Побудова багатофакторної економетричної моделі методом найменших квадратів

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Постановка задачі

Побудувати багатофакторну економетричну модель в залежності від доходу фірми (Y) тис.грн. від заробітної платні (Х₁) тис. грн., обсягу трудових ресурсів (Х₂) тис. людино-днів, коефіцієнт плинності (Х₃) %. Оцінити адекватність моделі її значущість, і розрахувати інтервальні прогнози доходу фірми на 3 роки.

N	Дохід, тис.грн. (Y)	Заробітна плата, тис.грн. (X1)	Обсяг трудових ресурсів, тис. людино-днів (X2)	Коефіцієнт плинності,% (X3)
1	56,67	13,51	14,01	10,8
2	63,31	9,42	11,05	13,8
3	68,61	10,5	11,9	12,6
4	56,29	11,51	12,8	8,3
5	81,68	11,54	12,4	11,9
6	78,69	11,95	12,7	18,2
7	85,62	11,98	14,4	15,45
8	94,48	12,1	13,9	13,1
9	99,68	12,98	14,5	13,9
10	105,68	13,07	13,7	10,6
11	113,36	13,15	14,8	11,9
12	102,34	13,3	7,9	10,6
13	119,38	13,78	15,9	13,3
14	127,68	14,4	16,2	14
15	143,61	16,27	15,8	12,9
16	138,55	16,4	17,5	14
17	155,71	16,6	17,9	15,4
18	168,61	18,4	18,4	24,8

2. Розрахунок системи нормальних рівнянь і визначення оцінок параметрів моделі двома способами. Зміст оцінок параметрів

Нехай залежність між прибутком, заробітною платнею, обсягом трудових ресурсів та коефіцієнтом плинності кадрів подається прямою:

,

де - параметри моделі;

Y_t - вектор прибутку;

Х₁, Х₂, Х₃ - відповідно обсяг заробітної плати, обсяг трудових ресурсів та коефіцієнт плинності;

u_t - вектор залишків.

І спосіб

Розраховується за допомогою ЕОМ, а саме MS Excel та продукту «Поиск решения».

Висновок: економетрична модель має такий вигляд Y = - 99,83 + 12,73X₁ + 0,29Х₂ + 2,22Х₃ + u_t і це кількісно описує зв'язок між прибутком та іншими показниками. Таким чином при збільшенні параметрів , , граничний розмір доходу становить - 99,83 тис. грн., що свідчить про збиток на підприємстві.

Також ми можемо розрахувати коефіцієнт еластичності доходу від інших показників, а саме:

, ,

Ш від заробітної плати робітників: ;

Ш від обсягу трудових ресурсів: ;

Ш від значення коефіцієнта плинності: .

Знаючи коефіцієнти еластичності кожного з факторів, можна дійти висновку, що зі збільшення величини заробітної плати на 1% дохід підприємства зросте на 1,73%; зі збільшенням обсягу трудових ресурсів на 1% дохід зросте на лише 0,04%; а зі збільшенням коефіцієнта плинності на 1% дохід зросте на 0,3%. Отже, найбільший вплив на величину доходу підприємства має розмір заробітної плати, а найменший -- обсяг трудових ресурсів.

Певні висновки про вплив окремих чинників на результативну ознаку у разі лінійної моделі множинної регресії можна зробити на основі розрахунку частинних бета-коефіцієнтів, які для багатофакторної моделі задаються формулою:

Але спочатку потрібно обчислити дисперсії незалежних та залежних змінних:



Отже, на 0,798 стандартизованих відхилень зросте дохід підприємства, якщо розмір заробітної плати зросте на одне стандартизоване відхилення при незмінності інших факторів; якщо ж обсяг трудових ресурсів зросте на одне стандартизоване відхилення, то величина доходу зросте лише на 0,024 стандартизованих відхилень; і при зростанні коефіцієнта плинності на одиницю -- дохід теж збільшиться на 0,197. Найбільший вплив на дохід підприємства має зміна заробітної плати.

ІІ спосіб:

Матричний метод

система нормальних рівнянь (СНР)

де Х' - транспонована матриця.

Розрахунок проводимо за допомогою MS Excel та продукту «Поиск решения».

