Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методы приближенного вычисления определенного интеграла

Введение

интеграл приближенный формула математика

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики, а также и при решении физических задач. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции, т. е. не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции которых не являются элементарными. Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно и применяются различные методы приближенного вычисления определенных интегралов, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью.

В своей работе я рассмотрю три наиболее употребительные приближенные метода вычисления определенных интегралов: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (метод Симпсона), в которых приближенные формулы для интегралов составляются по некоторому числу значений подынтегральной функции, вычисленных для ряда (обычно равноотстоящих) значений независимой переменной.

1. Метод прямоугольников

интеграл формула математика

Один из способов найти приближенно интеграл заключается в том, чтобы разбить отрезок [a, b] на равные отрезки и построить прямоугольники с отрезками как основаниями и вертикальными боковыми сторонами с длинами равными значениям функции f(x) в одной из точек на каждом из отрезков. Затем следует найти сумму площадей прямоугольников. Она и будет приближенным значением S_прибл площади. Чем меньше отрезки разбиения, тем точнее можно найти площадь. Этот метод приближенного вычисления определенного интеграла называется методом прямоугольников.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y=f(x).И пусть требуется вычислить определенный интеграл

Формулы для приближенного вычисления определённых интегралов проще всего получаются из геометрических соображений. Истолковывая определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , мы и ставим перед собой задачу об определении этой площади. Вычисление проводится путем разбиения отрезка [a, b] на множество меньших отрезков, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок. Разделим отрезок [a, b] точками a=x0, x1, x2, …, xn=b на n равных частей длины ?x:

Обозначим далее через y₀, y₁, y₂, … , y_n-1, y_n значения функции f(x) в точках x₀, x₁, x₂, … , x_n, т. е.

y₀=f (x₀); y1=f(x₁); …; y_n=f (x_n).

Составим суммы:

y₀?x+y₁?x+ … +y_n-1?x,

y₁?x+y₂?x+ … +y_n?x.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке [a, b] и поэтому приближенно выражает интеграл

(1')

Эти формулы называются формулами прямоугольников. Из рисунка ясно, что если функция f(x) - положительная и возрастающая функция, то формула (1) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула (1') - площадь ступенчатой фигуры, состоящих из «выходящих» прямоугольников.

Рис. 1

Если функция f(x) имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную второго порядка, то абсолютная величина погрешности не превосходит числа

, где

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (т. е. чем меньше шаг деления ). Поэтому для вычисления интеграла естественно представить этот интеграл в виде суммы достаточно большого числа n интегралов.

Кроме того, если добавить число R в приближенную формулу, то мы получим точное значение интеграла. И тогда формула примет вид:

Существует и другая интерпретация формулы прямоугольников. Рассмотрим ее.

Пусть функция f(x) также непрерывна на отрезке [a, b], а - некоторые точки отрезка [a, b]. Тогда на этом сегменте найдётся точка такая, что среднее арифметическое

.

В самом деле, обозначим через m и M точные грани функции f(x) на отрезке

[a, b]. Тогда для любого номера k справедливы неравенства . Просуммировав эти неравенства по всем номерам и поделив результат на n, получим

Так как непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, заключённое между m и M, то на отрезке [a, b] найдётся точка такая, что

.

Прежде всего можно опять же разбить всю фигуру (рис. 2) на полоски одной и той же ширины , а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле

(1)

где , а R - дополнительный член. Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры (или - если угодно - определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта формула и называется формулой прямоугольников.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2

На практике обычно берут

;

если соответствующую среднюю ординату

обозначить через , то формула перепишется в виде

.

Для этой формулы также справедливо утверждение, что если функция f(x) имеет на отрезке [a, b] непрерывную вторую производную, то на этом отрезке найдется такая точка , что дополнительный член R в формуле равен:

2. Метод трапеций

Пусть на отрезке [a, b] нам дана та же функция f(x) и пусть требуется вычислить интеграл , который численно представляет собой площадь криволинейной трапеции. Причем функция f(x) также непрерывна на отрезке [a, b]. Для упрощения наших рассуждений будем считать, что ?0.

Если рассмотренную выше кривую y=f(x) заменить не ступенчатой линией, как в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной, то наша криволинейная фигура заменится другой, состоящей из ряда трапеций (рис.3), и мы получим более точное значение определенного интеграла. Тогда, по методу трапеций, площадь криволинейной трапеции aABb заменится суммой площадей прямолинейных трапеций (где основание трапеции какая-либо малая величина), ограниченных сверху хордами AA₁, A₁A₂, … , A_n-1B.

