Построение моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

В таблице приведены данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (16 кварталов).

T	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	39	50	59	38	42	54	66	40	45	58	69	42	50	62	74	46

Решение

1) Построить адаптированную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания а₁=0,3; а₂=0,6; а₃=0,3.

Определим величины коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года a(0), b(0) и коэффициенты сезонности F(-3), F(-2), F(-1), F(0) за весь предыдущий год. По первым восьми наблюдениям (t=1?8) построим вспомогательную линейную модель ?(t)= a+b*t (РЕГРЕССИЯ).

		Коэффициенты
Y-пересечение		44,43
t		0,90

Примем а(0) = а=44,43, b(0) = b=0,90; занесем эти значения в нулевой уровень столбцов a(t) и b(t) основной расчетной таблицы.

Коэффициент сезонности называется отношение фактического значения Y к значению ?, найденному по линейной модели («Предсказанное Y» итогов Регрессии). Для первого квартала это Y(1)/ ?(1) в первом году и Y(5)/ ?(5) во втором году. Оценкой коэффициента F(-3) первого квартала предыдущего года служит среднее арифметическое:

F (-3) = 1/2*(Y(1)/ ?(1) + Y(5)/ ?(5)) = 0,859;

F (-2) = 1/2*(Y(2)/ ?(2) + Y(6)/ ?(6)) = 1,082;

F (-1) = 1/2*(Y(3)/ ?(3) + Y(7)/ ?(7)) = 1,276;

F (0) = 1/2*(Y(4)/ ?(4) + Y(8)/ ?(8)) = 0,783.

Заполним соответствующие уровни столбца «F(t)» расчетной таблицы и перейдем к основному расчету. Коэффициенты сглаживания а₁=0,3; а₂=0,6; а₃=0,3; период сезонности L=4. Примем t=0, k=1, по основной формуле модели Хольта, рассчитаем Y_p(0+1) = Y_p(1)=(a(0)+b(0))*F(-3)=38,95.

Перейдём к t=1, уточним коэффициенты

a(1)=a₁*Y(1)/F(-3)+(1-a₁)*(a(0)+b(0)) = 45,35;

b(1)=a₂*(a(1) - a(0)) + (1-a₂)*b(0) = 0,91;

F(1) = a₃*Y(1)/a(1) + (1-a₃)*F(-3) = 0,860.

При t=1, k=1 по основной формуле модели Хольта получим

Y_p(1+1) =Y_p(2)=(a(1)+b(1))*F(-2) = 50,07

И т.д. для t=2,3,… 16. Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t), F(t), определяется количеством исходных данных n=16. Результаты вычислений приведем в таблице; модель Хольта-Уинтерса построена.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

Для проверки точности дополним расчетную таблицу столбцами остатков E(t) и относительных погрешностей Е_отн(t).



Е(1)= Y(1) - Y_p(1) и т.д.; Е_отн(1)=¦Е(1)/Y(1)¦*100 получим:

Средняя относительная погрешность аппроксимации составит

З_отн=1,25 (%) (функция СРЗНАЧ)

0%<1,25<5%. Следовательно, точность модели точная.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков.

Для использования критерия поворотных точек построим график остатков Е(t).



Выделим на нем поворотные точки и подсчитаем их количество р=9.

Вычислим при n=16.

р_кр=(2*(n-2)/3 - 1,96*v16n-29/90) = (9,33-1,96*v2,52) = 6,22=6.

р=9 > р_кр=6, значит свойство случайности для ряда остатков выполняется.

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32.

Для проверки свойства независимости остатков используем критерий Дарбина-Уотсона. Вычислим d= ?(E(t) - E (t-1))²/?E²(t) = 35,35/13,73 = 2,57.

При n=16 критические значения d - статистик d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37.

d = 2,57 > 2, свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d' - 4-d = 1,43 и сравним ее с двумя критическими уровнями d₁=1,10 и d₂=1,37. d'=1,43 лежит в интервале от d₂=1,37 до 2, следовательно, свойство независимости остатков выполняется. Вычислим

r(1) = ?E(1)*E (t-1)/?E²(t) = -3,95/13,73 = -0,29

Критическое значение коэффициента автокорреляции составляет r_кр=0,32.

¦r(1)¦= 0,29 < r_кр=0,32. Таким образом, в ряде остатков наблюдается автокорреляция, свойство независимости остатков выполняется.

