Дифференциальные уравнения механических колебаний. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФГОУ ВПО

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. П.А.КОСТЫЧЕВА

КАФЕДРА «Высшая математика»

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Дифференциальные уравнения механических колебаний. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний».

Рязань, 2011



Содержание

Введение

1. Дифференциальное уравнение механических колебаний

2. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний

2.1 Запись гармонических колебаний в комплексной форме

2.2 Запись гармонических колебаний в векторной форме

3. Вынужденные колебания. Резонанс

3.1 Вынужденные колебания

3.2 Резонанс

Заключение

Решение задачи

Список литературы



Введение

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например, качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и другие. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д. У. Релеем (1842-1919), А.Г. Столетовым, русским инженером-экспериментатором П.Н. Лебедевым (1866-1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли: Л.И. Мандельштам (1879-1944) и его ученики.



1. Дифференциальное уравнение механических колебаний

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 1).

Рис.1

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными.

В этом разделе и следующих мы рассмотрим одну задачу прикладной механики, исследовав и разрешив ее с помощью дифференциальных уравнений.

Пусть груз массы Q покоится на упругой рессоре (рис. 2).

Рис. 2

Отклонение груза от положения равновесия обозначим через y. Отклонение вниз будем считать положительным, вверх - отрицательным. В положение равновесия вес уравновешивается упругостью пружины. Предположим, что сила, стремящаяся вернуть груз в положение равновесия, - так называемая восстанавливающая сила - пропорциональна отклонению, т. е. равна - ky, где k - некоторая постоянная для данной рессоры величина (так называемая «жесткость рессоры»).

Предположим, что движению груза Q препятствует сила сопротивления, направленная в сторону, противоположную направлению движения, и пропорциональная скорости движения груза относительно нижней точки рессоры, т. е. сила -?? = -? , где ? = const? 0 (амортизатор). Напишем дифференциальное уравнение движения груза на рессоре. На основании второго закона Ньютона будем иметь:

(1)

(здесь k и ? - положительные числа). Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Это уравнение можно переписать так:

(1)

где обозначено ? = ?/Q,q = k/Q.

Предположим, далее, что нижняя точка рессоры совершает вертикальные движения по закону z = (t). Это, например, будет иметь место, если нижний конец рессоры прикреплен к катку, который вместе с рессорой и грузом движется по неровности (рис. 3).



Рис. 3

В этом случае восстанавливающая сила будет равна неky, а , сила сопротивления будет , и вместо уравнения (1) мы получим уравнение:

(2)

Или

(2)

где обозначено

Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Уравнение () называют уравнением свободных колебаний, уравнение () - уравнением вынужденных колебаний.



2. Свободные колебания. Векторное и комплексное

изображение гармонических колебаний

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями (рис.4 и 5)

Рис.4. Колебания груза на пружине. Трения нет.

Рис.5 Математический маятник. ? - угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = l? - смещение маятника по дуге.

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам :

· Колебания встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;

· Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.

Рассмотрим сначала уравнение свободных колебаний

(1)

Напишем соответствующее характеристическое уравнение

и найдем его корни:

1) Пусть Тогда корни - действительные отрицательные числа. Общее решение выражается через показательные функции:

(2)

Из этой формулы следует, что отклонение при любых начальных условиях асимптотически стремится к нулю, если В данном случае колебаний не будет, так как силы сопротивления велики по сравнению с коэффициентом жесткости рессоры

2) Пусть тогда корни равны между собой (и равны отрицательному числу ). Поэтому общее решение будет

(3)

Здесь отклонение также стремится к нулю при , однако не так быстро, как в предыдущем случае (благодаря наличию сомножителя ).

3) Пусть то есть отсутствует сила сопротивления. Уравнение (1) примет вид

(4)

аракткристическое уравнение имеет вид а его корни равны Общее решение

(5)

В последней формуле произвольные постоянные заменим другими. Именно, введем постоянные связанные с соотношениями

, .

через определяются так:

, .

Подставляя значения в формулу (5), будем иметь



Или

(6)

Колебания в этом случае называются гармоническими. Интегральными кривыми являются синусоиды. Промежуток времени , за который аргумент синуса изменяется на , называется периодом колебаний; в данном случае Частотой колебания называется число колебаний за время ; в данном случае частота равна ; - величина наибольшего отклонения от положения равновесия - называется амплитудой колебания; называется начальной фазой. График функции (6) изображен на рис.6

Рис.6

В электротехнических и других дисциплинах широко используют комплексное и векторное изображения гармонических колебаний.

2.1 Запись гармонических колебаний в комплексной форме

Рассмотрим в комплексной плоскости радиус- вектор постоянной длины Конец вектора при изменении параметра t (в данном случае t - время) описывает окружность радиуса с центром в начале координат (рис.7)

Рис.7

Пусть угол ?, образованный вектором и осью , выражается так: Величина называется угловой скоростью вращения вектора . Проекции вектора на оси и

, . (7)

Выражения (7) суть решения уравнения (4).