1) Транспонуємо матрицю Х:

2) Виконуємо множення матриць :



4) Обернена матриця:

5)

Отже, дістанемо економетричну модель доходу підприємства в лінійній формі

Y = - 99,83 + 12,73X₁ + 0,29Х₂ + 2,22Х₃ + u_t.

3. Перевірка адекватності моделі

багатофакторна економетрична модель

3.1 Розрахунок загального коефіцієнта детермінації

Знаходимо оцінку адекватності моделі за загальним коефіцієнтом детермінації за такою формулою:

Дані для розрахунку беремо з таблиці 1.

Оскільки коефіцієнт детермінації , це свідчить про те, що варіація величини прибутку на 67% визначається варіацією обсягу заробітної плати, обсягу трудових ресурсів та коефіцієнта плинності, а на 33% припадає на інші фактори.

Далі обчислюємо дисперсію залишків за такою формулою:

.

Дисперсія залежної змінної (у), тобто доходу:

.

3.2 Розрахунок скорегованого коефіцієнта детермінації

Таким чином можна зробити висновок, що існує істотний вплив на величину доходу підприємства.

3.3 Визначення часткових коефіцієнтів детермінації

Отже, якщо з моделі виключити фактор заробітної плати, то зменшення загального коефіцієнта детермінації буде найбільшим, аж на 43,32%. А якщо з моделі виключити фактор обсягу трудових ресурсів, то зміна загального коефіцієнта буде найменшою, лише 0,36%.

3.4 Розрахунок загального коефіцієнта кореляції

Розраховуємо коефіцієнт кореляції таким чином:

.

Отже, коефіцієнт кореляції показує, що існує тісний зв'язок між цими соціально-економічними показниками.

4. Перевірка значущості параметрів і моделі

1) Перевірка значущості параметрів:

, де б = 0,05.

За допомогою MS Excel і продукту «Поиск решения» (функція «Статистические» --> «СТЬЮДРАСПОБР»), де б = 0,05, ступенів свободи - 11 (n-m-1), значень критерію Стьюдента . Інші дані беремо з попередніх розрахунків по І-му способу.

=>

=>

=>

=>

2,25 > 2,201 =>

3,8 > 2,201 =>

0,11 < 2,201 =>

1,08 < 2,201 =>

Отже, з імовірністю 0,95 параметри а₀, а₁ -- значущі, а інші параметри, зокрема, а₂, а₃ -- незначущі.

2) Перевірка значущості моделі:

, де

n = 15

m - число Х-ів.

При б = 0,05.

Відповідно до розрахунку значення критерію Фішера 3,587.

Тоді , тобто , а це означає що дана модель значуща.

5. Розрахунок дисперсійно-коваріаційної матриці

,

де

Або

6. Розрахунок інтервальних прогнозів математичного сподівання залежної змінної і її індивідуального значення на три роки. Оцінка точності прогнозів

Економетрична модель: Y = - 99,83 + 12,73X₁ + 0,29Х₂ + 2,22Х₃.

1) розраховуємо точковий прогноз:

2) розраховуємо дисперсію похибки прогнозу:

-- стандартна похибка

=>

=>

=>

3) знаходимо інтервальний прогноз для , при цьому нехай б = 0,05, ступінь свободи (n - m - 1), тоді значення критерію Стьюдента .

1.

2.

3.

Отже, виходячи з інтервального прогнозу максимально можливий рівень доходу з імовірністю 0,95 буде коливатися в межах (тис.грн.) і такий розподіл припадає на останній розрахунковий період.

4) обчислимо дисперсію і стандартну похибку прогнозу індивідуального значення:



=>

=>

=>

5) визначимо інтервальний прогноз індивідуального значення:

1.

2.

3.

Отже, за інтервального прогнозу індивідуального значення з імовірністю 0,95 середнє індивідуальне значення величини доходу третього року буде коливатися в межах (тис.грн.) і це максимальний дохід підприємства.

6) розраховуємо середню відносну похибку прогнозу:

Дані для подальшого розрахунку беремо з табл.2.

Так як похибка прогнозу менше 10% це свідчить про високу якість прогнозу.

