Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области

«Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Филиал «Котельники»

Кафедра «Естественных и гуманитарных наук»

Контрольная работа

По дисциплине: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Тема работы: Применение модели межотраслевого баланса Леонтьева для управления экономикой (Самарская область)

Выполнил:

Кашимов В.Ю.

Проверила:

Орлова Е.Ю.

Котельники - 2007

Введение

уравнение леонтьев линейный

Контрольная работа завершает процесс изучения дисциплины «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Это работа носит учебно-расчетный характер, представляет собой детальную разработку темы «Модель межотраслевого баланса Леонтьева» с анализом получаемых в процессе решения результатов. Практическое применение матричных моделей в экономическом анализе и управлении является основной целью данной работы.

Основными задачами работы являются:

· выработка у студентов навыков проведения самостоятельной творческой работы,

· расширение теоретических знаний по математике и ее применению в экономических исследованиях,

· приобретение практических навыков использования моделей матричного исчисления для решения экономических задач и задач управления,

· проведение анализа исходной и получаемой статистической информации по экономике регионов,

· оценка выбора управленческих решений для моделирования экономической ситуации.

Задача №1

Заполнить выбранными характеристиками (название региона, А1, А2, А3,=7, =8, =9) таблицу 1:

Таблица 1. Имеются исходные данные об исполнении баланса за 2005 год в городе N (в условных денежных единицах):

Отрасль производства	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
	А1	А2	А3
А1	300	320	200	280	1100
А2	130	480	270	70	950
А3	480	360	200	300	1340

Составить балансовые уравнения модели и определить потоки средств производства по отраслям. Оценить имеющийся вклад отраслей в суммарный конечный продукт региона.

Найти технологическую матрицу коэффициентов прямых затрат А.

Исследовать матрицу А на продуктивность и найти матрицу коэффициентов полных затрат В. Сделать вывод о существовании решения в матричной модели Леонтьева.

Найти величины конечного продукта отдельно по всем отраслям и в целом по региону, если в его структуре предполагаются следующие изменения:

Вариант 1: конечный продукт в отрасли А1 увеличится на 90, в отрасли А2 снизится на 15%, в отрасли А3 увеличится в 1,2 раза,

Вариант 2: конечный продукт в отрасли А1 снизится на 9%, в отрасли А2 увеличится на 10%, в отрасли А3 увеличится на 24,

Вариант 3: конечный продукт в отрасли А1 увеличится в 1,3 раза, в отрасли А2 увеличится на 102, в отрасли А3 снизится на 7%.

Проанализировать полученный объем денежных средств для потребления вне сферы материального производства в целом и по структуре (отдельно по отраслям).

Найти необходимый объем валового выпуска каждой отрасли для каждого из вариантов изменения конечного продукта и оценить преимущества выбора одного из вариантов перед остальными.

Задача №2

Заполнить выбранными характеристиками (название региона, А1, А2, А3, А4, А5,, , ) таблицу 1:

Таблица 2. Имеются исходные данные об исполнении баланса за 2005 год в городе N (в условных денежных единицах):

Отрасль производства	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
	А1	А2	А3	А4	А5
А1	320	160	200	300	250	120	1350
А2	150	280	230	210	300	90	1260
А3	280	180	200	150	250	170	1230
А4	200	300	210	210	220	190	1330
А5	120	250	240	200	240	240	1290

Составить балансовые уравнения модели и определить потоки средств производства по отраслям. Оценить имеющийся вклад отраслей в суммарный конечный продукт региона.

Найти технологическую матрицу коэффициентов прямых затрат А.

Исследовать матрицу А на продуктивность и найти матрицу коэффициентов полных затрат В (использовать для решения). Сделать вывод о существовании решения в матричной модели Леонтьева.

Найти величины конечного продукта отдельно по всем отраслям и в целом по региону, если в его структуре предполагаются следующие изменения:

Вариант 1: конечный продукт в отрасли А1 увеличится на 90, в отрасли А2 снизится на 15%, в отрасли А3 увеличится в 1,2 раза, в отрасли А4 останется без изменения, в отрасли А5 снизится на 105,

Вариант 2: конечный продукт в отрасли А1 снизится на 9%, в отрасли А2 увеличится на 10%, в отрасли А3 не изменится, в отрасли А4 увеличится на 24, в отрасли А5 снизится на 80,

Вариант 3: конечный продукт в отрасли А1 увеличится в 1,3 раза, в отрасли А2 не изменится, в отрасли А3 увеличится на 102, в отрасли А4 снизится на 7%, в отрасли А5 увеличится на 8%.

