Геометрические и физические приложения определенного интеграла

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1 Определенный интеграл как предел интегральной суммы

ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

2.1 Схемы применения определенного интеграла

2.2 Вычисление длины дуги плоской кривой

2.3 Вычисление объема тела

2.4 Вычисление площади поверхности вращения

2.5 Вычисление площади плоской фигуры

2.6 Вычисление площади цилиндрической поверхности

3. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

3.1 Работа переменной силы

3.2 Давление жидкости на вертикальную пластинку

3.3 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

ГЛАВА 4. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1 Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие действия.

1. С помощью точек разобьем отрезок на частичных отрезков

2. В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т.е. величину

3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка:

4. Составим сумму всех таких произведений:

Сумма называется интегральной суммой функции на отрезке . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка:

5. Найдем предел интегральной суммы, когда так, что Если при этом интегральная сумма имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Таким образом,

Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, отрезок - областью (отрезком) интегрирования.

Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.

Теорема Коши: если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для нескольких разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения:

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

Это следует из того, что интегральная сумма , а следовательно и ее предел не зависит от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Для любого действительного числа

Пусть функция интегрируема на отрезке .

Теорема: если функция непрерывна на отрезке и какая-либо ее первообразная на , то имеет место формула

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке , надо найти ее первообразную функцию и взять ее разность значений этой первообразной на концах отрезка



ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

2.1 Схемы применения определенного интеграла

Пусть требуется найти значение какой - либо геометрической или физической величины (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т.д.), связанной с отрезком изменения независимой переменной x. Предполагается, что при разбиении отрезка точкой на части [a,c] и [c,b] значение величины , соответствующее всему отрезку равно сумме ее значений, соответствующих [a,c] и [c b]

Для нахождения этой величины можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

1. Точками разбить отрезок на частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина разобьется на «элементарных слагаемых» 2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:

.

При нахождении приближенного значения допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины в виде интегральной суммы:

3. Искомая величина равна пределу интегральной суммы, т. е.

Указанный «метод сумм» основан на представлении интеграла как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:

1) на отрезке а,b выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [a,xНа этом отрезке величина становится функцией , т. е. считаем, что часть искомой величины есть неизвестная функция , где - один из параметров величины ;

2) находим главную часть приращения при изменении x на малую величину , т. е. находим дифференциал d функции , где определяемая из условия задачи, функция переменной x (здесь также возможны различные упрощения);

3) считая, что при находим искомую величину путем интегрирования в пределах от до :

2.2 Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой, , где .

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

Покажем, что если функция и ее производная непрерывна на отрезке , то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками разобьем отрезок на частей (рис. 2). Пусть этим точкам соответствуют точки на кривой AB. Проведем хорды , длины которых обозначим соответственно через

Получим ломанную длина которой равна

2. Длину хорды (или звена ломаной) можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Д и Д:

где , .

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции

поэтому

а длина всей ломанной равна

3. Длина кривой AB, по определению, равна

Заметим, что при также и и, следовательно, . Функция непрерывна на отрезке так как, по условию, непрерывна функция Следовательно, существует предел интегральной суммы (1), когда :



Таким образом,

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

,

Где и - непрерывные функции с непрерывными производными и , , то длина кривой АВ находится по формуле

Формула (3) может быть получена из формулы (2) подстановкой

,

2.3 Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Пусть требуется найти объем тела, причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку проведем плоскость, перпендикулярную оси (рис. 3). Обозначим через площадь сечения тела этой плоскостью; считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении . Через обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости. Будем считать, что на отрезке величина есть функция от x, т. е.

2. Находим дифференциал функции Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось в точках , который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием и высотой . Поэтому дифференциал объема .

3. Находим искомую величину путем интегрирования в пределах от

.

Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Объем тела вращения.

Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком и прямыми и (рис. 4). Полученная от вращения фигура называется телом вращения.

Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси , проведенной через произвольную точку оси , есть круг с радиусом . Следовательно,

Применяя формулу (4) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми, то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (5), равен

2.4 Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции , где , а функция и ее производная непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси .

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку проведем плоскость, перпендикулярную оси . Плоскость пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом (рис. 5). Величина поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от , т.е.

и

2. Дадим аргументу приращение . Через точку также проведем плоскость, перпендикулярную оси . Функция получит приращение . Найдем дифференциал площади , заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна , а радиусы оснований равны и . Площадь его боковой поверхности равна

Отбрасывая произведение как бесконечно малую высшего порядка, чем получаем , или, так как

, то

3. Интегрируя полученное равенство в пределах получаем

.

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями то формула для площади поверхности вращения принимает вид

2.5 Вычисление площади плоской фигуры

Пусть функция непрерывна на сегменте Если на [a,b], то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, равна интегралу

Если же на то -- на Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой

Если, наконец, кривая пересекает ось Ох, то сегмент надо разбить на части, в пределах которых не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

2.6 Вычисление площади цилиндрической поверхности

Введем дугу в качестве параметра; тогда не только уравнения и кривой AB заменятся уравнениями и но и уравнение перейдет в уравнение . Впишем в кривую АВ ломаную и, в соответствии с этим, в кривую CD - ломаную , из трапеций составим призматическую поверхность, вписанную в рассматриваемую цилиндрическую поверхность. Под площадью цилиндрической поверхности будем понимать предел P площади Q призматической поверхности при стремлении к нулю наибольшей из частичных дуг. Полагая, что , имеем



Предел суммы будет вычисляться по формуле

в которой легко узнать интегральную сумму. Окончательно

Возвращаясь к произвольному параметру t, легко получить и общую формулу

Наконец, для случая явного задания кривой АВ: y=f(x) эта формула перепишется так:

определенный интеграл геометрический физический



3. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

3.1 Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси под действием переменной силы направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения в положение находится по формуле

3.2 Давление жидкости на вертикальную пластинку

По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой -- глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е.