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

Для проверки свойства нормального распределения остатков используем R/S критерий.

Подготовим Е_max=2,61 (МАКС), E_min= -1,16 (МИН), S(E)= 0,96 (СТАНДОТКЛОН), найдём

R/S = Е_max - E_min/S(E)= 2,61 - (-1,16)/0,96=3,74.

Критический интервал (3; 4,21) определим по таблице R/S-критерия.

3,74 є (3; 4,21), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

На основной формуле модели Хольта-Уинтерса при фиксированном t=n и нарастающем значении периода упреждения k=1,2,3…

Y_p(t+k)=(a(t)+k*b(t))*F (t+k-L)

Для первого квартала будущего пятого года при t=16, k=1 найдем

Y_p(16+1)=Y_p(17)=(a(16)+1*b(16))*F(13)=52,79

Для второго квартала будущего пятого года при t=16, k=2 найдем

Y_p(16+2)=Y_p(18)=(a(16)+2*b(16))*F(14)=66,37

Для третьего квартала будущего пятого года при t=16, k=3 найдем

Y_p(16+3)=Y_p(19)=(a(16)+3*b(16))*F(15)=79,31

Для четвертого квартала будущего пятого года при t=16, k=4 найдем

Y_p(16+4)=Y_p(20)=(a(16)+4*b(16))*F(16)=49,01

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.



Задача 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую;

- момент;

- индекс относительной силы;

-%R, %K, %D,

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	595	580	585
2	579	568	570
3	583	571	578
4	587	577	585
5	586	578	582
6	594	585	587
7	585	563	565
8	579	541	579
9	599	565	599
10	625	591	618

Решение

Найдем экспоненциальную скользящую:

Результаты расчета занесем в таблицу:

При t=n=5 найдем ЕМА₅=МА₅ =580 (СРЗНАЧ). При t ? 6 по формуле экспоненциальной скользящей средней (k=2/5+1=1/3)

ЕМА₆=1/3*587+(1-1/3)*580=582,33;

ЕМА₇=1/3*565+(1-1/3)*582,33=576,56 и т.д.

Найдем момент:

Индекс Момент (МОМ) рассчитывается как разность цен закрытия:

МОМ_t=C_t - C_t-n; t ? n+1

МОМ₆=С₆-С₁ = 587-585=2;

МОМ₇=С₇-С₂ = 565-570=-5 и т.д.

При анализе график МОМ_t следует сравнить с линией нулевого уровня:

6-ой день пересечение графика момента с линией нулевого уровня - сигнал разворота тренда; 7-ой день график расположен ниже нулевого уровня, рекомендуется продажа; 8-ой день график пересекается с нулевым уровнем - сигнал разворота тренда; 9-10 дни график находится выше нулевого уровня, восходящий, рекомендуется покупка.

Индекс Скорость изменение цен (ROC) рассчитывают как процентное отношение цены закрытия текущего периода С_t к цене C_t-n n-периодов тому назад: ROC_t = С_t / C_t-n *100; t ? n+1.



ROC₆=C₆ / C₁*100=587/585*100 = 100,34

ROC₇=С₇ / С₂*100=565/570*100 = 99,12 и т.д.

При анализе график ROC_t следует сравнить с горизонтальной линией 100%:

6-ой и 8-ой дни пересечение графика ROC с уровнем 100% - сигнал разворота тренда; 7-ой день график скорости изменения цен расположен ниже уровня 100%, рекомендуется продажа финансового инструмента; 9-10 дни график находится выше уровня 100%, рекомендуется покупка.

Найдем индекс относительной силы:

Индекс относительной силы (RSI) определяется формулой

RSI_t=100-100 / 1+AU_t,n / AD_t,n t ? n+1;

AU_t,n - сумма приростов цен закрытия за n периодов до текущего t;

AD_t,n - сумма убыли цен закрытия за n периодов до текущего t.

Найдем изменение цен закрытия ?С_t - C_t-1 для дней t ? 2.

Из ?С_t выберем положительные (приросты) и модули отрицательных (убыль) - ЕСЛИ. Для t ? 6 рассчитаем суммы приростов и суммы убыли за 5 дней до дня t - СУММ.

RSI₆=100-100 / 1+20 / (-18)=1000

RSI₇=100-100 / 1+20 / (-25)= -400 и т.д.

