Теорема Пифагора и способы ее доказательства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное бюджетное нетиповое общеобразовательное учреждение «Городской классический лицей»

Научно-практическая конференция исследовательских работ учащихся

«Лицейские чтения-2012»

Секция «Математика»

Теорема Пифагора и способы её доказательства

Автор: Люц Анастасия Александровна

Класс: 8 «В», МБНОУ «Городской классический лицей»

Город: Кемерово

Научный руководитель:

Борздун Ольга Владимировна,

учитель математики МБНОУ «Городской классический лицей»

Содержание

1. Актуальность, цели и задачи

1.1 Цель работы

1.2 Задачи работы

2. История открытия. Исторические сведения

2.1 Карикатуры

2.2 Формулировки теоремы

3. Способы доказательства теоремы

3.1 Древнекитайское доказательство

3.2 Древнеиндийское доказательство

3.3 Алгебраическое доказательство теоремы (1), (2)

3.4 Простейшее доказательство

3.5 Теорема Евклида

3.6 Доказательство Хоукинса.

3.7 Геометрическое доказательство методом Гарфилда

3.8 Доказательство теоремы Бхаскари-Ачарна

3.9 Пифагоровы тройки

4. Вывод

5. Литература

Актуальность, цели и задачи

Я выбрала именно эту работу, т.к. в наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема применяется в геометрии на каждом шагу. Из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований.

Цель работы:

Подробно ознакомится с теоремой Пифагора на стадии её развития и на сегодняшний день её существования.

Задачи:

- ознакомиться с историей возникновения,

- узнать многогранность формулирования теоремы Пифагора,

- подробный разбор способов доказательства теоремы Пифагора.

История открытия. Исторические сведения

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» -- квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота -- красота -- значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

”Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет пять, когда основание есть три, и высота четыре”, - говориться в математической книге древнего Китая Чу-пей о пифагоровом треугольнике со сторонами 3,4,5.

Крупнейший немецкий историк математики Кантор считает, что равенство: было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н.э. во времена царя Амененхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

Общеизвестно, что после разлива Нила крестьянам приходилось заново размечать свои участки при содействии гарпендонавтов или “натягивателей верёвок”, строивших прямые углы при помощи треугольников со сторонами 3,4,5.

Можно воспроизвести их способ построения: нужно взять верёвку длиной 12 м и привязать к ней по цветной полоске на расстоянии З м от одного конца и 4 м от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в З м и 4 м.

В вавилонском тексте, относящемся ко времени Хаммурапи (около 2000 г. до н.э.) приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда следует, что в Двуречье могли воспроизводить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.

Хотя название теорема получила по имени знаменитого древнегреческого философа Пифагора, но на самом деле была известна в древнем Вавилоне по меньшей мере за 1200 лет до Пифагора. Наверно, Пифагор узнал о ней во время одного из своих путешествий в Вавилон или Египет.

Для теоремы Пифагора были найдены и другие доказательства. Сейчас наиболее известно более двухсот доказательств теоремы Пифагора, и сегодняшние ученики бодро декламируют: “Пифагоровы штаны во все стороны равны”, имея в виду доказательство теоремы Пифагора, где нужно доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольных треугольников, как на сторонах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе того же прямоугольного треугольника как на стороне.

Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение первой книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.

Так, оптимист Михаил Ломоносов (1711--1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевсу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось». .

Шамиссо писал:

Пребудет вечной истина, как скоро

Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье.

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуяв ,вслед.

Они не в силах свету помешать ,

А могут лишь закрыв глаза дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

А вот ироничный Генрих Гейне (1797--1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам». Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого (ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII --V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»).

В древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь», время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э.-- и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.

Карикатуры

Ученики неприязненно относились к доказательству этой теоремы, так как оно практически без изменений переходило из знаменитого учебника геометра Евклида во все последующие учебники математики. А так как во времена Евклида его доказательство было очень сложным, то слабо успевающие ученики подбирали для него всякие нелестные эпитеты. Называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами",были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теорема Пифагора-одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c2=a2+b2. Формулировки теоремы

Существуют различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:

"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так :

"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

Способы доказательства теоремы

Я рассмотрю некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым.

1. Древнекитайское доказательство

рис.1

Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла тематика в девяти книгах» -- главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений в книге «Математики» помещен чертеж (рис. 1, а), доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний -- квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. 1, б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. 1, в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с2, а с другой -- а2+Ь2, т.е. с2=а2+Ь2. Теорема доказана. Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис. 1, а), не используются. По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (рис. 1, б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. 1, г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. с2=а2+Ь2.



