Размещено на http://www.allbest.ru/

1. История возникновения геометрии

Заглянем в прошлое, когда зародилась наука геометрия… Для первобытных людей важную роль играла форма окружающих их предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, которые имеют форму шара. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими формами. Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Специальных названий для геометрических фигур, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т.д. А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна. Сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась. Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки. И заметили, что перекатка проще, если взять кусок дерева с почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Так люди познакомились с одним из важнейших тел - цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки. Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные стволы весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо.

Но не только в процессе работы знакомились люди с геометрическим фигурами. Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище (бусинки, браслеты, кольца, украшения из драгоценных камней и металлов, роспись дворцов). Для того, чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы. Так практическая деятельность людей привела к дальнейшему углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и площади, и объемы, и длины и т.д.

Древние египтяне были замечательными инженерами. До сих пор не могут до конца разгадать загадки огромных гробниц Египетских царей - Фараонов.

Пирамиды - а они построены более 5 тыс. лет назад - состоят из каменных блоков весом 15 тонн, и эти «кирпичики» так подогнаны друг к другу, что не возможно между ними протиснуть и почтовую открытку. А при строительстве использовали лишь простейшие механизмы - рычаги и катки.

«Все боится времени, но само время боится пирамид».

В Вавилоне при раскопках ученые обнаружили остатки каменных стен, высотой в несколько десятков метров, а высота Вавилонской башни достигает 82 метра.

Без математических знаний все эти сооружения невозможно было бы построить. И все же математические знания египтян и вавилонян были разрозненные и представляли собой свод правил, проверенных практикой, поэтому правила надо было зазубривать, не понимая, почему надо применять то, а не другое.

Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: «Не знающие геометрии не допускаются!»

Настает время привести все разрозненные знания в систему.

Геометрия… откуда взялось это слово? Что оно означает? Попробуем разгадать его смысл. Ведь вам постоянно встречаются похожие слова: география, геология, геодезия… а есть еще геоботаника и т.п. это все названия различных наук или разделов наук. Со смыслом слова география вы уже знакомы. «Гео» означает «Земля», «метр» - это единица измерения длины (от греческого слова «метрео» - «измеряю». Таким образом, получается, что геометрия в переводе с греческого означает «измерение земли» или «землемерие».

«Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Нет ничего удивительного в том, что эта наука как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом рассмотрения и наконец, делается достоянием разума». Эти замечательные слова приписывают греческому ученому Евдему Родосскому, жившему в IV в.до н.э. В «Энциклопедическом словаре юного математика» написано: «Геометрия - одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до н.э.), а также в других источниках». И наиболее удачно была изложена геометрия, как наука о свойствах геометрических фигур, греческим ученым Евклидом (III в. до н.э.) в своих книгах «Начала». Евклид жил в Александрии, был современником царя Птолемея I и учеником Платона. Славу Евклиду создал его собирательный труд «Начала». Произведение состояло из 13 томов, описанная в этих книгах геометрия получила название Евклидова. Величайшая заслуга его состояла в том, что он подвел итог построению геометрии придал ее изложению столь совершенную форму, что на 2 тысячи лет «Начала» стали основным руководством по геометрии. В течение многих веков «Начала» были единственной учебной книгой, по которым молодежь изучала геометрию. Были и другие. Но лучшими признавались «Начала» Евклида. И даже сейчас, в наше время, учебники написаны под большим влиянием «Начал» Евклида.
Конечно, геометрия не может быть создана одним ученым. В работе Евклид опирался на труды десятков предшественников и дополнил работу своими открытиями и изысканиями. Сотни раз книги были переписаны от руки, а когда изобрели книгопечатание, то она много раз переиздавалась на языках всех народов и стала одной из самых распространенных книг в мире.

В одной легенде говорится, что однажды египетский царь Птолемей I спросил древнегреческого математика, нет ли более короткого пути для понимания геометрии, чем тот, который описан в его знаменитом труде, содержащемся в 13 книгах. Ученый гордо ответил: «В геометрии нет царской дороги».

2. Возникновение тригонометрии

Тригонометрия возникла как аппарат для вычисления неизвестных параметров треугольника по заданным значениям других его параметров.

Так, методами тригонометрии по данным сторонам треугольника можно вычислить его углы, по известной площади и двум углам вычислить стороны и т.д. Необходимость отыскивать неизвестные параметры данного треугольника впервые возникла в астрономии, и в течение долгого времени тригонометрия была одним из разделов астрономии.