Рассмотрим комплексную величину

Или

(8)

В декартовой системе координат действительную часть комплексного числа обычно откладывают по оси абсцисс, а мнимую - по оси ординат (см. рис.7). Следовательно, любое комплексное число можно представить в виде вектора A на комплексной плоскости, проведенного из начала координат в точку с координатами {x; y}.

Таким образом, решения уравнения гармонических колебаний (4) можно рассматривать как проекции вектора на оси и , вращающегося с угловой скоростью при начальной фазе

Пользуясь формулой Эйлера 

e^i? = cos ? +i·sin ?,

где i = (-1)^1/2 - мнимая единица, выражение (8) можно переписать так:

(9)

Мнимая и действительная части выражения (9) являются решениями уравнения (4). Выражение (9) называется комплексным решением уравнения (4). Перепишем выражение (9) так:

. (10)

Выражение называют комплексной амплитудой. Обозначим ее через . Тогда комплексное решение (10) перепишется так:

. (11)

4) Пусть . В этом случае корни характеристического уравнения - комплексные числа

где



Общий интеграл имеет вид

(12)

Или

(13)

Здесь в качестве амплитуды приходится рассматривать величину , зависящую от времени. Так как , то она стремится к нулю при , то есть здесь мы имеем дело с затухающими колебаниями. График затухающих колебаний изображен на рис.8.

Рис.8

2.2 Запись гармонических колебаний в векторной форме

Гармонические колебания можно изображать с помощью векторных диаграмм. Этот метод состоит в следующем. От начала оси абсцисс проводится вектор А, проекция которого на ось 0X равна Асоs (рис.9).

Рис.9



Если вектор А равномерно вращается с угловой скоростью против часовой стрелки, то + _о = , где _о - начальная фаза, и проекция вектора А на ось 0X изменяется со временем по гармоническому закону:



3. Вынужденные колебания. Резонанс

3.1 Вынужденные колебания

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными. Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения. После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время ?t для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания свободных колебаний в колебательной системе. В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса - вынужденные колебания на частоте и свободные колебания на собственной частоте .

Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте внешней вынуждающей силы. Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 10). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 10) конец пружины перемещаться по закону:

где - амплитуда колебаний, - круговая частота.



Рис. 10. Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону - длина недеформированной пружины, - жесткость пружины.

Уравнение вынужденных колебаний имеет вид

(1)

Рассмотрим практически важный случай, когда возмущающая внешняя сила является периодической и изменяется по закону

Тогда уравнение (1) примет вид

(1')

1) Предположим сначала, что и , то есть корни характеристического уравнения - комплексные числа В этом случае (см. формулы (12) и (13) выше) общее решение однородного уравнения имеет вид

(2)



Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме

(3)

Подставляя это выражение в исходное дифференциальное уравнение, находим значения и :

Прежде чем подставить найденные значения и в равенство (3), введем новые постоянные и , положив

то есть

Тогда частное решение неоднородного уравнения можно записать в форме

или окончательно



Общий интеграл уравнения (1) равен то есть

Первый член суммы, стоящей в правой части (решение однородного уравнения), представляет затухающие колебания; при увеличение t он убывает, и, следовательно, через некоторый промежуток времени главное значение будет иметь второй член, определяющий вынужденные колебания. Частота этих колебаний равна частоте внешней силы f(t); амплитуда вынужденных колебаний тем больше, чем меньше p и чем ближе к q.

Исследуем подробнее зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях p. Для этого обозначим амплитуду вынужденных колебаний через :

дифференциальный механический колебание резонанс

Положим ( при p=0 равнялась бы частоте собственных колебаний). Тогда

Введем обозначения



где - отношение частоты возмущающей силы к частоте свободных колебаний системы, а постоянная не зависит от возмущающей силы. Тогда величина амплитуды будет выражаться формулой

Найдем максимум этой функции. Он, очевидно, будет при том значении , при котором квадрат знаменателя имеет минимум. Но минимум функции

(5)

достигается при

и равен

Следовательно, максимальная величина амплитуды равна

Графики функций при различных значениях показаны на рисунке 11 (для определенности при построении графиков положено ). Эти кривые называются кривыми резонанса.

Рис.11

Из формулы (5) следует, что при малых максимальное значение амплитуды достигается при значениях , близких к единице, то есть когда частота внешней силы близка к частоте свободных колебаний. Если (следовательно, ), то есть если отсутствует сопротивление движению, амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает при , то есть при :

При имеет место явление резонанса.

2) Предположим теперь, что , то есть рассмотрим уравнение упругих колебаний без сопротивления при наличии периодической внешней силы

(6)



Общее решение однородного уравнения

Если , то есть если частота внешней силы не равна частоте собственных колебаний, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид

Подставляя это выражение в исходное уравнение, найдем

Общее решение есть

Таким образом, движение получается в результате наложения собственного колебания с частотой и вынужденного колебания с частотой .

Если , то есть частота собственных колебаний совпадает с частотой внешней силы, то функция (3) не является решением уравнения (6). В этом случае (в соответствии с ЛНДУ II порядка) частное решение надо искать в форме



Подставляя это выражение в уравнение, найдем и :

Следовательно,

Общее решение будет иметь вид

Второй член, стоящей в правой части, показывает, что в этом случае амплитуда колебания неограниченно возрастает при неограниченном возрастании времени t. Это явление, имеющее место при совпадении частоты собственных колебаний системы с частотой внешней силы, называется резонансом.

