Матричный анализ

Размещено на http:\\www.allbest.ru\

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО Уральский государственный экономический университет

Контрольная работа

по дисциплине «Линейная алгебра»

Вариант-7



Задание 1

Вычислить сумму матриц kA+mB, если

А=, В=

K=-4, m=5

Решение:

Элементы матрицы суммы определяются по формуле:

cij=kaij+mbij.

Вычислим элементы первой строки матрицы суммы:

С11=-4_*2+5_*3=7

С12=-4_*(-1)+5_*7=39

С13=-4_*4+5_*(-2)=-26

С21=-4_*6+5_*9=21

С22=-4_*3+5_*1=-7

С23=-4_*0+5_*6=30

С31=-4_*(-7)+5_*(-4)=8

С32=-4_*5+5_*8=20

С33=-4_*9+5_*5=-11

Таким образом, матрица суммы примет вид:

С=



Задание 2

Вычислить обратную матрицу и сделать проверку.

А=

Используем алгоритм нахождения обратной матрицы:

1.Матрица квадратная (число строк равно числу столбцов), следовательно, обратная к ней матрица существует.

2.Находим определитель исходной матрицы:

?А=-3_*3_*3+1_*(-5)_*1+0_*(-4)_*3-1_*3_*3-(-4)_*1_*3-0_*(-5)_*(-3)=-29 ? 0

3. Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:

А11=(-1)²_*3_*3-0_*(-5)=-9

А12=(-1)³_*-4_*3-1_*(-5)=7

А13=(-1)⁴_*-4_*0-1_*3=-3

А21=(-1)³_*1_*3-0_*3=-3

А22=(-1)⁴_*-3_*3-1_*3=-12

А23=(-1)⁵_*-3_*0-1_*1=1

А31=(-1)⁴_*1_*(-5)-3_*3=-14

А32=(-1)⁵_*-3_*(-5)-(-4)_*3=-27

А33=(-1)⁶_*-3_*3-(-4)_*1=-5

Таким образом, получаем матрицу:

4.Полученную матрицу транспонируем:

^т=

5.Последнюю матрицу делим на определитель исходной матрицы и получаемобратную матрицу:

А^-1=- -=

6.Осуществляем проверку полученного результата. Для этого находим произведение полученной матрицы на исходную:

А^-1_.*А=А_*А^-1=*= ==

Таким образом, получили в результате единичную матрицу. Следовательно, обратная матрица была найдена, верно.



Задание 3

Решить систему линейных уравнений методом Крамера, Гаусса.

Решение:

1)Решить систему методом Крамера.

Составляем матрицу системы:

Вычисляем определитель этой матрицы:

?==0_*(-8)_*4+3_*2_*(-5)+7_*2_*9-9_*(-8)_*(-5)-3_*7_*4-0_*2_*2=-348?0

Находим определители ?1, ?2, ?3, получающиеся из исходного определителя заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцомсвободных членов:

?1==2_*(-8)_*4+3_*2_*(-3)+9_*5_*2-9_*(-8)_*(-3)-3_*5_*4-2_*2_*2=-276

?2==0_*5_*4+2_*2_*(-5)+9_*7_*(-3)-9_*5_*(-5)-2_*7_*2-0_*2_*(-3)=- 40

?3==0_*(-8)_*(-3)+3_*5_*(-5)+2_*7_*2-2_*(-8)_*(-5)-3_*7_*(-3)-0_*5_*2=- 64

Теперь используя формулы Крамера



х1=, х2=, х3=_,

находим решение системы:

Х1==,=0,79 х2==,=0,11 х3===0,18

2) Решим систему методом Гаусса.

Составляем расширенную матрицу системы, в которую входят коэффициенты при переменных и свободные члены:

Умножим 2-ую строку на (5). Умножим 3-юу строку на (7). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (26). Умножим 2-ую строку на (3). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Из 1-ой строки выражаем x₃

Х₃==0,18

Из 2-ой строки выражаем x₂

-26х₂=- +4=0,11

Из 3-ой строки выражаем x₁

-5х₁=-2_*0,11- - 3=0,79



Задание 4

матрица определитель линейный крамер гаусс

Вычислить определитель 4-го порядка

А=

Решение:

Запишем разложение определителя по четвертой строке:

?А==0_*А₄₁+3_*А₄₂+0_*А₄₃+1_*А₄₄

где Aij - алгебраическое дополнение элемента ij a .

Найдем алгебраические дополнения по формуле А_ij=(-1)^i+j, где m_ij- минор элемента ij a, который получается из исходного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

А₄₂=(-1)⁴⁺²_*m₄₂=(-1)⁶_* =4_*7_*(-9)+7_*(-7)_*0+1_*(-1)_*0 - 0_*7_*0 - 7_*1_*(-9) - 4_* (-7)_*(-1)=-217

А₄₄=(-1)⁴⁺⁴_*m₄₄=(-1)⁸_* =4_*(-3)_*(-1)+0_*7_*0+1_* 1_*7-7_*(-3)_*0-0_*1_*(-1)-4_*7_*1=-9

Подставляем полученные значения в разложение определителя:

=3_*А₄₂+А₄₄=3_*(-217)+(-9)=-660



Задание 5

матрица обратный определитель линейный крамер гаусс

Самостоятельно, по аналогии с примером, составить задачу с экономическим содержанием, построить математическую модель экономического процесса, и решить поставленную задачу.

Задача.

Затраты трех видов сырья А, B, C на производство единицы каждого из трех типов продукции I, II, III и запасы каждого вида сырья заданы в таблице (Таблица 1):

Таблица 1

Продукция Вид сырья	I	II	III	Запасы сырья
A	2	3	1	245
B	1	2	4	130
C	3	4	2	270

Требуется определить план производства, обеспечивающий использование всего сырья.

Запишем систему линейных уравнений, используя данные, приведенные в таблице:

где - объемы выпускаемой продукции каждого вида.

Решение:

Для решения воспользуемся методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₃ = 290/(-4)

x₂ = [320 - (10x₃)]/2

x₁ = [70 - (4x₂ + 2x₃)]/3

Из 1-ой строки выражаем x₃

Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 3-ой строки выражаем x₁

Размещено на allbest.ru