Первые методы нахождения неизвестных параметров данного треугольника были развиты учеными Древней Греции за несколько веков до новой эры.

Греческие астрономы не рассматривали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они составили и использовали таблицы, позволяющие отыскивать хорду окружности по стягиваемой ею дуге.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в средние века в работах индийских и арабских ученых.

Современные буквенные обозначения появились в тригонометрии в середине XVIII века. Приблизительно в то же время в тригонометрии стали рассматриваться радианные меры углов, были введены тригонометрические и обратные тригонометрические функции числового аргумента, после чего тригонометрия приобрела свой современный вид.

3. История жизни знаменитых геометров

Теорема Пифагора

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Даже те, кто в своей жизни далек от математики, продолжают сохранять воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора ясна: это простота - красота - значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Противоречие двух начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение. Она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Существует около пятисот различных доказательств этой теоремы, что свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализации. Исторические исследования датируют появление на свет Пифагора приблизительно 580 годом до нашей эры. Счастливый отец Мнесарх окружает мальчика заботами. Возможности дать сыну хорошее воспитание и образование у него были. Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из «Одиссеи» и «Илиады». Первый учитель прививал юному Пифагору любовь к природе и ее тайнам. Прошло несколько лет, и по совету своего учителя Пифагор решает продолжить образование в Египте. При помощи учителя Пифагору удается покинуть остров Самос. Но пока до Египта далеко. Он живет на острове Лесбос у своего родственника Зоила. Там происходит знакомство Пифагора с философом Ферекидом - другом Фалеса Милетского. У Ферекида Пифагор учится астрологии, предсказанию затмений, тайнам чисел, медицине и другим обязательным для того времени наукам. Затем в Милете он слушает лекции Фалеса и его молодого коллеги и ученика Анаксимандра, выдающегося географа и астронома. Много важных знаний приобрел Пифагор за время своего пребывания в Милетской школе. Перед Египтом он на некоторое время останавливается в Финикии, где, по преданию, учится у знаменитых сидонских жрецов. Учеба Пифагора в Египте способствует тому, что он сделался одним из самых образованных людей своего времени. Здесь же Пифагор попадает в персидский плен. Согласно старинным легендам, в плену в Вавилоне Пифагор встречался с персидскими магами, приобщился к восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейских мудрецов. Халдеи познакомили Пифагора со знаниями, накопленными восточными народами в течение многих веков: астрономией и астрологией, медициной и арифметикой. Двенадцать лет пробыл в вавилонском плену Пифагор, пока его не освободил персидский царь Дарий Гистасп, прослышавший о знаменитом греке. Пифагору уже шестьдесят, он решает вернуться на родину, чтобы приобщить к накопленным знаниям свой народ. С тех пор как Пифагор покинул Грецию, там произошли большие изменения. Лучшие умы, спасаясь от персидского ига, перебрались в Южную Италию, которую тогда называли Великой Грецией, и основали там города-колонии Сиракузы, Агригент, Кротон. Здесь и задумывает Пифагор создать собственную философскую школу. Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Пифагор умело использует знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую «пифагорейскую гамму» и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи «гармонии мира» и «музыки сфер», впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора. Многое сделал ученый и в геометрии. Прокл так оценивал вклад греческого ученого в геометрию: «Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел». В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически - как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию. Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. С рождением же математики зарождается и наука вообще, ибо «ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» (Леонардо да Винчи).

