Анализ, разложение Тейлора и безусловная минимизация

Размещено на http://www.allbest.ru/

Анализ, разложение Тейлора и безусловная минимизация

Проанализировать функцию F (x, y)= 2x³ + 4xy³ - 10xy + y² на экстремум, и показать линии уровня этой функции, охватив на рисунке окрестность всех стационарных точек

Исследование на экстремум исходную функцию f (x, y)Обозначим исходную функцию как

Частные производные первого и второго порядков:

Воспользуемся пакетом MathCAD и встроенными функциями оптимизации, чтобы найти экстремумы функции:

Для этой же функции F (x, y) найдите разложение Тейлора ft (x, y) до квадратичного члена включительно в окрестности двух точек (x₀, y₀)₁ =(0.5; 0.5)^T, (x₀, y₀)₂ =(-1.5; 0.75)^T.

Определим критические точки, за начальную точку возьмём

- точка минимума

Теперь за начальную точку возьмём

- точка максимума

Нахождение коэффициентов разложения Тейлора. Проверка аналитических преобразований.

Исходная функция

Запишем ряд Тейлора в матричной форме:

Выбираем точку разложения, получаем:

F (x, y) = 0.558

Это является прямым подтверждением правильности аналитических преобразований.

Разложение Тейлора в окрестности точки (0. 5,0.5)

экстремум функция тейлор разложение

Найдём аналитическое выражение вектор-градиента исходной функции:

Аналитическое выражение для матрицы Гёссе:

Значение матрицы в точке (0. 5,0.5):

Т.е. в точке разложения:

Из матричного выражения ряда Тейлора вычислим искомые коэффициенты:

Исследуем полученное разложение на экстремум

(1. 198,1.06) - стационарная точка. Проанализировав матрицу Гёссе, определяем, что это точка минимума.

Найдём аналитическое выражение вектор-градиента исходной функции:

Аналитическое выражение для матрицы Гёссе:

Значение матрицы в точке (1, - 0.2):

Из матричного выражения ряда Тейлора вычислим искомые коэффициенты:

(0.06, - 0.546) - стационарная точка. Проанализировав матрицу Гёссе (знаконеопределена), определяем, что это точка является седловой.

Из начальной точки (x₀, y₀)₁ вычислите минимум F (x, y) и ее разложения Тейлора методами Коши и Ньютона. Покажите на фоне линий уровня траектории поиска.

Минимизация методом Коши исходной функции в окрестности точки (0. 5,0.5).

Исходная функция

Градиент в начальной точке:

Параметр шага Коши в начальной точке определяется в результате минимизации следующей одномерной функции:

определим минимум графически:

формулы Коши для определения следующей точки поиска минимума:

координаты шага Коши:

Минимизация методом Ньютона исходной функции в окрестности точки (0. 5,0.5).

Составляющие алгоритма Ньютона:

Алгоритм Ньютона в матричной форме:

-точка минимума

Минимизация методом Коши для разложения ft (x, y) в окрестности точки (0. 5,0.5)

Исходная функция

Градиент в начальной точке:

Параметр шага Коши в начальной точке определяется в результате минимизации следующей одномерной функции:

Минимизация методом Ньютона для функции ft (x, y) в окрестности точки (0. 5,0.5)

Составляющие алгоритма Ньютона:

Алгоритм Ньютона в матричной форме

- точка минимума

Минимизация методом Коши для исходной функции в окрестности второй точки (-1. 5,0.75).

Градиент в начальной точке:

Параметр шага Коши в начальной точке определяется в результате минимизации следующей одномерной функции:

формулы Коши для определения следующей точки поиска минимума:

Минимизация методом Ньютона исходной функции в окрестности точки (-1. 5,0.75)

Составляющие алгоритма Ньютона:

Алгоритм Ньютона в матричной форме:

Минимизация методом Коши для разложения ft (x, y) в окрестности точки (-1. 5,0.75)

Исходная функция

Градиент в начальной точке:

Параметр шага Коши в начальной точке определяется в результате минимизации следующей одномерной функции:

Минимизация методом Ньютона для функции ft (x, y) в окрестности точки (-1. 5,0.75)

Составляющие алгоритма Ньютона:

Алгоритм Ньютона в матричной форме

- точка минимума

Размещено на Allbest.ru