Определение значений функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах проверить результаты дифференцированием

Решение:

Проверка:

Проверка:

2. Вычислить определенный интеграл

2.17

интеграл функция переменный уравнение

3. Найти площадь фигуры

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

Найдем точки пересечения параболы и прямой:

Выполним чертеж

Следовательно,

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

1. Дана функция двух переменных

1) Найти область определения функции двух переменных Изобразить ее на координатной плоскости и заштриховать.

2) Проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных указанному дифференциальному уравнению второго порядка.

1). .

Функция определена когда выражение под корнем больше 0 и при этом у отлично от нуля. Т.е.

Откуда

Построим полученную область.

2). , .

Найдем частные производные:

Следовательно,

2. Даны функция и две точки и .

Требуется:

1) Вычислить значение z1 функции в точке В;

2) Вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А в точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом;

3) Составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке

4) Найти градиент в точке

Найдем

Найдем значение функции по формуле:

Найдем частные производные

И их значение в точке .

учитывая, что

Получаем

Т.о. полное приращение функции и ее дифференциал соответственно равны 0,0441 и 0,04

При этом относительная погрешность при переходе составляет:

0,0041/0,0441=9,3%

Составим уравнение касательной плоскости к кривой в точке С:

Координаты точки С не заданы, решаем в общем виде:

Градиент функции в точке найдем по формуле:

Тогда,

Следовательно, градиент равен

Градиент в точке А равен:

3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж

Выполним чертеж.

Найдем стационарные точки функции. Для этого вычислим первые частные производные и приравняем их к нулю.

Стационарная точка существует и она принадлежит области. Проверим наличие экстремума в найденной точке. Найдем вторые частные производные:

Вычислим дискриминант:

Т.к. дискриминант больше 0, в данной стационарной точке функция имеет локальный экстремум, а т.к. А>0, то найденный экстремум является минимумом.

Найдем значение функции в найденной точке:

Исследуем поведение функции на границе области.

На оси Ох на отрезке (0;6), у=0 и исходная функция превращается в функцию z от х:

Найдем ее критические токи:

В точке х=2 значение функции z = 4-8= -4. Найдем значение функции на концах промежутка. При х = 0 z = 0, при х=6, z = 36 - 24 = 12

На оси Оy на отрезке (0;4), x=0 и исходная функция превращается в функцию z от х:

Найдем ее критические токи:

В точке х=0 значение функции z = 0. Найдем значение функции на другом конце промежутка: при у = 4 z = 16.

При

Найдем ее критические токи:

Тогда .

Найдем значение функции в точке

Из всех значений выберем наибольшее т наименьшее:

4. Экспериментально получены пять значений искомой функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию в виде

Коэффициенты уравнения прямой найдем из соотношений:

Выполним чертеж.

Для это вычислим

Составим систему уравнений и решим ее

Откуда

Уравнение имеет вид.

Добавим уравнение прямой на график.

Размещено на Allbest.ru