Проанализировать полученный объем денежных средств для потребления вне сферы материального производства в целом и по структуре (отдельно по отраслям).

Найти необходимый объем валового выпуска каждой отрасли для каждого из вариантов изменения конечного продукта и оценить преимущества выбора одного из вариантов перед остальными.

Решение:

1) по условию

.

Балансовые уравнения модели:

300+320+200+280=1100

130+480+270+70=950

480+360+200+300=1340

Следовательно, определены следующие потоки средств производства:

320 у.е. - из отрасли А1 в отрасль А2

200 у.е. - из отрасли А1 в отрасль А3

130 у.е. - из отрасли А2 в отрасль А1

270 у.е. - из отрасли А2 в отрасль А3

480 у.е. - из отрасли А3 в отрасль А1

360 у.е.- из отрасли А3 в отрасль А2

По формуле

получим

.

Таким образом, матрица прямых затрат имеет вид

.

Матрица полных затрат . Для этого прежде всего найдем матрицу

и ее

определитель

.

Так как матрица невырожденная, то у нее существует обратная.

.

Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы :

- матрица полных затрат.

По условию, в отчетном периоде величины конечного продукта составляли:

(условных единиц).

Вариант 1

Если конечный продукт в отрасли А1 увеличится на 90, то его новое значение будет

у. е.

Если конечный продукт в отрасли А2 уменьшится на 15%, то его новое значение составит

у. е.

Аналогично,

у. е.

Тогда вектор конечного продукта будет иметь вид

,

а необходимый для этого валовой выпуск по модели Леонтьева

Следовательно, валовой выпуск отрасли А1 должен составить 1360,8 условных денежных единиц (увеличится на 23,7%), А2 - 1118,8 у.е. (увеличится на 17,8%), А3 - 1986 у.е. (увеличится на 48,2%).

Вариант 2

Если конечный продукт в отрасли А1 снизится на 9%, то его новое значение будет

у. е.

Если конечный продукт в отрасли А2 увеличится на 10%, то его новое значение составит

у. е.

Аналогично,

у. е.

Тогда вектор конечного продукта будет иметь вид

,

а необходимый для этого валовой выпуск по модели Леонтьева

Следовательно, валовой выпуск отрасли А1 должен составить 1097,8 условных денежных единиц (снизится на 0,2%), А2 - 994,0 у.е. (увеличится на 4,6%), А3 - 2011,2 у.е. (увеличится на 50%).

Вариант 3

Если конечный продукт в отрасли А1 увеличится в 1,3 раза, то его новое значение будет

у. е.

Если конечный продукт в отрасли А2 увеличится на 102, то его новое значение составит

у. е.

Аналогично,

у. е.

Тогда вектор конечного продукта будет иметь вид

,

а необходимый для этого валовой выпуск по модели Леонтьева

Следовательно, валовой выпуск отрасли А1 должен составить 1536,3 условных денежных единиц (увеличится на 52,5%), А2 - 1449,2 у.е. (увеличится на 4,6%), А3 - 2652,8 у.е. (увеличится на 98%).

Задача №2

Балансовые уравнения задачи:

320+160+200+300+250+120=1350

150+280+230+210+300+90=1260

280+180+200+150+250+170=1230

200+300+210+210+220+190=1330

120+250+240+200+240+240=1290

Следовательно, определены следующие потоки средств производства:

160 у.е. - из отрасли А1 в отрасль А2

200 у.е. - из отрасли А1 в отрасль А3

300 у.е. - из отрасли А1 в отрасль А4

250 у.е. - из отрасли А1 в отрасль А5

150 у.е. - из отрасли А2 в отрасль А1

230 у.е.- из отрасли А2 в отрасль А3…

По формуле

получим

.

Таким образом, матрица прямых затрат имеет вид

.