График функции изображен на рисунке 12.

Рис.12



3.2 Резонанс

Если постепенно увеличивать частоту вынуждающей силы то рано или поздно мы увидим, что когда частота вынуждающей силы приблизится к собственной частоте колебательной системы, то амплитуда колебаний резко возрастает. Амплитуда колебаний максимальна, когда частота вынуждающей силы равна собственной частоте колебательной системы. При дальнейшем росте частоты вынуждающей силы амплитуда колебаний уменьшается.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при равенстве частот вынуждающей силы и собственной частоты колебательной системы называется резонансом. В чем причина явления резонанса, почему растет амплитуда колебаний, когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте.

Совпадение частот означает, что сила упругости действует «в такт» с вынуждающей силой. Если сила упругости и вынуждающая сила в какие-то моменты действуют в одном направлении, то они складываются и их действие усиливается. И даже если вынуждающая сила мала, она все равно приведет к росту амплитуды. Ведь эта малая сила будет добавляться к силе упругости каждый период.

Явление резонанса может быть полезным, поскольку оно позволяет получить даже с помощью малой силы большое увеличение амплитуды колебаний. С другой стороны, резонанс может оказаться вредным и даже опасным. Если, например, на фундаменте установлена машина, в которой какие-нибудь части совершают периодические движения, то колебания передаются фундаменту и он будет совершать вынужденные колебания. Фундамент - это тоже колебательная система со своей собственной частотой. И если частота периодических движений совпадает с собственной частотой фундамента, то амплитуда его колебаний может возрасти настолько, что это приведет к его разрушению.

Известно несколько исторических примеров, например, в XIX в. обрушился Египетский мост в Петербурге. По мосту шел в ногу отряд кавалергардов. Ритм их строевого шага случайно совпал с собственной частотой сооружения, амплитуда вынужденных колебаний стала резко возрастать, смещения превысили расчетную критическую величину - и мост не выдержал.

Именно поэтому с опасными результатами резонанса нужно бороться, т. е. его не допускать. Для этого заранее рассчитывают частоты колебаний машин, фундаментов, средств транспорта и т.д., с тем, чтобы при обычных условиях их эксплуатации резонанс не мог наступить.

С явлением резонанса мы встречаемся и в повседневной жизни. Если в комнате задребезжали оконные стекла при проезде по улице тяжелого грузовика, то это значит, что собственные частоты колебаний стекла совпали с частотой колебаний машины.



Заключение

Областью применения колебаний служат многие изобретения человека: от музыкальных инструментов и акустических динамиков до эхолотов и ультразвуковых диагностических аппаратов. Познакомимся с последним: ультразвуковая диагностика.

Ультразвук - это механические колебания высокой частоты (более 20 000 Гц). Такие колебания человеческий слух не воспринимает. В ультразвуковой диагностике обычно применяют частоты от 2 до 20 МГц. Датчик состоит из одного или нескольких пьезоэлектрических элементов, которые превращают акустические и механические колебания в электрические и обратно. Его прикладывают к поверхности кожи, на которую нанесен слой геля, обеспечивающего хороший акустический контакт. Электрический сигнал, подаваемый на датчик, преобразуется им в механические колебания, они и распространяются вглубь тканей. На границах тканями волны преломляются и отражаются, создавая эхо сигнал, возвращающийся к датчику. Там он вновь превращается в электрический и после обработки формирует изображение внутренних органов пациента на экране монитора.

Ультразвуковой аппарат, соединенный с компьютером, - это уже ультразвуковой томограф. Во многих случаях он может успешно заменить рентгеновский томограф и, в отличие от последнего, не оказывают вредного воздействия на организм.

Звук обуславливается механическими колебаниями в упругих средах и телах, частоты которых лежат в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц , то есть, которые способно воспринимать человеческое ухо. Неслышимые механические колебания с частотами ниже звукового диапазона называются инфразвуковыми, а с частотами выше звукового диапазона называются ультразвуковыми. Звук, который мы слышим тогда, когда источник его совершает гармоническое колебание, называется музыкальным тоном. Во всяком музыкальном тоне мы можем различить на слух два качества: громкость и высоту. Наблюдения убеждают нас в том, что тона какой-либо данной высоты определяется амплитудой колебаний. Высота тона определяется частотой колебаний. Чем выше частота и, следовательно, чем короче период колебаний, тем более высокий звук мы слышим.

Если бы в современной физике не было таких понятий как, механические колебания, то мы не знали бы, почему мы слышим друг друга, Томас Эдисон не изобрел бы телефон и фонограф, и их бы не было в нашей повседневной жизни.



Список литературы

1. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗОВ. Том II 1985 г.»;

2. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗОВ. Том I 1985 г.»;

3. И. В. Савельев «Курс общей физики, том 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. 1970 г.»

Размещено на Allbest.ru