Линейная алгебра

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Алгебра и группы

1.1 Определение группы

1.2 Полукольца, кольца

1.3 Понятие векторного пространства

1.4 Понятие евклидового и унитарного пространства

1.5 Понятие алгебры

Глава 2. Общая теория линейных операторов

2.1 Определение линейного оператора

2.2 Действия с линейными операторами

2.3 Матрица линейного оператора

2.4 Обратный оператор

2.5 Сопряженный линейный оператор

2.6 Собственный вектор и собственное значение линейного оператора

Глава 3. Некоторые специальные виды линейных операторов

3.1 Нормальные операторы

3.2 Унитарные и ортогональные операторы

3.3 Симметрические операторы

Приложение (задачи)

Заключение

Список литературы



Введение

Немаловажную роль в математике играют такие понятия, как линейная алгебра, группы, подгруппы, кольца и поля. Большое значение имеют различные алгебры и группы матриц, которые находят свое применение во многих математических дисциплинах, таких как алгебра, теория чисел, геометрия и т.д.

В данной работе рассмотрены различные виды линейных операторов, такие как, обратимые, симметрические, кососимметрические, нормальные, унитарные и ортогональные.

Курсовая работа включает в себя 3 главы. В первую главу входят понятия об основных алгебраических структурах, определения которых необходимы нам для изучения линейных операторов различных видов. Во второй главе рассматривается общая теория линейных операторов, раскрываются понятия собственного вектора и собственного значения линейного оператора, а также рассмотрен вид сопряженного линейного оператора. Третья глава является основной в этой работе, так как в ней содержится материал о специальных видах линейных операторов. В первом параграфе рассматриваются нормальные операторы, во втором - унитарные и ортогональные, третьем - симметрические, четвертом - кососимметрические, и в пятом - проекторы.



Глава 1. Алгебра и группы

1.1 Определение группы

Определение. Алгебру А<А; *> называют полугруппой, если операция * на А бинарна и ассоциативна. Другими словами, если:

1) а*b = с;

2)) (а*b)*с = а*(b*с).

Полугруппу А = <A;*> называют коммутативной, если операция * коммутативна, и конечной, если множество А конечно. Полугруппу <А;*> называют полугруппой с сокращением, если

.

Таким образом, полугруппа <A; +> -- полугруппа с сокращением, если

.

Теорема. В любой полугруппе А<А;+> с сокращением имеется не более чем один элемент такой, что

?? + ?? = ??.

Доказательство. Предположим, что для элементов ?? и

полугруппы А

??+?? = ??^.



Тогда

(?? + ??) + = ?? + ( + ).

Отсюда следует, что

?? = .

Определение. Полугруппу А<А; *> называют группой, если

^ .

Определение. Пусть А<A;*> -- полугруппа и -- подмножество A; тогда систему <;*> называют подполугруппой (соответственно подгруппой)полугруппы А, если система -- полугруппа (соответственно группа). Другими словами, если подмножество множества А образует полугруппу (группу) относительно той же операции, которая рассматривается в A, то систему А' называют подполугруппой (подгруппой) полугруппы А.

1.2 Полукольца и кольца

Определение. Алгебру А<A; +, *> называют полукольцом, если <A;+> -- коммутативная полугруппа с сокращением, <A; *> --полугруппа и операции + и * связаны законом дистрибутивности.

Другими словами, система А<A; +, *> -- полукольцо, если отношения + и * -- бинарные операции на А, удовлетворяющие следующим условиям:



1) (a+b)+c = a(b+c);

2) a+b = b+a;

3) (a+x = b+x ?a=b) ^ (x+a = x+b ? a = b);

4) (a*b)*c = a*(b*c);

5) ((a+b)*c = ac+bc) ^ (c*(a+b) = ca+cb).

Полукольцо <A; +, *> называют коммутативным, если операция * коммутативна, -- конечным, если множество A конечно. Элемент 0 полукольца А<A; +, *> называют нулем полукольца А, если а+0 = 0+а = а. Элемент e полукольца А<A; +, *> называют единицей полукольца А, если и а*e = e*а = а. Таким образом, нуль полукольца -- нейтральный элемент сложения, а единица -- нейтральный элемент умножения. Определение. Полукольцо А<A; +, *> называют кольцом, если

.

Другими словами, полукольцо А -- кольцо, если, его аддитивная полугруппа -- группа.

1.3 Понятие векторного пространства

Определение. Векторным пространством над полем К называют аддитивную группу Е, для которой определено отображение (х, л)лх произведения ЕК в Е, удовлетворяющее следующим условиям:

1. (лм)x = л(мx) для всех л, мК и хЕ;

2. 1х = х для всех хЕ;

3. л(х+у) = лх+лу для всех л, мК и х, уЕ;

4. (л+м)х = лх+мх для всех л, мК и хЕ.