7) визначення коефіцієнта невідповідності Тейла:

Так як коефіцієнт Тейла наближається до нуля, то прогноз моделі є якісним.

Висновки

Отже, в ході розрахунку даної лабораторної роботи було знайдено такі результати:

1. Економетрична модель розрахована за двома способами має такий вигляд

Y = - 99,83 + 12,73X₁ + 0,29Х₂ + 2,22Х₃ + u_t.

2. Розрахувавши коефіцієнти еластичності кожного з факторів, ми дійти такого висновку, що зі збільшення величини заробітної плати на 1% дохід підприємства зросте майже вдвічі на 1,73%; зі збільшенням обсягу трудових ресурсів на 1% дохід зросте на лише 0,04%; а зі збільшенням коефіцієнта плинності на 1% дохід зросте на лише 0,3%. Отже, найбільший вплив на величину доходу підприємства має розмір заробітної плати.

3. На основі розрахунку частинних бета-коефіцієнтів: , ,, ми дійшли висновку, на 0,798 стандартизованих відхилень зросте дохід підприємства, якщо розмір заробітної плати зросте на одне стандартизоване відхилення при незмінності інших факторів; якщо ж обсяг трудових ресурсів зросте на одне стандартизоване відхилення, то величина доходу зросте лише на 0,024 стандартизованих відхилень; і при зростанні коефіцієнта плинності на одиницю -- дохід теж збільшиться на 0,197. Найбільший вплив на дохід підприємства має зміна заробітної плати.

4. Провівши перевірку адекватності моделі декількома коефіцієнтами ми дійшли такого висновку:

Ш загальний коефіцієнт детермінації , а це означає, що 67% варіації доходу залежить від варіації рівня заробітної плати, обсягу трудових ресурсів та коефіцієнта плинності, а 33% припадає на інші фактори;

Ш скорегований коефіцієнт детермінації , що говорить про те, що існує істотний вплив на величину доходу підприємства.;

Ш часткові коефіцієнти детермінації становлять , , . Таким чином, якщо ж з моделі виключити фактор заробітної плати, то зменшення загального коефіцієнта детермінації буде найбільшим, аж на 43,32%. А якщо з моделі виключити фактор обсягу трудових ресурсів, то зміна загального коефіцієнта буде найменшою, лише 0,36%;

Ш загальний коефіцієнт кореляції і це свідчить про те, що існує тісний зв'язок між цими соціально-економічними показниками;

5. Дисперсія залишків , а дисперсія залежної змінної .

6. Використавши значення критеріїв Стьюдента та Фішера було проведено перевірку значущості параметрів та моделі, в результаті чого виявилось, що з імовірністю 0,95 параметри а₀, а₁ -- значущі, а інші параметри, зокрема, а₂, а₃ -- незначущі.. Дана модель є також значущою.

7. Дисперсійно-коваріаційна матриця має такий вигляд

, де , , ,

8. Далі було розраховано різні прогнози доходу підприємства та його можливі похибки на 3 роки:

Ш за результатом точкового прогнозу тис.грн., тис.грн., тис.грн., і тому максимальна величина доходу буде становити 194,71 тис. грн. у третьому році;

Ш стандартні похибки на заданий період відповідно дорівнюють

, , ;

Ш за результатом інтервального прогнозу дохід підприємства за різними роками буде в знаходитися в таких межах:

Виходячи з поданого інтервального прогнозу максимально можливий рівень доходу з імовірністю 0,95 буде коливатися в межах (тис.грн.) і такий розподіл припадає на останній розрахунковий період;

Ш стандартні похибки прогнозу індивідуального значення мають такий вигляд

, , ;

Ш за результатом інтервального прогнозу індивідуальних значень дохід буде коливатися в таких межах:

А отже, з імовірністю 0,95 середнє індивідуальне значення величини доходу матиме максимальне значення межах (тис.грн.) , що припадає на останній розрахунковий період;

Ш середня відносна похибку прогнозу ( що менше 10%) і коефіцієнт Тейла наближається до нуля (), тому якість прогнозує є високою. А це є свідченням того, що дану економетричну модель можна використовувати для ефективного прогнозування, враховуючи всі можливі зміщення прогнозу.

Размещено на Allbest.ru