Так вот, заслуга Пифагора и состояла в том, что он, по-видимому, первым пришел к следующей мысли: в геометрии, во-первых, должны рассматриваться абстрактные идеальные объекты, и, во-вторых, свойства этих идеальных объектов должны устанавливаться не с помощью измерений на конечном числе объектов, а с помощью рассуждений, справедливых для бесконечного числа объектов. Эта цепочка рассуждений, которая с помощью законов логики сводит неочевидные утверждения к известным или очевидным истинам, и есть математическое доказательство. Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение 1 книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики. Михаил Ломоносов по этому поводу писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось». А.В. Волошинов в своей книге о Пифагоре отмечает: «И хотя сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета I (около 2000 года до нашей эры), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII веке до нашей эры), и в древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь» («Математический трактат о гномоне»), время создания которого точно не известно, но где утверждается, что в XII веке до нашей эры китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI веку до нашей эры - и общий вид теоремы, и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII-V веках до нашей эры «Сульва сутра» («Правила веревки»), - несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Поэтому нам ничего не остается, как рассмотреть некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым». Теорема Пифагора гласит: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах». Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Во II веке до нашей эры в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается создание древних книг. Так возникла «Математика в девяти книгах» - главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений. В IX книге «Математики» помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами и гипотенузой С уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной А+В, а внутренний - квадрат со стороной С, построенный на гипотенузе. Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника, то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна С в квадрате, а с другой - А+В, т.е. С=D+B. Теорема доказана. Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII века в Бхаскары помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат С перекладывается в «кресло невесты» квадрат А плюс квадрат В. Частные случаи теоремы Пифагора встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII-V веках до нашей эры). Доказательство Евклида приведено в предложении 1 книги «Начал». Здесь для доказательства на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника строятся соответствующие квадраты. «Багдадский математик и астроном Х века ан-Найризий (латинизированное имя - Аннариций), - пишет Волошинов, - в арабском комментарии к «Началам» Евклида дал следующее доказательство теоремы Пифагора. Квадрат на гипотенузе разбит у Аннариция на пять частей, из которых составляются квадраты на катетах. Конечно, равенство всех соответствующих частей требует доказательства, но мы его за очевидностью оставляем читателю. Любопытно, что доказательство Аннариция является простейшим среди огромного числа доказательств теоремы Пифагора методом разбиения: в нем фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее число возможных разбиений».

Лобачевский Николай Иванович (1792-1856), русский математик, создатель неевклидовой геометрии. Его называли «Коперником геометрии», а А. Эйнштейн выразил сущность открытия, совершенного Лобачевским, словами: «Он бросил вызов аксиоме». Родился 1 декабря 1792 в Нижнем Новгороде. Отец Лобачевского умер, когда сыну исполнилось 7 лет, и мать вместе с тремя сыновьями переехала в Казань, где Лобачевский посещал гимназию в качестве вольнослушателя. Окончив гимназию, он в возрасте 14 лет поступил в Казанский университет, которому верно и преданно служил всю свою жизнь. В 1811 получил степень магистра, в 1814 стал адъюнктом, в 1816 - экстраординарным, в 1822 - ординарным профессором. Лобачевский не только вел напряженную научную и педагогическую работу, но и заведовал университетской библиотекой, был хранителем музея. В 1827 Лобачевский был назначен ректором университета. Несмотря на то, что административные обязанности и преподавание отнимали много сил, Лобачевский активно занимался научной работой. Это были прежде всего геометрические исследования, которые он вел на протяжении почти 20 лет, прежде чем обнародовал свои идеи. Без малого два тысячелетия математический мир не сомневался в истинности пятого постулата Евклида (постулата о параллельных), согласно которому через точку на плоскости вне лежащей на этой плоскости прямой можно провести одну и только одну прямую, ей параллельную. Сначала Лобачевский пытался доказать этот постулат, затем выделил в геометрии Евклида все то, что не зависело от него, - «абсолютную геометрию», и пришел к мысли заменить этот постулат другим - что через точку на плоскости вне лежащей на этой плоскости прямой можно провести не одну-единственную прямую, параллельную данной, - чтобы прийти к противоречию. Однако противоречия не обнаружилось, а была создана новая геометрическая система. Главное из того, что совершил Лобачевский в науке, состояло в доказательстве существования более чем одной «истинной» геометрии. Неевклидовы геометрии строили и другие математики, в первую очередь Я. Бойяи (1802-1860) и Г. Риман (1826-1866).

Лобачевский представил свою неевклидову геометрию 23 февраля 1826 на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета. Предложенное им сочинение называлось Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных. К сожалению, эта работа в то время не была понята и не получила поддержки. В России при жизни Лобачевского публично оценил его открытие только профессор П.И. Котельников (1842). Европейские ученые узнали о работах Лобачевского лишь в 1840, и в 1842 по представлению К. Гаусса он был избран членом-корреспондентом Гёттингенского научного общества. Лобачевский был не только гениальным геометром. Ему принадлежит ряд ценных работ по математическому анализу. Он дал общее определение функциональной зависимости, позже введенное в науку Дирихле. В алгебре известен его метод приближенного решения уравнений любой степени.