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей точками

a=x₀<x₁<x₂<…<x_n-1<x_n=b



Рис. 3

и с помощью прямых x=x_k (где k=0,1,2…, n) построим n прямолинейных трапеций. Сумма площадей этих трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции aABb. Так как площадь первой из этих трапеций равна, площадь второй равна и т. д., то

,

где y_n-1 и y_n - соответственно основания трапеции, а - их высоты.

Таким образом, получим формулу

которая называется формулой трапеций.

Число n выбирается произвольно. Чем больше будет это число и чем меньше, следовательно, будет шаг тем с большей точностью сумма, написанная в правой части приближенного равенства (2), будет давать значение интеграла.

Примечание:

Если функция f(x) имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную второго порядка f”(x), то абсолютная величина погрешности не превосходит числа R (где R-дополнительный член в формуле трапеций).

, где

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле трапеций, так же как и по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (т. е. чем меньше шаг деления ). Поэтому для вычисления интеграла естественно представить этот интеграл в виде суммы достаточно большого числа n интегралов, применяя к каждому из этих интегралов соответствующие формулы.

Метод парабол

Для приближённого вычисления интеграла функции f(x) используются методы приближённого интегрирования, наиболее употребительные из них основаны на замене интеграла конечной суммой.

Для вычисления промежуток от a(x₀) до b(x_n) разобьем на

четное число равных частей n=2m.Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x₀, x₁] и [x_1, x₂] и ограниченной заданной кривой y=f(x), заменим площадью такой криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки:

M(x₀, y₀); M₁(x₁, y₁); M₂(x₂, y₂),

и имеющей ось, параллельную оси Oy(рис.). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.

Уравнение параболы с осью, параллельной оси Oy, имеет вид

y=Ax²+Bx+C

Коэффициенты A, B и C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.

Рис. 4

Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции Лемма. Если криволинейная трапеция ограничена параболой

y=Ax²+Bx+C,

осью Ox и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь равна

(3)

где y₀ и y₂ - крайние ординаты, а y₁ - ордината кривой в середине отрезка.

Доказательство.

Расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рисунке 5.

Рис. 5

Коэффициенты в уравнении параболы y=Ax²+Bx+C определяются из следующих уравнений:

если x₀=-h, то y₀=Ah²-Bh+C;

если x₁=0, то y₁= C; (4)

если x₂=h, то y₂=Ah²+Bh+C;

Считая коэффициенты A, B, C известными, определим площадь параболической трапеции с помощью определенного интеграла:



Но из равенства (4) следует, что

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Вернемся снова к основной нашей задаче. Пользуясь формулой (3), мы можем написать следующие равенства(h=?x):

……………………………

Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа - его приближенное значение:

 (5)

или

Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления 2m произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части равенства (5) дает значение интеграла.

Замечание

Для того чтобы знать, сколько точек деления надо взять, чтобы подсчитать интеграл с заданной степенью точности, можно воспользоваться формулами оценки погрешности, получающейся при приближенном вычислении интеграла.

Если функция f(x) имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную четвертого порядка f ^\V(x), то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

R=

где

и R- дополнительный член в формуле Симпсона.

Погрешность формулы Симпсона с ростом m уменьшается быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Поэтому формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций.

Для вычисления интеграла , так же как и в методах

прямоугольников и трапеций можно представить этот интеграл в виде суммы n интегралов. Затем, применяя к каждому из этих интегралов соответствующие формулы, можно прийти к формуле Симпсона.

Сравнивая дополнительный член с дополнительными членами в формуле прямоугольников и в формуле трапеций, мы убеждаемся в том, что формула Симпсона дает большую точность, чем формулы прямоугольников и трапеций.

Примеры.

Пример 1. Пользуясь методом трапеций, вычислить приближенно интеграл при n=10.

Разобьем отрезок [0;1] на 10 равных частей точками x₀=0; x₁=0,1; …; x₉=0,9; x₁₀=1 b и вычислим приближенно значения функции в этих точках:

f (0) =1, 0000 f (0,3) =0,7692

f (0,1) =0, 9091 f (0,2) =0,8333 f (0,6) =0, 6250

f (0,4) =0,7143 f (0,5) =0,6667 f (0,9) = 0,5263

f (0,7) =0, 5882 f (0,8) =0,5556 f (1) = 0,5000

Применяя формулу трапеций, получим:

Оценим погрешность полученного результата. Так как

, то , .