На рисунке 2 воспроизведен чертеж из трактата «Чжоу-би...». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете -- 16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете

.

Алгебраическое доказательство теоремы (1)

Пусть Т-- прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 6, а). Докажем, что с2=а2+Ь2.

Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. 6, б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р -- квадрат со стороной с.

теорема пифагор доказательство

Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть и -- величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, += 90°. Угол у при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными и , составляет развернутый угол. Поэтому +=180°. И так как += 90°, то =90°. Точно так же

доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р -- квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T) .

Так как S(Q)=(a+b)2 ; S(P)=c2 и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство

(a+b)2=c2+4*(1/2)ab . Поскольку (a+b)2=a2+b2+2ab, то равенство (a+b)2=c2+4*(1/2)ab можно записать так: a2+b2+2ab=c2+2ab.

Из равенства a2+b2+2ab=c2+2ab следует, что с2=а2+Ь2.

Ч.Т.Д.

Алгебраическое доказательство теоремы (2)

Пусть АВС -- данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис. 3).

рис.3

По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC2. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:

АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2. Теорема доказана.

Простейшее доказательство

рис.4

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах».

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (рис.1), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для такого треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по 2. Теорема доказана.

Теорема Евклида [4, п. 3, стр. 37]

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты (рис. 4) и доказыва¬ется, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL -- квадрату АС КG. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.



рис.4

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по ABD.

НоABC=FBC=d+двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC==BD и SABD=1/2

SBJLD, так как у треу¬гольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=1\2 SABFH (BF--общее основание, АВ--общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC , имеем SBJLD= SABFH. Аналогично, используя равен¬ство треугольников ВСК. и АСЕ, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKG=SBJLD+SJCEL= SBCED , что и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «наду-манным». Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключи-тельным звеном в цепи предложений 1-й книги «Начал». Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь.

Доказательство Хоукинса

Приведу еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

SCAA'=bІ/2

SCBB'=aІ/2

SA'AB'B=(aІ+bІ)/2

Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :

SA'AB'B=c*DA/2+c*DB/2=c(DA+DB)/2=cІ/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

aІ+bІ=cІ

Теорема доказана.



рис.6

Геометрическое доказательство методом Гарфилда

рис.7

Дано: ABC-прямоугольный треугольник

Доказать:BC2=AB2+AC2

Доказательство:

1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.

2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

SABED=2*AB*AC/2+BC2/2

3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:

SABED=(DE+AB)*AD/2.

4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:

AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2

AB*AC+BC2/2=(AC+AB)2/2

AB*AC+BC2/2=AC2/2+AB2/2+AB*AC

BC2=AB2+AC2.

Ч.Т.Д.

Доказательство теоремы индийским математиком Бхаскари-Ачарна

На рисунке 8 изображен квадрат с выделенными на нем четырьмя равными прямоугольными треугольниками. Именно из такого рисунка исходил в своем доказательстве в XII веке индийский математик Бхаскари-Ачарна.

рис.8

Пусть сторона большого квадрата (она же -- гипотенуза прямоугольного треугольника) равна с. Пусть также два его катета равны соответственно a и b. Тогда, в согласии с чертежом, (a ? b)2 + (4ab)/2 = с2, то есть с2 = a2 + b2. Следовательно, если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов его катетов действительно равна квадрату гипотенузы.

Пифагоровы тройки [4, п. 7, стр. 82]

Пифагоровы тройки - это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x2 + y2 = z2 ). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. .. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики.

Поскольку уравнение x2 + y2 = z2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x,y,z -- взаимно простые числа. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них -- египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52).

Некоторые Пифагоровы тройки:

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25),

(10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Вывод

За время изучения материала моей работы, я подробно познакомилась со многими видами доказательства и формулирования теоремы. Я даже и представить не могла, насколько многогранная и разносторонняя может быть теорема Пифагора. Так же я узнала столь загадочную и окутанную мифами историю возникновения этой теоремы.

Литература

1.Малинецкий Г.Г., Майборода В.П. Образование, высокие технологии и российские реалии. (http://nit.miem.edu.ru/2006/sb/section0/1.htm).

2.Е.Е.Семёнов «Изучаем геометрию», Москва, Просвещение ,1987г.

3.М.В.Ткачева Домашняя математика , Москва, Просвещение ,1994г.

4. Литцман В. Теорема Пифагора. Москва, 1960.

Интернет-источники:

5.http://mat.1september.ru/2001/24/no24_01.htm

6.http://th-pif.narod.ru/formul.html

7.http://moypifagor.narod.ru

8.http://th-pif.narod.ru

Размещено на Allbest.ru