В 1846 исполнилось 30 лет службы Лобачевского в университете, и по уставу занимаемая им кафедра должна была с этого времени считаться свободной. Несмотря на усилия его коллег, пытавшихся добиться сохранения кафедры за Лобачевским, он был не только отстранен от работы на кафедре, но и уволен с поста ректора. Подавленный случившимся, Лобачевский тяжело заболел и стал терять зрение. За год до смерти он подарил своему любимому университету, праздновавшему пятидесятилетие, экземпляр Пангеометрии, содержавшей все наиболее существенное, что было сделано им в науке. Умер Лобачевский в Казани 24 февраля 1856.

Среди опубликованных работ ученого - О началах геометрии (1829-1830), Воображаемая геометрия (1835), Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам (1836), Новые начала геометрии с полной теорией параллельных (1835-1838), Геометрические исследования по теории параллельных линий (1840).

4. Теория пределов

Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, И. Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Дж. Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах О. Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались К. Вейерштрасс и Б. Больцано.

С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

Метод координат

Понятие прямоугольной системы координат на плоскости впервые появилось в геометрии еще до начала нашей эры. С ее помощью математик Александрийской школы Аполлоний определял и изучал кривые второго порядка - эллипс, гиперболу и параболу.

В XVIII веке французский философ и математик Р. Декарт (и одновременно с ним П. Ферма) ввел правило выбора знаков в прямоугольной системе координат и заложил основы аналитической геометрии на плоскости - раздела математики, устанавливающего связь между алгеброй и геометрией.

Работы Декарта были подготовлены работами его соотечественника Ф. Виета, который впервые ввел в алгебру буквенные обозначения (как известных, так и неизвестных величин).

Аналитическая геометрия сыграла важную роль в развитии понятия числа: благодаря правилу выбора знаков координат отрицательные числа, которые не признавало большинство математиков средневековья получили наглядное изображение и окончательно утвердились в математике. В последующем применение прямоугольной декартовой системы координат сыграло решающую роль при утверждении в математике комплексных чисел.

Теоремы, аксиомы, определения

Рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство, называется доказательством. Доказываемое свойство называется теоремой. При доказательстве геометрической теоремы мы опираемся на ранее установленные свойства. Некоторые из них в свою очередь являются теоремами; некоторые же считаются в геометрии основными и принимаются без доказательства. Свойства, принимаемые без доказательства, называются аксиомами.

Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет истинность аксиом в их совокупности. Проверка состоит в том, что все теоремы геометрии оказываются согласными с опытом; этого не случилось бы, если бы система аксиом была ложной.

Ни одно геометрическое свойство, взятое в отдельности, не является аксиомой, так как его всегда можно доказать на основании других свойств. Так, в геометрии обычно принимается за аксиому следующее свойство параллельных прямых: через одну и ту же точку нельзя провести две различные прямые, параллельные одной и той же прямой (аксиома параллельности). На основании этой аксиомы (и ряда других) доказывается, между прочим, такое свойство треугольника: сумма углов треугольника равна 180°. Между тем мы могли бы последнее свойство принять за аксиому вместо аксиомы параллельности (оставив остальные аксиомы прежними). Тогда упомянутое свойство параллельных прямых можно доказать и оно станет теоремой.

Таким образом, систему аксиом можно выбирать различными способами. Нужно только, чтобы взятых аксиом было достаточно для вывода всех прочих геометрических свойств. В геометрии стремятся число аксиом по возможности уменьшить. Это делается для того, чтобы уяснить логические, связи между отдельными свойствами.

Аксиомы предпочтительно выбираются из числа простейших геометрических свойств. Впрочем, по вопросу о простоте того или иного свойства мнения могут быть различны. Некоторые понятия в геометрии мы принимаем за начальные, их содержание можно выяснить только из опыта (таково, например, понятие точки). Все остальные понятия мы выясняем, опираясь на начальные. Такие объяснения называются определениями. Каждое геометрическое определение опирается либо непосредственно на начальные понятия, либо на понятия, определенные прежде.

Одно и то же геометрическое понятие можно определять различно. Например, диаметр окружности можно определить как хорду, проходящую через центр, или как хорду наибольшей длины. Приняв за определение одно из этих свойств, можно доказать другое. Предпочтительно взять за определение простейшее свойство; впрочем, и здесь невозможно обеспечить всеобщее согласие.