Элементы векторного пространства над К называются его точками или векторами, а элементы поля К -- скалярами. Отображение Е в Е, при котором все векторы хЕ умножаются на один и тот же скаляр л, называется гомотетией с коэффициентом гомотетии. Отметим некоторые простые свойства векторных пространств, непосредственно вытекающие из условий 1--4 определения векторного пространства.

1° л(х-у) = лх-лу для всех векторов х, у и скаляров л.

Действительно, в силу условия 3, лх = л((х-у)+у) = л(х-у)+лу.

2° (л-м)х = лх-мх для всех векторов х и скаляров л, м.

Из 1° следует, в частности,

3° л0 = 0 для всех скаляров л.

В самом деле, л0 = л(х-х).

Аналогично из 2° следует

4° 0х = 0 для всех векторов х.

Имеет место и свойство, обратное свойствам 3°-4°:

5° Если лх = 0, то л = 0 или х = 0.

Действительно, при л в силу условий 2 и 1 и свойства 3° имеем: х = 1х = ()х = = = 0.

6° (-1)х = -х для всех векторов х.

В самом деле, в силу условий 2 и 4 и свойства 4°

х+(-1)х = 1х+(-1)х = (1+(-1))х = 0х = 0.

7° nx = x+…+x для всех векторов х и натуральных чисел n.

1.4 Понятие евклидового и унитарного пространства

Определение. Линейное пространство V называют евклидовым пространством, если в этом пространстве задано скалярное умножение, т.е. закон или правило, согласно которому каждой паре векторов x, уV поставлено в соответствие действительное число (x, у), называемое скалярным произведением. При этом выполняются следующие аксиомы скалярного умножения:

а) (x, у) = (у, x);

б) (x + у, z) = (x, z) +(у, z);

в) (лх, у) = л(x, у), лR;

г) (x, x)0, причем (x, х) = 0 лишь в случае, когда х = 0.

Скалярное произведение часто обозначают так же, как и произведение чисел, т.е. вместо (x, у) пишут ху. Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом (по аналогии с квадратом числа).

Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если каждой паре векторов х, у из U поставлено в соответствие комплексное число (х,у), называемое скалярным произведением, причем выполнены следующие аксиомы:

1) (х, у) =,

2) (лx, y) = л(x, y),

3) (x+y, z) = (x, z)+(y, z),

4) (x, x)0 при x0; (0,0) = 0

для произвольных векторов х, у, z из U и произвольного комплексного числа л.

Черта в первой аксиоме означает комплексное сопряжение. Это единственное отличие от аксиом евклидова пространства. Так, например, если в евклидовом пространстве имеет место равенство (х, лу) = л(х, у), то в унитарном пространстве (х, лу) =(х, у).



1.5 Понятие алгебры

Определение. Алгеброй называется упорядоченная пара A = (А, Щ), где A--непустое множество и Щ--множество операций на A.

Таким образом, алгебра A определяется двумя множествами:

a) непустым множеством A, обозначаемым также через |A|; это множество называется основным множеством алгебры A, а его элементы -- элементами алгебры A;

b) множеством операций Щ, определенных на A и называемых главными операциями алгебры A.

Если (A, Щ) -- алгебра, то говорят также, что множество A есть алгебра относительно операций Щ.

Наиболее частым является случай, когда множество Щ конечно, т. е. Щ = {, ..., }. В этом случае вместо записи

A = <A, {, ..., }>

обычно употребляется запись

A = <A, , ..., >.

Алгебра матриц. Пусть F -- поле скаляров.

Определение. Алгебра <V, +, {}, *> называется линейной алгеброй, если бинарные операции +, * и унарные операции удовлетворяют следующим требованиям:

1) алгебра <V, +, {}> есть векторное пространство над полем F;

2) выполняются условия билинейности, т. е.



(a+b)c = ac+bc, c(a+b) = ca+cb, (ab) = (a) = a(b)

для любых a, b, сV и любого лF.

Пример: Пусть -- множество всех nm-матриц над полем. Алгебра

<, +, {}, *>,

где -- унарная операция умножения на скаляр л, является линейной алгеброй над полем F ранга . Она называется полной матричной алгеброй над полем F. Ее ранг равен .

Алгебра операторов. Множество L(V) всех линейных операторов на векторном пространстве V само является векторным пространством размерности dimL(V) = .

