Граничні теореми для схеми Бернуллі

9

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Граничні теореми для схеми Бернуллі

Якщо проводяться випробування за схемою Бернуллі і числа п і k - великі, то обчислення ймовірностей за біномною формулою викликає певні труднощі. У такому разі для обчислення цих ймовірностей застосовують асимптотичні (наближені) формули, які випливають із локальної та інтегральної теорем Муавра-Лапласа і граничної теореми Пуассона. Назва „гранична” в обох випадках пов'язана з тим, що згадані теореми встановлюють поведінку ймовірностей або за певних умов, до яких обов'язково входить умова

Гранична теорема Пуассона. Якщо ймовірність успіху в кожному з п незалежних випробувань за схемою Бернуллі рівна p і якщо для так, що то

для будь-якого де - ймовірність появи k успіхів в п випробуваннях.

Доведення. Поклавши (отже, ), запишемо

що й треба було довести.

Отже, при великих п () і малих р () ми можемо користуватися наближеними формулами:

(1)

(2)

Формули (1) і (2) називаються асимптотичними формулами Пуассона. Друга з них дає наближений вираз для ймовірності того, що кількість успіхів в п випробуваннях міститься між заданими числами і Дослідження питання про точність формул (1) і (2) ми не розглядаємо. Обмежимося лише тим, що приймемо без доведення нерівність

яка є правильною для будь-якої множини Зокрема, якщо М складається з одного числа k, то

(3)

Для виразу , який розглядається як функція двох змінних k і л, складено таблицю значень.

Введемо позначення Сукупність значень

називається розподілом Пуассона з параметром

Приклад. У фірмі працює 500 співробітників. Знайти ймовірність того, що у двох співробітників день народження припаде на новий рік, вважаючи, що ймовірність народитися у фіксований день становить 1/365.

Розв'язання. Маємо:

п=500, р=1/365, k=2;

0,2384517.

Обчислення ж за біномною формулою дають =0,2388347. Бачимо, що

Отже, оцінка (3) в даному випадку правильна.

Локальна формула Муавра-Лапласа. Нехай імовірність успіху в кожному з п незалежних випробувань за схемою Бернуллі рівна p, Тоді для великих значень п імовірність появи k успіхів в п випробуваннях обчислюється за наближеною формулою:

(4)

де функція Гаусса.

При цьому встановлено, що відносна похибка формули (4) наближається до нуля, коли

Функція Гаусса табульована. В більшості підручників наведено значення для Для обчислення значень при від'ємних значеннях використовуємо парність функції а для приймаємо, що

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Нехай імовірність успіху в кожному з п незалежних випробувань за схемою Бернуллі рівна p, - кількість успіхів в п випробуваннях. Тоді

для всіх а, b

Спираючись на цю теорему, для великих значень п записують наближену формулу для ймовірності Щоб отримати її, введемо позначення

Тоді

Для простішого запису отриманої наближеної формули вводять функцію Лапласа

Оскільки

то остаточно отримаємо

(5)

Функцію Лапласа часто використовують у теорії ймовірностей і математичній статистиці, тому опишемо її найпростіші властивості.

Графік функції Лапласа

- непарна функція:

Доведення. В інтегралі зробимо заміну Тоді

прямі і -

асимптоти графіка функції при і відповідно.

Доведення. В інтегралі зробимо заміну Тоді

- зростаюча функція.

Функція Лапласа табульована для Для обчислення значень при від'ємних значеннях використовуємо непарність функції.

Приклад. Знайти ймовірність того, що при 600 киданнях кубика „шістка” випаде 100 разів. Яка ймовірність того, що кількість випадань „шістки” є в межах від 90 до 110?

Розв'язання. Маємо:

п=600; k=100; р=1/6;

Зауваження. Точність наближених формул (4) і (5) істотно залежить від взаємовідношення величин п і р. Зокрема, добрі наближення ці формули дають при р=q=1/2, їх часто використовують, коли Звідси, до речі, видно: що ближче одне з чисел р або q до нуля, то більшим слід вибирати n. Тому в разі близькості однієї з величин р або q до нуля формулами (4) і (5) зазвичай не користуються; для цього випадку значно точнішими є наближені формули Пуассона.

Теорема Бернуллі про стійкість відносних частот

Нехай імовірність появи випадкової події А в кожному з п незалежних випробувань за схемою Бернуллі становить р. Для довільного числа визначимо за допомогою інтегральної теореми Муавра-Лапласа ймовірність події при де - відносна частота події, тобто ймовірність того, що відхилення відносної частоти події від її ймовірності за абсолютним значенням не перевищує числа

Можемо записати

Отже,

Ця формула виражає теорему Бернуллі.

Теорема Бернуллі. Якщо в кожному з серії незалежних випробувань випадкова подія настає з однією і тою самою ймовірністю р, то за достатньо великої кількості випробувань з імовірністю як завгодно близькою до 1, відхилення відносної частоти появи цієї події від її ймовірності р не перевищуватиме як завгодно малого наперед заданого числа е.

Оскільки для великих п

то для великих п використовують наближену формулу

(6)

Приклад. Проводиться 100 випробувань за схемою Бернуллі з імовірністю р=0,5 появи події А в кожному окремому випробуванні. Знайти межі, в яких міститься частота події А з імовірністю 0,9545.

Розв'язання. За умовою задачі п=100, р=q=0,5 і

теорема бернуллі функція лапласа

За формулою (6) маємо, що

За таблицею значень функції Лапласа знаходимо, що

Із нерівності випливає, що тобто з імовірністю 0,9545 подія А може з'явитися від 40 до 60 разів.

Размещено на Allbest.ru