Геометрические фигуры, как символы

Квадрат

Квадрат, иногда называется «четырехугольником» (греч. тетрагон). Геометрический символ, выражающий ориентацию человека в пространстве и направление относительно жизненной сферы света и их сверхъестественных стражей в смысле «четырехкратного определения местоположения». Так же, как и в случае креста, в квадрате на первом месте находится желание сориентироваться в мире, кажущемся хаотическим, посредством введения направлений и координат. Квадрат охотно применяют как знак материального мира, составленного из четырех стихий, которые, в свою очередь соответствуют четырем сторонам света. Изображение трактуемой таким образом материи становится еще более убедительным, если внутрь квадрата вписать крест, в такой форме оно будет напоминать нам о кресте на могиле, об окне тюрьмы, о том, что все проходит.

Крест под квадратным камнем - символ тяжести земли, представления, что нет в мире ничего иного, кроме прихотливой игры стихий, что мир - ад, безнадежная пропасть, темница, Тартар.

Напротив, крест над квадратным камнем - символ надежды, это дерево жизни, которое пробилось из могилы, это возможность искупления, воскресения. Нередко этим знаком обозначали «философский камень», который будто бы может дарить бессмертие и вечную молодость. Квадратура несет в себе принцип упорядочивания и в дуалистической системе является противоположностью кругу, который считается верным сторонником небесных сил. Легендарная «квадратура круга» (а именно - превращение круга с помощью геометрических инструментов в равный по площади квадрат) символизирует желание свести оба элемента, «небесное» и «земное», в одну идеальную гармонию (лат. concidentia oppositorum, конциденция оппозиторум).

Многие храмы имеют в основании квадратный план и своей ступенчатой архитектурой должны соответствовать космической горе, таковы, например, сооружения храмов Ангкор в Камбодже. В сочетании с кругом квадрат нашел выражение в плане храма Неба в Пекине (Бей-джин) или в яванском Боробудуре. Таинственные города, как, например, «небесный Иерусалим» в Апокалипсисе Иоанна или «Христианополис» Й.В. Андреса (XVII в.), отражают тип идеального города, на который ориентировалось еще древнеримское градостроительство с его регулярными городскими кварталами. Оно считалось олицетворением соответствующего человеку космоса, в центре которого представляется небесный столп (мировая ось). В Древнем Китае, Персии и Месопотамии земля мыслилась квадратной, в Древней Индии она называлась «хатуранта» (четырехконечная). По древнекитайскому преданию, некогда квадрат, разделенный на девять полей, «План реки», хоту, космологический «магический квадрат» вышел из Хуанхэ. Такие квадраты в Древнем мире по разному поводу конструировались из букв и чисел, при этом гармония конечных сумм или заменяемая читаемость букв символизировали созвучие с законами архитектуры миров.

Четырехкратная ориентация картины мира находит выражение и в играх, например в древнемексиканской игре патолли или в древних как мир шахматах. Но еще отчетливее она проявляется в игре в «мельницу», поле которой состоит из трех концентрических нарисованных квадратов с соединительными перекладинами (иногда в точках углов, а обычно только в центре отдельных сторон) и встречается в виде высеченных наскальных рисунков в альпийском регионе (Австрия, Италия), во Франции, Англии (остров Мэн), на Балканах, в Афганистане (область Памира), а также на доисторической керамике (культура Виллановы и Эсты, Италия) и на беотийских фигурах идолов. В виде наскального рисунка ее находят не только на горизонтальных поверхностях, но и на отвесных стенах и поэтому в нее не всегда можно «играть». Поэтому символическая ценность, превышающая значение игровой доски, неопровержима и распознается только в связи со старыми картинами-космограммами.

Индо-буддистские символы медитации мандалы в большинстве случаев соединяют в себе круг как символ озарения (бодхи) с направлением взгляда на общину (сангха) и с квадратом в гармоничную целостную фигуру (янтра)

Круг

Круг является, пожалуй, важнейшим и наиболее распространенным геометрическим символом, чья форма уже заранее была предопределена картиной явления Солнца и Луны. Согласно суждениям философов платоновской и неоплатоновской школ, круг является самой совершенной формой. Мифический храм Аполлона в стране гипербореев по описаниям якобы тоже был круглым (намек на доисторическое культовое сооружение в южной Англии Стоунхендж?), а «королевский город» Платона на Атлантиде состоял из системы концентрических кругов суши и воды. В мистических представлениях Бог парафразируется как круг с вездесущим центром, чтобы дать понять его совершенство и непостижимость, неосязаемость для человеческих понятий (безграничность, вечность, абсолют). У круга нет ни начала, ни конца, ни направления, ни ориентации; и небосвод тоже - вследствие круговых траекторий движения звезд вокруг небесного полюса - представляется как круглый купол, поэтому круг олицетворяет собой небо и все спиритуалистическое. Если на него нанести спицы (радиусы), то он станет символом колеса, которое в противоположность неизменяемости круга демонстрирует дополнительное качество - динамику.

