Вероятностный эксперимент состоит в том, что внутри квадрата выбирается наугад точка. Рассмотрим три события:

А = { выбранная точка лежит внутри круга А }.

B = { выбранная точка лежит внутри круга В }.

C = { выбранная точка лежит внутри круга С }.

Заштриховать области, соответствующие событиям:

АВС, , , AB - C

Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сброшено четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0.3, 0.4, 0.6, 0.7.

Решение:

Рассмотрим события:

A = {попадание хотя бы одной бомбы}

С_k = {попадание k-й бомбы}

Ответ: P (A) = 0.9496

Задача №6

Производится стрельба по цели одним снарядом. Цель состоит из трех частей, площади которых равны S₁, S₂, S₃ (S₁+S₂+S₃=S). Для попавшего в цель снаряда вероятность попадания в ту или другую часть пропорционально площади части. При попадании в первую часть цель поражается с вероятностью P₁, во вторую - с вероятностью P₂, в третью - P₃. Найти вероятность поражения цели, если известно, что в нее попал один снаряд.

Решение:

Рассмотрим событие:

A = {цель поражена}

Гипотезы:

H_k = {снаряд попал в k-ю часть}

P (H₁) = S₁/S

P (H₂) = S₂/S

P (H₃) = S₃/S

P (A|H₁) = P₁

P (A|H₂) = P₂

P (A|H₃) = P₃

Искомую вероятность найдем по формуле полной вероятности:

P (A) = P (H₁) •P (A|H₁) + P (H₂) •P (A|H₂) + P (H₃) •P (A|H₃) =

= S₁/S• P₁+ S₂/S• P₂+ S₃/S• P₃

Ответ: S₁/S• P₁+ S₂/S• P₂+ S₃/S• P₃

Задача №7

У рыбака имеется три места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью. Если он закидывает удочку на I-м месте, то рыба клюет с вероятностью 0.3, на 2-м - 0.4 и на 3-м - 0.5. Известно, что рыбак закинул удочку и рыба клюнула. Найти вероятность того, что он удил на первом месте.

Решение: Рассмотрим событие

A = {рыбак словил рыбу}

Гипотезы:

H_k = {рыбак удил на k-м месте}

P (H₁) = P (H₂) = P (H₃) = 1/3

P (A|H₁) = 0.3

P (A|H₂) = 0.4

P (A|H₃) = 0.5

Искомая вероятность:

Ответ: 0.25.

Задача №8

Вероятность выигрыша по одной облигации трехпроцентного займа равна 0.25. Найти вероятность того, что из восьми купленных облигаций выигрышными окажутся не менее двух.

Решение:

События:

A = {из восьми облигаций выигрышными окажутся не менее двух}

A₁= {из 8 облигаций выигрышными окажутся 2}

A₂= {из 8 облигаций выигрышными окажутся 3}

A₃= {из 8 облигаций выигрышными окажутся 4}

A₄= {из 8 облигаций выигрышными окажутся 5}

A₅= {из 8 облигаций выигрышными окажутся 6}

A₆= {из 8 облигаций выигрышными окажутся 7}

A₇= {из 8 облигаций выигрышными окажутся 8}

Найдем вероятности по формуле Бернулли (p=0.25; q=0.75):

Ответ: P (A) = 0.633

Задача №9

Депо производит ремонт вагонов. Вероятность того, что ремонт будет произведен со сдачей с первого предъявления, равна 0.58. Найти вероятность того, что из 100 вагонов, отремонтированных в депо:

а) ровно 70 вагонов будут сданы с первого предъявления;

б) от 80 до 90 вагонов будут сданы с первого предъявления.

Решение:

а) по условию задачи проводится n=100 независимых испытаний (проверка качества ремонта) и вероятность появления “успеха" (ремонт произведен со сдачей с первого предъявления) в каждом испытании p = 0.58; соответственно вероятность “неудачи” q = 1-p = 0.42

Для нахождения искомой вероятности события

А={ ровно 70 вагонов из 100 будут сданы с первого предъявления }

воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа:

Следовательно, вероятность интересующего нас события Р (А) =Р₁₀₀ (70) ?0.0042

б) для вычисления вероятности события

В={ с первого предъявления будет сдано от 80 до 90 вагонов}

воспользуемся формулой Муавра-Лапласа:

Ответ: a) P (A) =0.0208; б) P (B) =0.0189

Размещено на Allbest.ru