости, проведём прямую PR.

2. Прямая PR лежит в плоскости AA₁B₁B, точка Q лежит в плоскости DD₁C₁C, параллельной AA₁B₁B.

3. Проведём через точку Q прямую параллельную прямой PR, получим точку K

(Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости).

(Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны)

4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L.

5. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK

6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA₁D₁D, проведём прямую RF.

7. Прямая RF лежит в плоскости АA₁D₁D, точка Q в плоскости BB₁C₁C,параллельной плоскости AA₁D₁D.

8. Проведём прямую параллельную прямой RF, через точку Q, получим точку M.

9. Проведем PM

10. Полученный шестиугольник является искомым сечением.

Что использовано:

Аксиома: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Теорема: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.)

Закрепление материала при решении задач

Работа в группах. Каждая группа получает задачу и лист (формата А4), на котором имеется изображение параллелепипеда. На этом листе выполняется построение сечения с помощью карандаша и линейки, описывается ход построения. Один из членов группы готовит сечение на интерактивной доске в УМК «Живая геометрия». Все решения обсуждаются группами, отмечаются положительные стороны и недостатки решения.

Задача. Точки P, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ следующим образом: точка P лежит в грани CC₁D₁D, точка Q - в грани AA₁D₁D, точка R на прямой BB₁. Построить сечение параллелепипеда плоскостью (PQR).

Задача. Точки P, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ следующим образом: точка P лежит на грани CC₁D₁D, точка Q - на ребре B₁C₁, а точка R - на ребре AA₁. Построить сечение параллелепипеда плоскостью (PQR).

(Первый рисунок-итог работы обучающихся, второй рисунок-проверка в УМК «Математика, 5-11 классы», Стереометрия)

Задача. На рёбрах A₁B₁ и DD₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки P и S, а в гранях DD₁C₁C и AA₁D₁D соответственно точки Q и R. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку S параллельно плоскости PQR.

Самостоятельное решение задач

Каждый ученик получает карточку с заданием. На этом же листе выполняется построение сечения и описание этого построения. Проверку заданий можно осуществить на уроке в УМК «Математика, 5-11 классы. Практикум»

(Стереометрия - Построение сечений - Выбор фигуры - Сечение - Отметить положения трех точек - Сечение готово) или по готовым решениям в УМК «Живая геометрия»

Решения заданий

Домашнее задание: карточки с заданиями на построение сечений пирамиды.

Рефлексия. Подведение итогов урока

- Что нового я узнал на уроке?

- Чему я научился на уроке?

- Где я смогу применять полученные знания?

Размещено на Allbest.ru