Математические секреты пчелиных сот

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 35

Научная работа по математике

«Математические секреты пчелиных сот»

Выполнили: Маркарьян Альберт, ученик 10 «А» класса

Манукян Элен,

ученица 10 «А» класса

Научный руководитель:

учитель математики

Коломиец Надежда Ильинична

пгт Новомихайловский

2012 год

Hа протяжении всей истории внимание многих людей привлекала необычная архитектура пчелиных сотов. Они состоят из довольно тонких, близко расположенных друг к другу шестиугольников, стенки которых составляют примерно 0,1 мм. Отклонение от этой усредненной величины может быть не более 0,002 мм. Для того чтобы разглядеть в строительстве сотов применение геометрических правил, нужно обладать математическим взглядом. Круг - это геометрическая фигура, обладающая самым коротким размером сторон при окружении устойчивой плоскости. Например, при сравнении круга и квадрата площадью 10 см2 можно отметить то, что окружность значительно меньше периметра квадрата. Однако в строительстве сот дело обстоит иначе. Вместительная сотовая рамка делится на равные, более мелкие части, причем при делении используется форма, наиболее подходящая по ее длине. Если мы начнем делить рамку на равные соты в виде мелких кругов, то, как показано на рисунке вверху, будет создана самая короткая длина, но тогда понадобится намного больше воска для закупорки оставшихся пустых мест. И пчелам просто не выгодно так тратить воск и свои силы.

Однако, если мы будем рассматривать деление на соты с точки зрения геометрических принципов, то для достижения меньших затрат материала (имеется ввиду воск) и получения наименьшей длины грани, придется делить плоскость на многоугольные фигуры. Попытаемся представить себе разделение плоскости на множество многоугольников с n-ным количеством сторон. Среди них правильный n-угольник тот, который обладает самой короткой длиной периметра. Слово «правильный» подразумевает фигуру, у которой все углы и все стороны равны между собой. Внутри круга всегда можно начертить такой многоугольник, углы которого будут находиться на поверхности окружности. Именно потому, что он максимально приближен к идеальной форме круга, он имеет наиболее короткий периметр. Например, обладателем самого короткого периметра среди треугольников является равносторонний треугольник, а среди четырехугольников - квадрат.

Подобным образом, сравнивая между собой пяти- и шестиугольники, приходим к выводу, что, только будучи правильными, они могут обладать самым коротким периметром.

При рассмотрении пчелиных сот возникает вопрос о том, какой же из правильных многоугольников следует использовать при делении единого пространства. Круг и часть вписанного в него правильного треугольника представлены на схеме №1. Как и видно на схеме, внутренний угол многоугольника равен 180-360 градусов/n. При делении единой плоскости на более мелкие части, необходимо учитывать тот факт, что соседние части должны плотно прилегать друг к другу, не оставляя при этом пустого пространства. Для этого сумма внутренних углов стенок, прилегающих друг к другу ячеек, должна составлять 360 градусов. Другими словами, сумма внутренних углов одного слоя должна равняться 360градусов. Мы можем это вычислить, где N - количество соседних внутренних углов:

N (180 - 360 / n) = 360

При выводе N, получаем:

N = 2n / (n-2) = 2 + 4 / (n-2)

Мы хотели определить, какое число n сторон образует комплект N. И пришли к выводу, что можно получить комплект N лишь в том случае, когда n=3, 4 и 6, но если цифра больше шести, комплект получить невозможно. Таким образом, желая разделить единую площадь, на плотно прилегающие друг к другу части, следует выбирать только треугольник, квадрат или шестиугольник. Невозможно поделить площадь на правильные многоугольники без остатка, количество сторон которых больше 6-ти. Однако и правильные пятиугольники не являются разрешением этой проблемы. При сложении «стенка к стенке» трех правильных пятиугольников образуется свободное место в виде угла 36 градусов, а при сложении правильных шестиугольников свободного места не остается. Кроме того, если сравнить правильные треугольник, квадрат и шестиугольник, то окажется, что последний обладает наименьшим периметром. Таким образом, только используя данный подход, можно максимально сократить расходование воска.

Нами были проведены исследования с целью изучения возможного использования многоугольников с изогнутыми сторонами. При наличии изогнутой стороны многоугольник принимает выпуклую форму, причем находящийся рядом с ним другой многоугольник автоматически приобретает сторону, вогнутую вовнутрь. Наличие у многоугольника выпуклой стороны имеет и преимущества, так как он приобретает форму, близкую к кругу, а соседствующий с ним многоугольник с вогнутыми сторонами, хотя и не испытывает никакого ущерба, но и преимуществ тоже не имеет.

В 1999 году Томас Хейлз (Thomas Hales) из Мичиганского университета поставил точку в спорах о конструировании сот. Он доказал, что идеальной фигурой при делении единого пространства на более мелкие части является правильный шестиугольник. Несмотря на то, что уже довольно давно известен тот факт, что идеальной фигурой для построения сот является шестиугольник, до сих пор нет точных объяснений этого феномена. И только лишь в 1999 году представилась возможность доказать, что пчелы, не ошибаясь, проделывают уже миллионы лет то, что, является ничем иным, как Божьим откровением. Однако, если бы пчелиная техника строения ячеек, пройдя эволюцию, дошла бы до наших дней, то в окаменелостях должны были бы встретиться и другие геометрические фигуры, помимо шестиугольника. Однако следов использования в пчелиных сотах других фигур не зафиксировано. Чарльз Дарвин лично охарактеризовал медовые соты, как чудо инженерии, позволяющее пчелам экономить воск.