Египетский символ вечности представляет собой шнур, завязанный узлом так, чтобы получилось круглое кольцо, античный же - змею, кусающую свой хвост (Уроборос, Uroboros). Когда что-то бросают в воду, на поверхности возникают концентрические круги; на больших камнях, закрывающих доисторические захоронения, часто встречаются подобные вырезанные изображения. Их можно истолковать как символическое олицетворение погружения в воды смерти (см. Потусторонний мир), а возможно, также в смысле учения о смерти и возрождении, которое находит символическое выражение через круги из волн или круговые волны.

Круг с точкой посередине в традиционной астрономии является символическим знаком Солнца, в алхимии - аналогичного ему металла - золота, у розенкрейцеров - императорской власти, которая в центре несет творческое начало, дающее смысл всему окружению. В магических учениях круг имеет функцию защиты от злых духов. Во время церемоний с заклинаниями маг чертит вокруг себя круг, который нельзя переступать. Ноль, окружность, обрисовывающая пустоту, ничто, пришел к нам в Средние века через мусульман (а русские утверждают, что через еврейских хазар).

Кочевники, что перемещались в предгорьях Альп, т.е. на пространстве между Баварией, Бургундией и Провансом, понимали под окружностью нечто совсем иное, а именно - требование двигаться дальше, перемещаться в другие местности. Знатоки толкуют это изображение как упрощенную картинку колеса от цыганской повозки, другие же усматривают в этом знаке символ вечного движения, постоянных перемещений кочевников.

С точки зрения науки о символах противоположностью круга является квадрат, который обозначает уже земной мир и все материальное. Круг олицетворяет собой Бога и небо, а квадрат - землю и человека. Знаменитая задача о «квадратуре круга» - построении квадрата, равновеликого по площади данному кругу (чисто геометрическими средствами) - обозначает поэтому старание человека найти способ перевести свою собственную субстанцию в субстанцию божества, т.е. очистить себя до божественного состояния. Задача преобразования, неразрешимая с помощью обычных геометрических приборов, часто возникала в эпоху Ренессанса и являлась аллегорией человеческого стремления к «обожествлению», которое в алхимической символике тоже играет большую роль. Не вдаваясь в проблему равновеликости площадей, каббала тоже занималась кругом и квадратом - круг внутри квадрата понимался как символ божественной «искры» внутри материальной оболочки. В христианской иконографии нимб почти всегда изображался в виде круга, а концентрические круги представляли первоначальную ступень творения Бога - «земной круг», в который человек был помещен позднее; творец очерчивает его циркулем (Поучающая Библия, XIII в.) или является в виде неясного очертания руки, которая выступает из центра нескольких кругов и, выйдя за их пределы, разрывает их (романская фреска, церковь Св. Климента де Тахулл, Каталония, ок. 1123).

Естественно, круг в качестве символа использовали не только народы с высокой культурой. «Так, например, у различных индейских племен он символизирует космическое проявление «Великого духа», поскольку орбита Луны и (с точки зрения наблюдателя с Земли) орбита Солнца - круглые, «движение звезд» тоже происходит по кругу, да и естественный рост тоже порождает круглые формы. Поэтому круг лежит в основе расположения лагерей» (Никсдорв бай Стерк, 1987). Хороводы тоже можно рассматривать как «танцующие круги».

В дзен-буддизме круг означает просветление, озарение, совершенство человека в единстве с первоначальным принципом. В китайском символе инь - ян двойственность заключена в круг (Тай-чи в первоначальном объединении). В Средние века господствовало представление о картине мира как о расположенных друг в друге чашеобразных космических сферах в круговой проекции (что и было поэтически представлено в «Божественной комедии» Данте в форме кругов рая и ада), иерархии ангелов как стражей сфер обеспечивали этот большой порядок. В качестве символа Святой Троицы часто использовались три проникающие друг в друга круга.