Линейный оператор A на V полностью определяется своим действием на элементы хV. Вспоминая принципы композиции отображений, мы полагаем, что (А+В)х = Aх+Вх, (лA)х = л(Aх), (AВ)х = A(Вх) (таким образом, композиция А?В обозначается просто "приписыванием" А к В). Из этого определения непосредственно вытекают соотношения

б(А + В) = бА + бВ,

(б + в)А = бА + вА, (1')

(бв)А = б(Ав),

1*А = А;

А(ВС) = (АВ)С (ассоциативность),

A(B + C)=AB + AC, (1'')

(A + В)С = AС + ВС (дистрибутивность);

л(АВ) = (лА)В =A(лB). (1''')



Мы видим, что множество линейных операторов L(V) является одновременно векторным пространством над полем R (первые четыре соотношения (1')) и ассоциативным кольцом (следующие три соотношения (1'')); последнее соотношение (1''') смешанного типа устанавливает дополнительную закономерность между умножением на скаляры и композицией операторов.

Определение. Кольцо К, являющееся одновременно векторным пространством над полем R таким, что л(аb) = (ла)b = а(лb) для всех лR, а, bК, называется алгеброй над R. Размерность Кb как векторного пространства называется размерностью алгебры К над R. Всякое векторное подпространство LК, замкнутое относительно операции умножения в К (L*LL), называется подалгеброй алгебры К.

Говоря об алгебрах, имеют в виду преимущественно ассоциативные алгебры (ab)c = а(bс) с единицей 1: 1*х = х, хК. Именно такой является алгебра L(V) линейных операторов на V.



Глава 2. Общая теория линейных операторов

2.1 Линейные операторы

Определение. Всякая функция, действующая из пространства в , называется оператором.

Определение. Оператор(преобразование) А: называется линейным, если выполнены следующие условия:

1) для любых двух векторов и из ;

2) для любого вектора из и произвольного числа бR.

Линейный оператор А:, который осуществляет отображение линейного пространства V в себя, называют также линейным преобразованием линейного пространства V и говорят, что линейный оператор А действует в линейном пространстве V.

Условия 1), 2) определения 2 можно скомбинировать в виде одного условия, например, так: для любых х и и любых действительных б и µ

(*)

Из определения линейного оператора вытекает, что для любого линейного оператора А: образом А0 нулевого вектора в является нулевой вектор 0' в : А(0) = 0'.

Действительно,

А0 = А(0*0) = 0(А0) = 0'.

Отметим, что для того, чтобы доказать линейность какого-либо отображения линейных пространств, нужно проверить условия 1), 2) определения линейного оператора или комбинированное условие (*). Нарушение любого из этих условий означает, что отображение не является линейным. Линейный оператор переводит нулевой вектор снова в нулевой, и это свойство может рассматриваться как необходимое условие линейности (но не достаточное). [Канатников А.Н. Линейная алгебра. -М: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. -128с.]

Определение. Поставим в соответствие каждому вектору х этот же вектор х. Мы получим линейный оператор Е, действующий из V в V. Этот оператор называется тождественным или единичным оператором. По определению x = Ex.

Определение. Пусть имеется некоторый линейный оператор А, действующий из пространства в пространство . Построим новый оператор В согласно предписанию Вх = -Ах. Полученный оператор В также является линейным оператором, действующим из в Он называется оператором, противоположным оператору А.

Определение. Зафиксируем, произвольное число б и каждому вектору хV поставим в соответствие вектор бхХ. Построенный таким способом оператор будет линейным оператором. Он называется скалярным оператором. При а = 0 мы получаем нулевой оператор, при а = 1 - тождественный.

Примеры:

1. Пусть F - векторное пространство. Функция I: FF такая что является линейным оператором.

Действительно, и (*) выполнено.

2. В пространстве свободных векторов на плоскости поворот вектора на заданный угол ц против часовой стрелки представляет собой отображение в себя, являющееся линейным оператором. Линейность отображения вытекает из геометрических соображений. Во-первых, сумма свободных векторов может вычисляться по правилу параллелограмма, но тогда сумма двух векторов как диагональ параллелограмма при повороте векторов на угол ц также повернется на этот же угол. Во-вторых, умножение свободного вектора на число означает изменение его длины и, возможно, изменение его направления на противоположное. Можно сначала умножить вектор на число, а потом повернуть на угол ц, а можно выполнить эти две операции в обратном порядке, т.е. повернуть вектор, а затем умножить его на число. Результат в обоих случаях будет один и тот же.