До сих пор мы исследовали проблему двумерно. Однако соты - трехмерное тело, представленное в виде шестиугольной призмы. Такие призмы образуют два слоя с открытыми концами, при этом закрытые ее концы плотно соединены друг с другом (схема 5). При вертикальном расположении рамки, эти призмы будут построены с наклоном под углом в 130 градусов к горизонтали - наименьшим углом, при котором не будет происходить вытекание меда. Интересно, как использовать знания геометрии с целью минимальной траты воска? В 1964 году математик Фейеш-Тот продемонстрировал оптимальный способ закупорки сот при помощи пар шестиугольников и квадратов. Однако пчелы закрывают соты немного иначе - при помощи трех равносторонних четырехугольников. Внутренние углы равносторонних четырехугольников, равные 70,5 и 109,5 градусов, представляют собой идеальное математическое решение формы крыши, состоящей из трех равносторонних четырехугольников. Однако, в используемых пчелами площадях, на которых находились два шестиугольника и два квадрата, наблюдалась небольшая потеря в 0,035%. Но при этом имелась ускользнувшая от внимания исследователей точка, которая указывала на уменьшение толщины стен.

Мы решили испытать математическую модель Тота, для этого мы использовали жидкую воздушную пену. Мы накачали в отверстие между двумя стеклами в два слоя порошок, обладающий пузырьками диаметром в 2 мм. Пузырьки, прикасавшиеся к стеклам, начинали превращаться в шестиугольные структуры. Посередине границы двух слоев образовались описанные Тотом формы двух шестиугольников и двух четырехугольников. При уплотнении стенок пузырьков произошел интересный случай. Образовавшаяся структура вдруг, как и у пчел, превратилась в форму трех равносторонних четырехугольников. Эксперимент подтвердил, что идеальная схема построения сот все-таки дарована пчёлам свыше.

Приложение:

Схема № 1

пчелиный сота геометрический математический

Литература

1. Science News, vol 156, no 4, July 24 1999.

2. John A. Adam, Mathematics in Nature, Princeton University Prass, 2003

Тезисы научной работы по теме: «Математические тайны пчелиных сот»

Геометрия пчелиных сот.

Цель научной работы:

1. Рассмотреть связь между математикой и окружающей жизнью

2. Установить зависимость между стороной правильного многоугольника и его площадью и периметром.

Правильные многоугольники в природе.

Правильные многоугольники встречаются в природе. Один из примеров

- пчелиные соты, которые представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками. На этих шестиугольниках пчелы наращивают из воска ячейки. В них пчелы и откладывают мед, а затем снова покрывают сплошным прямоугольником из воска.

«Далее этой ступени совершенства в архитектуре естественный отбор не мог вести, потому что соты пчел абсолютно совершенны с точки зрения экономии труда и воска». Ч. Дарвин

Задача 1. Пчелиные соты представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками. Найти, какими еще правильными многоугольниками можно покрыть плоскость.

Метод уравнений

Предположим, что плоскость покрыта правильными n-угольниками, причем каждая вершина является общей для х таких многоугольников, б - внутренний угол правильного многоугольника, равный б = 180?(n-2): n, тогда 180? (n-2)x:n=360?

Учитывая, что х - целое, получаем n = 3, 4, 6.

Итак, плоскость можно покрыть правильными треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками.

Метод перебора

п = 3. Три угла, плотно составленные, составляют 180°, шесть углов - 360°. Плоскость покрыта без просветов.

п = 4. Четыре внутренних угла вместе дают 360°. Плоскость покрыта без просветов.

п = 5. Внутренний угол правильного многоугольника равен 180°, остается просвет в 36°. Плоскость без просветов не покрывается.

п = 6 Внутренний угол правильного шестиугольника равен 120?, три шестиугольника, составленные вместе, образуют 360°. Плоскость покрывается без просветов.

Метод перебора можно продолжать и дальше; итогом решения будет вывод, что плоскость без просветов можно покрыть лишь правильными треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками.

«Странные общественные привычки и геометрические дарования пчел не могли не привлечь внимания и не вызвать восхищения людей, наблюдавших их жизнь и использовавших плоды их деятельности» Г. Вейм

Задача 2. Почему пчелы выбрали именно шестиугольник?

Решение.

Для ответа на этот вопрос нужно сравнить периметры разных многоугольников, имеющих одинаковую площадь. Пусть даны правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. У какого из этих многоугольников наименьший периметр?

- Пусть S- площадь каждой из названных фигур, сторона an- соответствующего правильного n- угольника.

- Для сравнения периметров запишем их соотношение

P3 : P4 : P6 = 1:0,877: 0,816

- Мы видим, что из трех правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Стало быть, мудрые пчелы, экономят воск и время для построения сот.

Некоторые итоги:

На этом математические секреты пчел не заканчиваются. Интересно и дальше исследовать строение пчелиных сот. Расчетливые пчелы заполняют пространство так, что не остаётся просветов, экономя при этом 2% воска. Как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот.»

Так с помощью геометрии мы прикоснулись к тайне математических шедевров из воска, ещё раз убедились во всесторонней эффективности математики.

Интересные факты об архитектуре пчелиных сот.

Вам не приходилось видеть край пчелиных сот? Плоскость может переходить в сферу. При этом ориентация ячеек соответствует сферической поверхности! Одна плоскость переходит в другую через сферическую и цилиндрическую (коническую) поверхности. На цилиндрической, конической или более сложной поверхности ячейки образуют спираль! Пчелы не знают высшей математики, но алгоритм формирования ячеек приводит к любопытным математическим закономерностям. Ячейки могут быть не совсем одинаковыми, но при этом не сильно отличаются друг от друга. Встречается и ступенчатый переход к ячейкам другого размера.

Размещено на Allbest.ru