На отрезке [0;1] имеем , а значит . Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины

Точное значение данного интеграла легко находим по формуле Ньютона-Лейбница:

Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0, 0007, что находится в соответствии с приведенной выше оценкой погрешности.

Пример 2. Пусть требуется вычислить интеграл по формуле прямоугольников

По формуле Ньютона-Лейбница, получим

Теперь применим формулу прямоугольников

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Сумма .

Таким образом,

.

В данном примере неточности в вычислениях нет. А значит, для данной функции формула прямоугольников позволила точно вычислить определённый интеграл.

Пример 3.

Вычислить приближенно интеграл по формуле Симпсона при 2m=4.

Разобьем отрезок [0,1] на четыре равных части точками

x₀=0; x₁=0,25; x₂=0,50; x₃=0,75; x₄=1

и вычислим приближенно значения функции в этих точках:

y₀=1, 0000; y₁=0, 8000; y₂=0, 6662; y₃=0, 5714; y₄=0, 5000.

По формуле Симпсона находим

Оценим погрешность полученного результата. Подынтегральная функция имеет производную четвертого порядка для которой получаем

Погрешность результата не превосходит величины . Сравнивая приближенное значение интеграла с точным, приходим к выводу, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,0001, что и соответствует полученной выше оценке погрешности.

Этот пример показывает, что формула Симпсона дает более точные приближенные значения определенных интегралов, чем формула трапеций.

Пример 4.

Вычислить приближенно

Разделим отрезок [1, 2] на 10 равных частей. Полагая

найдем значения подынтегральной функции :

x₀=1,0 y₀=1,00000 x₆=1,6 y₆=0,62500

x₁=1,1 y₁=0,90909 x₇=1,7 y₇=0,58824

x₂=1,2 y₂=0,83333 x₈=1,8 y₈=0,55556

x₃=1,3 y₃=0,76923 x₉ =1,9 y₉=0,52632

x₄ =1,4 y₄=0,71429 x₁₀ =2,0 y₁₀=0,50000

x₅=1,5 y₅=0,66667

1.По первой формуле прямоугольников (1) получаем:

По второй формуле прямоугольников(1') получим:

Непосредственно из рисунка следует, что в данном случае первая формула дает значение интеграла с избытком, вторая- с недостатком.

2.По формуле трапеций (2) получим:

3.По формуле Симпсона имеем:

В действительности ( с точностью до седьмого знака).

Таким образом, при разбиении отрезка [0, 1] на 10 частей по формуле Симпсона мы получили пять верных знаков; по формуле трапеций - лишь три верных знака; по формуле прямоугольников мы можем ручаться только за первый знак.

Пример 5.

Вычислить интеграл методом Симпсона.

Полагая и вычисляя производную , без труда убедимся в том, что для всех x из отрезка во всяком случае Исходя из оценки , можем утверждать, что .

Стало быть, разбив отрезок [0, x₀] всего на пять равных частей и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислим этот интеграл с точностью до

Заключение

Каждый из изложенных в моей работе методов вычисления определенных интегралов содержит четко сформулированный алгоритм для проведения вычислений. Другой особенностью изложенных методов является стереотипность тех вычислительных операций, которые приходится проводить на каждом отдельном шаге. Эти две особенности обеспечивают широкое применение изложенных методов для проведения вычислений на современных вычислительных машинах.

Выше для приближенного вычисления интеграла мы исходили из разбиения основного отрезка [a, b] на достаточно большое число n равных отрезков одинаковой длины и из последующей замены функции f(x) на каждом отрезке многочленом соответственно нулевого, первого или второго порядка.

Погрешность, возникающая при таком подходе, никак не учитывает индивидуальных свойств функции f(x). Поэтому, естественно, возникает идея о варьировании точек разбиения основного отрезка [a, b] и выборе для каждой фиксированной функции f(x) такого оптимального разбиения основного отрезка на n, вообще говоря, не равных друг другу частичных отрезков, которое обеспечивало бы минимальную величину погрешности данной приближенной формулы.

Размещено на Allbest.ru