Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Формулировка комбинаторных правил суммы и произведения. Четыре комбинаторных схемы выбора. Формулы для числа размещений и сочетаний в разных схемах выбора. Число перестановок

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает - «сочетать», «соединять».

Правило суммы

Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (m+n) способами.

При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-либо способом выбора объекта В.

Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем лишь (m + n - k) способов выбора, где k-число совпадений.

Правило произведения

Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.

При этом число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент.

Перестановки

Перестановки без повторений - комбинаторные соединения, которые могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов.

Формула для нахождения количества перестановок без повторений:

Перестановки с повторениями - комбинаторные соединения, в которых среди образующих элементов имеются одинаковые. В таких участвуют несколько типов объектов, причём имеется некоторое количество объектов каждого типа. Поэтому в выборках встречаются одинаковые.

Размещения

2. Испытания и события. Виды и типы событий. Пространство элементарных событий. Определения суммы, произведения и разности событий, противоположного события. Изображение событий на диаграммах Эйлера-Венна

комбинаторный эйлер произведение

Диаграммы Эйлера-Венна - геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его - кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В:

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

3. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности. Вывод свойств вероятности из определений. Ограниченность классических определений вероятности

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей (см. 8) и, конечно, использованием аксиоматической вероятности.

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения (см. 3), сохраняются и при статистическом определении вероятности. Действительно, если событие достоверно, то m = n и относительная частота m / n = n / n = 1, т.е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице.

Если событие невозможно, то m = 0 и, следовательно, относительная частота 0 / n = 0, т.е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.

Для любого события 0 <= m <= n и, следовательно, относительная частота 0 <= m / n <= 1, т.е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Для существования статистической вероятности события А требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведенном примере в качестве вероятности события можно принять не только 0,4, но и 0,39; 0,41 и т.д.

4. Вероятностное пространство (Щ, S, Р). Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Описание конечного вероятностного пространства в аксиоматике Колмогорова

Вероятностное пространство - это тройка , где:

·  - это множество объектов , называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход , который произошел в данной реализации опыта.

·  - это некоторая зафиксированная система подмножеств , которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие , то говорят, что в данной реализации событие произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:

o Пустое множество должно быть событием, то есть принадлежать . Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.

o Все множество также должно быть событием: . Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.

o Совокупность событий должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если и , тогда должно быть , , . Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.

o В дополнение к указанным свойствам, система должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если , тогда должно быть и .

·  - это числовая функция, которая определена на и ставит в соответствие каждому событию число , которое называется вероятностью события . Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:

o для любого

o ,

o Если и  - события, причем , тогда (свойство аддитивности).

o Если , причем Если для любых Если , тогда должно быть (свойство сигма-аддитивности).

Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры:

· Если и , тогда .

· Если и , тогда .

· Если , и , тогда .

Пусть - множество элементов , которые называются элементарными событиями, а - множество подмножеств , называемых случайными событиями (или просто - событиями), а - пространством элементарных событий.

· Аксиома I (алгебра событий). является алгеброй событий.

· Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию x из поставлено в соответствие неотрицательное действительное число , которое называется вероятностью события x.

· Аксиома III (нормировка вероятности). .

· Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события x и y не пересекаются, то

.

Совокупность объектов , удовлетворяющая аксиомам I-IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I-IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: состоит из единственного элемента , - из и множества невозможных событий (пустого множества) , при этом положено . Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

Вероятностные пространства (в расширенном смысле и бесконечные)

Аксиома непрерывности - это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство , которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I-IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий конечна, аксиома V следуeт из аксиом I-IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I-V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I-IV.

Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I-IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля - вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

Алгебра событий пространства элементарных событий Щ называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы событий x_n из принадлежат . В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют у-алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле . Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра , содержащая . Более того, справедлива

Теорема (о продолжении). Определённую на неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства , которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.

5. Условная вероятность. Определение зависимых и независимых событий. Попарная независимость событий и независимость в совокупности

Независимость событий - ключевое понятие теории вероятностей; определяется относительно вероятностной меры; отличает теорию вероятностей, как теорию нормированной меры, от общей теории меры; выделяет теорию вероятностей в самостоятельную математическую дисциплину.

Независимость событий

Пусть - вероятностное пространство. Два события называются независимыми, если

События из произвольного множества называются независимыми, если

Независимость событий в совокупности

События из произвольного множества называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества событий

из попарной независимости событий не следует их независимость в совокупности.

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: Р_A (В) = Р (В).

Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) Р_A (В) имеет вид Р (АВ) = Р (А) Р (В), т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство принимают в качестве определения независимых событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события A₁, A₂, А₃, независимы в совокупности, то независимы события A₁ и А₂, А₁ и А₃, А₂ и A₃; А₁ и A₂A₃, A₂ и A₁A₃, А₃ и A₁A₂. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.

Размещено на Allbest.ru