Матрица полных затрат . Для этого прежде всего найдем матрицу

и ее определитель

Литература

1. Высшая математика для экономистов: Учебн. пособие для вузов /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2003.- 471 с.

2. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие / Под науч. Ред. Проф. Б.А. Суслакова. - М.: Издательско-торговая корпорация “Дашков и К”, 2004.- 352 с.

3. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 2002.- 656с. - (Серия “Высшее образование”).

4. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. - М.: ИНФРА-М, 2002. - 352 с. - (Серия “Высшее образование”).

5. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. - М. МГУ им. М.В.Ломоносова, Издательство “ДИС”, 2004. - 368 с.

6. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. - М.: ИНФРА-М, 1997. - 208 с. - (Серия “Высшее образование”).

7. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998.- 240 с.

8. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. - 3-е издание, переработанное и дополненное. - М.: Дело, 2002. - 704с.

9. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. - 3-е издание, испр. - М.: Дело, 2002. - 688 с.

Приложение 1

Модель межотраслевого баланса Леонтьева

Рассмотрим n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Обозначим - валовой выпуск продукции отрасли i, продукция каждой отрасли потребляется в данной отрасли и во всех других отраслях экономики (в противном случае соответствующее значение переменной равно нулю), часть продукции потребляется вне сферы материального производства и называется конечным продуктом. Обозначим - поток материальных средств из отрасли i в отрасль j или величина продукта, произведенного в отрасли i, потребляемого в отрасли j, - величина конечного продукта отрасли i или средства, отчисляемые в бюджет. Тогда производство и потребление продукции каждой отрасли может быть записано в виде

или для всех отраслей экономики региона в виде системы уравнений

Построенная система линейных уравнений носит название системы балансовых уравнений, т.к. определяет объемы произведенной и потребляемой продукции по отраслям.

Величина называется коэффициентом прямых затрат и определяет долю продукции отрасли i, которая потребляется в отрасли j. Тогда и систему межотраслевого баланса можно представить в виде системы линейных уравнений

Обозначим матрицы

и рассмотрим матричное уравнение (1.5.3), соответствующее системе (1.5.2)

,

в котором матрица (вектор) Х называется вектором валового выпуска по отраслям, матрица А называется матрицей прямых затрат или технологической матрицей, матрица (вектор) Y называется вектором конечного продукта. Матричное уравнение (1.5.3) носит название модели межотраслевого баланса Леонтьева и позволяет решать задачи трех видов:

1) по известным величинам валового выпуска продукции отраслей Х и технологической матрице А можно вычислить величину конечного продукта Y:

из модели

где Е - единичная матрица. Следовательно,

2) по заданным величинам конечного продукта Y и технологической матрице А можно определить необходимый выпуск продукции Х:

из модели

Следовательно,

3) по известным величинам валового выпуска некоторых отраслей , заданным значениям конечного продукта других отраслей и матрице прямых затрат А можно определить конечный продукт первых отраслей и валовой выпуск вторых, используя модель Леонтьева в виде системы уравнений.

Матрица называется матрицей полных затрат, так как каждый ее элемент - величина валового выпуска отрасли , необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта отрасли .

Матрица называется продуктивной, то есть существует решение в модели Леонтьева, если найдется такой вектор (матрица) , что .

Критерий продуктивности. Для того, чтобы матрица прямых затрат была продуктивной необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

1) существует обратная матрица , все элементы которой неотрицательны,

2) матричный ряд сходится, причем его сумма равна ,

3) наибольшее по модулю собственное значение матрицы , то есть решение характеристического уравнения , было строго меньше единицы,

4) все главные миноры матрицы положительны.

Приложение 2

Применение модели межотраслевого баланса Леонтьева для управления экономикой региона

Пример. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (в условных денежных единицах):

Отрасль производства	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
	Энергетика	Машиностроение	Нефтехимия
Энергетика	120	210	200	70	600
Машиностроение	240	140	50	270	700
Нефтехимия	60	210	200	30	500

1. Составить балансовые уравнения модели и определить потоки средств производства по отраслям. Оценить имеющийся вклад отраслей в суммарный конечный продукт региона.

2. Определить технологическую матрицу прямых затрат А.

3. Исследовать матрицу А на продуктивность и найти матрицу коэффициентов полных затрат В. Сделать вывод о существовании решения в матричной модели Леонтьева.