В рыцарской литературе раннего Средневековья получил известность цикл романов о короле Артуре и рыцарях Круглого стола. В одном из романов этого цикла волшебник Мерлин подсказывает вождю бриттов Утеру (отцу Артура) мысль создать рыцарский орден Круглого стола. Рыцари этого ордена на пирах у короля должны были сидеть за круглым столом, чтобы не было споров о лучшем и худшем месте и все рыцари чувствовали себя равными. В международных совещаниях круглый стол был вызван потребностями дипломатического церемониала, стремящегося подчеркнуть равноправие совещающихся или договаривающихся сторон. Расширительно выражение «круглый стол» стало применяться ко всякому обмену мнениями, участники которого беспристрастно и терпимо знакомятся с точкой зрения любого члена совещания.

Треугольник

Треугольник - один из простейших геометрических символических знаков; он основывается на первой возможности ограничивать прямыми линиями плоскость и образовывать фигуру. Поэтому не каждый треугольник может обязательно выражать символическое значение высказанного. Мостовые из уложенных в форме треугольника плит встречаются уже в древнем урочище Лепенский Вир на Дону (в VII тысячелетии до н.э.), а треугольные царапины на костях имеют еще больший возраст. Толкования представляются в самой многообразной форме. В первую очередь упоминается «женский срамной треугольник», вершина которого направлена вниз, а из нее выходит вертикальная линия. В более древних культурах нередко встречаются треугольники как формы декора на керамике, при этом с вершиной, направленной вниз, рассматриваются как «символы воды» (направление падающей капли), а с вершиной, направленной вверх, - как «символы огня» (направление пламени). Наложенные один на другой, оба они образуют замкнутую дуальную систему, шестиконечную звезду (Сигиллум Саломонис, Sigillum Salomonis).

При произнесении ритуальных магических заклинаний треугольник также вписывается в магический круг. Знак треугольника может завуалированно истолковываться как трилистник (тройной лист клевера), который считается символом мужского рода. В системе Пифагора греческая буква «дельта» с ее формой в виде треугольника считается символом космического происхождения. В индуизме эта фигура - знак дарующей жизнь богини Дугры.

В раннехристианскую эпоху последователи манихейства использовали треугольник как символ триединства (Святой Троицы); св. Августин в такой интерпретации отверг его. И все же позже он смог утвердиться как символ триединства (Троицы) (рука, голова и имя Бога, дополненное и глазом), как знак «Отец, Сын и Святой Дух»; такой «Глаз Божий» в треугольнике часто использовался главным образом в стиле барокко, а в символике масонов он используется как «всевидящее око» с девятикратными лучами - также символом божества. Иудейская каббала (религиозно-мистическое толкование Ветхого Завета) в своей «Книге Сохар» («блеск») содержит упоминание: «На небе оба глаза Господа и его лоб образуют треугольник, а их отражение образует треугольник в водах». В дохристианскую эпоху философ Ксенократ (339-314 гг. до н.э.) рассматривал равносторонний треугольник как «божественный», равнобедренный - как «демонический» и неравносторонний - как «человеческий» (несовершенный).

Чудодействие гармонии чисел в образе пропорций прямоугольного треугольника, проводимое Пифагором (VI в. до н.э.), описывается у А. Кестлера (1963) так: «Между длиной сторон прямоугольного треугольника не существует очевидного соотношения; если же мы, однако, сверху каждой стороны построим квадрат, то размеры площади обоих малых квадратов будут строго соответствовать размеру площади большего квадрата. Если таким чудесным образом построенные, дотоле от человеческого глаза скрытые, законы могут быть открыты путем погружения в пучину образования чисел, то возникала неоправданная надежда, что все тайны Вселенной, по всей видимости, скоро станут известными через образование чисел». Принимая во внимание подобные суждения о символах, и масонство охотно имеет дело с пифагоровым прямоугольным треугольником с длинами сторон 3, 4 и 5, который на учебных коврах строится с квадратами над катетами и гипотенузой и кратко называется «пифагоровым». Как 47-я задача Эвклида, он является символом «главы масонской ложи» и отличительным знаком старого опытного мастера.

В Древнем Китае треугольник является «женским символом», но в спекулятивном плане особо большой роли не играет. В тибетском тантризме комбинация шестигранных звезд обоих равносторонних треугольников - это «пронизывание женственности мужским огнем».

тригонометрия треугольник пифагор фигура

Размещено на Allbest.ru