3. Рассмотрим n-мерное линейное арифметическое пространство , элементы которого будем представлять как матрицы-столбцы длиной n, и квадратную матрицу А порядка n. Отображение А:, которое столбцу х ставит в соответствие столбец Ах (Ах = Ах), является линейным оператором в силу свойств умножения матриц: где б, м, x, y .

Имеет место одна характеристическая особенность линейного оператора

для любых векторов и чисел .

2.2 Действия с линейными операторами

Предполагается, что все рассматриваемые операторы действуют в некотором фиксированном линейном пространстве V над полем P.

Определение. Суммой линейных операторов А, В называется оператор А+В действующий в пространстве V по правилу (А+В)х = Ах+Вх для любого хV.

Покажем что оператор А+В является линейным.

Действительно, x, yV, б, вP



(A+B)(бx+вy) = A(бx+вy)+B(бx+вy) = бAx+вAy+бBx+вBy = б(Ax+Bx)+в(Ay+By) = б((A+B)x)+в((A+B)y).

Определение. Произведением линейного оператора А на число лР называется оператор лА, действующий в пространстве V по правилу (лА)х=л(Ах) для любого хV. [Козак А.В., Пилиди В.С. Линейная алгебра. -М.: Вузовская книга, 2005. -211с.]

Произведение линейного оператора на число является линейным оператором. Это вытекает из соотношений

(лА)(x+y) = лА(x+y) = лАx+ лАy = (лА)x+(лА)y,

(лА)(мx) = л(А(мx)) = л(мAx) = (лм)(Ax) = м(лA)x,

выполняющихся при любых x,yV и мР.

Определение. Оператор -А = (-1)А называется противоположным оператору А.

Очевидно, что А+(-А)=0.

Отметим следующие свойства операций сложения линейных операторов и умножения линейного оператора на число:

1. Для любых линейных операторов А, В выполняется равенство А+В = В+А.

Доказательство. Пусть хV, тогда (А+В)х = Ах+Вх = Вх+Ах = (В+А)х.

В силу произвольности элемента х, А+В = В+А.

2. Для любых линейных операторов А, В, С выполняется равенство (А+В)+С = А+(В+С).

Доказательство. Пусть хV, тогда ((А+В)+С)х = (А+В)х+Сх = Ах+Вх+Сх = Ах+(В+С)х = (А+(В+С))х.

В силу произвольности элемента х, (А+В)+С = А+(В+С).

3. Для любого линейного оператора А выполняется равенство



А+0 = А.

4. Для любого линейного оператора А существует такой линейный оператор В, что А+В = 0;

5. Для любого линейного оператора А и любых б, вР выполняется равенство (б+в)А = бА+вА.

Доказательство. Пусть хV, тогда ((б+в)А)х = (б+в)(Ах) = б(Ах)+в(Ах) = (бА)х+(вА)х = (бА+вА)х.

В силу произвольности элемента х, (б+в)А = бА+вА.

6. Для любых операторов А, В и любого бР выполняется равенство б(А+В) = бА+бВ;

Доказательство. Пусть хV, тогда (б(А+В))х = б((А+В)х) = б(Ах+Вх) = б(Ах)+ б(Вх) = (бА)х+(бВ)х = (бА+бВ)х.

В силу произвольности элемента х, б(А+В) = бА+бВ

7. Для любого линейного оператора А и любых б, вР выполняется равенство (бв)А = б(вА);

8. Для любого линейного оператора А выполняется равенство 1*А = А.

Эти свойства вытекают из соответствующих аксиом линейного пространства.

Из свойств 1-8 следует, что множество всех линейных операторов, действующих в фиксированном линейном пространстве V, само образует линейное пространство.

Определение. Произведение оператора А на оператор В называется оператор АВ, действующий в пространстве V по правилу (АВ)х = А(Вх) для любого хV. Другими словами, произведение операторов АВ определяется как композиция отображений. Покажем, что произведение линейных операторов также является линейным оператором. Пусть б, вP, x, yV, тогда



(АВ)(бх+ву) = А(В(бх+ву)) = А(бВх+вВу) = бА(Вх)+вА(Ву) = б((АВ)х)+в((АВ)у).

Отметим следующие свойства операции произведения линейных операторов.

9. Для любых линейных операторов А, В, С выполняется равенство (АВ)С = А(ВС).

Доказательство. Пусть хV, тогда ((АВ)С)х = (АВ)(Сх) = А(В(Сх)) = А((ВС)х) = А(ВС)х.

В силу произвольности элемента х, (АВ)С = А(ВС).

10. Для любого линейного оператора А выполняется равенство

АЕ = ЕА = А;

11. Для любых линейных операторов А, В, С выполняется равенство (А+В)С = АС+ВС.