Результаты расчета RSI покажем на диаграмме:

6-9 дни график RSI находится в нейтральной зоне, можно проводить финансовые операции; 10-й день график RSI приблизится к критической зоне, «перекупленности» рекомендуется остановить операции или проводить с осторожностью, т.к. в скором времени ожидается разворот тренда.

Найдем % R, %K, %D

%К_t=C_t-L_t,n / H_t,n - L_t,n*100; %R_t= H_t,n-C_t / H_t,n-L_t,n*100;

%D_t=?(C_t-L_t,n) / ?(H_t,n-L_t,n)*100

C_t - цена закрытия текущего периода t;

H_t,n и L_t,n - минимальная и максимальная цены за n периодов;

%К_t;%R_t рассчитывают для t ? n; значения % D_t для t ? n+2.

%К: в 5-6 дни можно совершать продажи; в 7-8 дни из критической зоны переходит в нейтральную зону, где рекомендуется совершать продажи; в 9-10 дни подтверждает приостановку операций (критическая зона).

%R: является зеркальным отражением % К, их сигналы совпадают.

%D: в 7-9 дни график находится в нейтральной зоне, рекомендуется проводить операции; в 10-й день находится в критической зоне, рекомендуется остановить операции.

Задача 3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Т_лет - время в годах, i - ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие числительные значения параметров и выполнить расчеты.

Сумма	Дата начальная	Дата конечная	Время в днях	Время в годах	Ставка	Число начислений
S	Tн	Тк	Тдн	Тлет	i	m
4000000	10.01.02	20.03.02	90	5	45	4

мультипликативный модель экспоненциальный процент

Банк выдал ссуду, размером 4000000 руб. Дата выдачи ссуды - Т_н, возврата - Т_к. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 45% годовых. Найти

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

Чтобы найти I воспользуемся формулой I= S*n*i%

n-доля года (в Excel: f_x / дата и время / ДОЛЯГОДА).

Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 4000000 руб. Кредит выдан под 45% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?



n = t / k = 90/360=0,25

Используем формулы:

Р=S/(1+n*i) и D = S - P

Р = 4000000 / (1+90/360*0,45) = 3595506 руб.

D = 4000000 - 3595506 = 404494 руб.

Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 4000000 руб. Банк приобрёл этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 45% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

D = S*n*d откуда Р = S-D = S - S*n*d = S*(1-nd).

D = S*n*d = 4000000*0,45-90/360 = 450000 руб.

Р = S-D = 4000000 - 450000 = 3550000 руб.

В кредитном договоре на сумму 4000000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 45% годовых. Определить наращенную сумму.

Используем функцию БС вычисляет по формуле наращения будущую стоимость S. Ставка i=45%; Кпер N=5; Плт 0; Пс Р=-4000000.

С помощью БС получим S= БС (45%; 5; - 4000000)=25638936,25 руб.

Ссуда, размером 4000000 руб. предоставлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка - 45% годовых. Проценты начисляются 4 раз в году. Вычислить наращенную сумму.

По условию m=4. Следовательно, i=45% / 4=11,25%; N=5*4=20.

С помощью функции БС найдем

S= БС (11,25%; 20; - 4000000)=33733420,84 руб.

Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 4 раза в году, исходя из номинальной ставки 45% годовых.

Используем функцию ЭФФЕКТ, получим

i_э =ЭФФЕКТ (45%; 4)=0,532=53,2%.

Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 45% годовых.

45% - это эффективная ставка; найдем ставку за 4 года т.е. номинальную. С помощью функции НОМИНАЛ получим i_н=38,94%.

Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 4000000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 45% годовых.

С помощью функции ПС найдем

Р = ПС (45%; 5; - 4000000)=624050,85 руб.

Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 4000000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 45% годовых. Определить дисконт.

Денежная сумма - S=4000000

Операция - дисконтирование: банковский учет Р=?

Проценты (учетная ставка) - сложные, расчеты выполняются с помощью функций Excel.

Срок операции: 5 лет

Используем функцию БС найдем Р=БС (-45%; 5; - 4000000)=201313,75.

Найдем дисконт по формуле D = S-P

D = 4000000-201313,75 = 3798686,25 руб.

В течении 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 4000000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 45%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Найдем эффективную ставку, для этого используем функцию ЭФФЕКТ, получим

i_э =ЭФФЕКТ (45%; 4)=0,532=53,2%.

С помощью функции БС найдем S = БС (53,2%; 5; - 4000000)= 33 733 420,84 р.

Размещено на Allbest.ru