4. Найти необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт в энергетике увеличится в 2 раза, в машиностроении - уменьшится на 20%, в нефтехимии - увеличится на 30%.

Решение:

1) по условию

,

.

По формуле



получим систему балансовых уравнений региона

Очевидно, что суммарный конечный продукт в регионе равен (условных денежных единиц), а наибольший вклад в размере 72,97% от общего объема составляет конечный продукт машиностроительной отрасли.

2) По формуле

получим

.

Таким образом, матрица прямых затрат имеет вид

.

3) Для исследования матрицы на продуктивность, воспользуемся критерием продуктивности. Среди всех указанных условий, выберем условие существования обратной матрицы . Для этого прежде всего найдем матрицу

 и ее определитель

.

Так как матрица невырожденная, то у нее существует обратная

Следовательно, выполнен критерий продуктивности (его первое условие), матрица продуктивна, а модель Леонтьева имеет решение.

Вычислим матрицу полных затрат . Для этого найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы :

- матрица полных затрат.

4) По условию, в отчетном периоде величины конечного продукта составляли:

(условных единиц).

Если конечный продукт в энергетике увеличится в 2 раза, то его новое значение будет

у. е.

Если конечный продукт в машиностроении уменьшится на 20%, то его новое значение составит

у. е.

Аналогично,

у. е.

Тогда вектор конечного продукта будет иметь вид

,

а необходимый для этого валовой выпуск по модели Леонтьева

Следовательно, валовой выпуск энергетики должен составить 689,881 условных денежных единиц (увеличится на 14, 98%), машиностроения - 680,005 у.е. (снизится на 2,86%), нефтехимии - 520,055 у.е. (увеличится на 4,01%).

Приложение 3

Вычисление обратной матрицы с использованием ППП Excel

Для вычисления обратной матрицы к матрице М необходимо помнить, что обратная матрица может быть найдена только для квадратных (с равным числом строк и столбцов), невырожденных (определитель отличен от нуля) матриц. Для этого необходимо использовать пакет прикладных программ Microsoft Excel и выполнить следующие действия:

1. Занести элементы матрицы М в клетки листа Книги Excel. Количество строк должно совпадать с количеством столбцов, пустых клеток быть не должно.

2. Выбрать произвольную клетку, не содержащую элементы матрицы, поставить знак = и обратиться к МАСТЕРУ ФУНКЦИЙ нажатием символа на верхней панели инструментов.

3. С помощью подсказок МАСТЕРА ФУНКЦИЙ следует выбрать КАТЕГОРИЮ функций - математические и среди них - функцию нахождения определителя матриц - МОПРЕД.

4. На следующем шаге определяются аргументы используемой функции, для этого после слова МАССИВ необходимо добавить размеры матрицы, выделяя с помощью мышки клетки, которые матрица занимает.

5. Нажатием клавиши ОК завершается процесс вычисления определителя матрицы. Его значение помещается в выделенную для функции клетку. Если полученное значение отлично от нуля, то матрица называется невырожденной и можно вычислить обратную к ней.

6. Выбрать произвольную клетку, не содержащую элементы матрицы, поставить знак = и обратиться к МАСТЕРУ ФУНКЦИЙ нажатием символа на верхней панели инструментов.

7. С помощью подсказок МАСТЕРА ФУНКЦИЙ следует выбрать КАТЕГОРИЮ функций - математические и среди них - функцию нахождения обратной матрицы - МОБР.

8. На следующем шаге определяются аргументы используемой функции, для этого после слова МАССИВ необходимо добавить размеры матрицы, выделяя с помощью мышки клетки, которые матрица занимает.

9. Нажатием клавиши ОК завершается процесс вычисления обратной матрицы, ее элементы хранятся в памяти компьютера.

10. Для изображения матрицы на листе Книги Excel необходимо выделить диапазон клеток (размерность обратной матрицы совпадает с рамерностью исходной матрицы), начиная с ячейки, содержащей формулу (=МОБР(,)).

11. Нажать клавишу F2.

12. Нажать одновременно клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. В выделенных клетках будут представлены элементы обратной матрицы.

Размещено на Allbest.ru