,

где g -- ускорение свободного падения, -- плотность жидкости, S -- площадь пластинки, h -- глубина ее погружения.

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.

Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями , , и . Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).



1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р= р(х), т. е. р=р(х) -- давление на часть пластины, соответствующее отрезку значений переменной

2. Дадим аргументу х приращение Функция р(х) получит приращение Дp (на рисунке -- полоска-слой толщины dх). Найдем дифференциал dp этой функции. Ввиду малости dх будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной глубине х, т.е. пластинка эта -- горизонтальная.

Тогда по закону Паскаля

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х=а до х=b, получим

3.3 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек соответственное массами

Статическим моментом S_Х системы материальных точек относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох):

Аналогично определяется статистический момент этой системы относительно оси Oy:

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статического момента понадобится интегрирование.

Пусть у =f(х) (a ? х ? b) -- это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью (=const).

Для произвольного на кривой АВ найдется точка с координатами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содержащий точку (х;у). Тогда масса этого участка равна . Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента (“элементарный момент”) будет находиться по формуле:

Отсюда следует, что статический момент кривой АВ относительно оси Ох равен

Аналогично находим :

Статические моменты S_Х и S_У кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).

Центром тяжести материальной плоской кривой х в называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой у = f(х) относительно той же оси. Обозначим через С(х_с;у_с) центр тяжести кривой АВ.

Из определения центра тяжести следуют равенства и или и . Отсюда,

или



3.4 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченной кривой у=f(х)?0 и прямыми у=0, х=а, х =b) (рис 7).

Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна (=const). Тогда масса всей пластинки равна т.е.

Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.

Тогда масса его равна . Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка отстоит от оси Ох на , а от оси Оу на x (приближенно; точнее на расстоянии ). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения

Следовательно,

По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(), что .

Отсюда

Или



ГЛАВА 4. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задание 1. Найти длину окружности радиуса R

Решение: Найдем часть ее длины от точки (0;R). Так как

Задание 2. Найти объем эллипсоида

Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости и на расстоянии от нее , получим эллипс (рис. 1).

Площадь этого эллипса равна

Поэтому, по формуле (4) имеем

.

Задание 3. Вычислить объем V кругового конуса с радиусом основания r и высотой h

Решение: проведем через ось конуса секущую плоскость и выберем эту ось за ось х,считая начальной точкой вершину конуса; ось у проведем перпендикулярно к оси конуса. Уравнение образующей конуса будет

и по формуле

получим:

Задание 5: Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , , вокруг оси

Решение

Задание 5: Найти площадь поверхности шара радиуса R

Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y=, -R?x?R, вокруг оси Ox. По формуле

находим



Задание 5: пусть даны гипербола и на ней точка М(х,у). определить площадь криволинейных фигур AKM, OAM, OAML.

Решение: из уравнения гиперболы имеем

и по формуле

Так как то это выражение можно представить в более симметричной форме

Отсюда уже легко получить



Задание 6: Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания R м

Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна рН. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.

Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат.

1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной х (0 ? х ? Н), есть функция от х, т. е. А = А(х), где (0 ? х ? Н)( A(0)=0, A(H) = А₀).

2. Находим главную часть приращения ДA при изменении х на величину Дх = dx, т. е. находим дифференциал dА функции А(х).

Ввиду малости dх считаем, что “элементарный” слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dА=dрх, где dр -- вес этого слоя; он равен g АV, где g -- ускорение свободно гопадения, -- плотность жидкости, dv -- объем “элементарного” слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dр=g. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен , где dx -- высота цилиндра (слоя), -- площадь его основания, т.е. .

Таким образом, и

Интегрируя полученное равенство в пределах от х=0 до х=Н, находим

Задание 7: Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t)=10t+2 (м/с).

Решение: Если v(t)=10t+2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t =0) до конца 4-й секунды, равен

Задание 8: Определить величину давления воды на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды.

Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения давления жидкости на вертикальную пластинку. В данном случае пластинка ограничена линиями

, x=0, x=R.

Задание 9: Найти статический момент обвода эллипса относительно оси х (предполагая a>b).

Решение: для верхнего (или нижнего) полуэллипса этот момент только отсутствием множителя 2р отличается от величины соответствующей поверхности вращения. Поэтому

Задание 10: найти статические моменты и координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболой осью х и ординатой, соответствующей абсциссе х.

Решение: так как , то

С другой стороны, площадь

В таком случае



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баврин И.И. Высшая математика - М.: Просвещение, 1993. - 319.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2 -М.: Наука, 1985.- 560с.

3. Фихтенгольц Том 2

4. Шипачёв В.С. Высшая математика - М: Наука, 2003 - 684c.

Размещено на Allbest.ru