Доказательство. Пусть хV, тогда ((А+В)С)х = (А+В)(Сх) = А(Сх)+В(Сх) = (АС)х+(ВС)х = (АС+ВС)х.

В силу произвольности элемента х, (А+В)С = АС+ВС.

12. Для любых линейных операторов А, В, С выполняется равенство А(В+С) = АВ+АС.

Доказательство. Пусть хV, тогда (А(В+С))х = А((В+С)х) = А(Вх+Сх) = А(Вх)+А(Сх) = (АВ)х+(АС)х = (АВ+АС)х.

В силу произвольности элемента х, А(В+С) = АВ+АС.

13. Для любых линейных операторов А, В и любого бР выполняется равенство б(АВ) = (бА)В = А(бВ).

Доказательство. Т.к. А, В - линейные операторы, то АВ - тоже линейный оператор. АВ=С. б(АВ)х = (бС)х =(из линейности С) = С(бх)=А(В(бх)). В силу произвольности элемента х, б(АВ) = (бА)В



2.3 Матрица линейного оператора

Рассмотрим один общий способ построения линейного оператора, действующего из m-мерного пространства X в n-мерное пространство Y. Пусть векторам базиса пространства X поставлены в соответствие какие-то векторы пространства Y. Тогда существует и единствен линейный оператор А, действующий из X в Y, который переводит каждый вектор в соответствующий вектор .

Предположим, что искомый оператор А существует. Возьмем произвольный вектор хХ и представим его в виде разложения

x =

Тогда

Ах = А.

Правая часть соотношений однозначно определяется вектором х и образами базиса. Поэтому полученное равенство доказывает единственность оператора А, если он существует. С другой стороны, мы можем определить оператор А именно этим равенством, т. е. положить

Ax = .

Полученный оператор является линейным оператором, действующим из X в Y и при этом переводящим каждый вектор в соответствующий вектор . Область значений оператора А совпадает с линейной оболочкой системы векторов .

Линейный оператор А, действующий из пространства X в пространство Y, полностью определяется совокупностью образов любого фиксированного базиса пространства X. Фиксируем в пространстве X базис и в пространстве Y базис . Вектор переводится оператором А в некоторый вектор пространства Y, который, как всякий вектор этого пространства, можно разложить по базисным векторам

Коэффициенты этих соотношений определяют матрицу из n строк m столбцов,

которая называется матрицей оператора А в выбранных базисах.

Столбцами матрицы оператора служат координаты векторов относительно базиса . Для того чтобы определить элемент матрицы оператора А, следует применить оператор к вектору и у образа взять j-ю координату. Если через обозначить для краткости i-ю координату вектора х, то =. Найдем матрицы некоторых линейных операторов.

1. Тождественный оператор E любой вектор переводит в вектор . В частности, каждый вектор базиса е оператором Е переводится в вектор :



Столбцы координат векторов ,,…, в базисе e составляют матрицу оператора Е в базисе е, представляющую собой единичную матрицу:

.

2. Оператор подобия ц растягивает каждый вектор линейного пространства в б раз (умножает вектор на б). Значит,

Из столбцов координат векторов составляем матрицу оператора ц в базисе е:

.

3. Пусть в пространстве векторов, выходящих из начала координат, линейный оператор ц действует так, что векторы по оси Ох растягиваются в раз, по оси Оу - в раз, по оси Oz - в раз. Тогда , , , и матрица линейного оператора в базисе , , имеет вид:

.

Теорема. Пусть V - конечномерное линейное пространство, {e} - базис в пространстве V. Тогда для любого линейного оператора А, действующего в пространстве V, и для любого хV выполняется равенство .

Свойства матрицы линейного оператора.

1. , то есть матрицей единичного оператора в любом базисе является единичная матрица.

Действительно, для любого хV Ix=x. Поэтому Из теоремы получаем, что , то есть =, = Е. В силу произвольности вектора х получаем, что .

2. Для любых линейных операторов А, В, действующих в пространстве V, выполняется равенство .

Доказательство. Пусть хV - произвольный элемент. Тогда по определению суммы линейных операторов (А+В)х = Ах+Вх.

Перейдем в обеих частях равенства к координатным векторам:

.

Применяя предыдущую теорему и учитывая свойства координатных векторов, получаем:

,

.



Учитывая произвольность вектора х получаем .

3. Для любого линейного оператора А, действующего в V, и любого лР выполняется равенство . Доказательство. Для произвольного х V по аналогии с доказательством предыдущего свойства имеем:

(лА)х = л(Ах), =.

Получим что .

4. Для любых линейных операторов А, В, действующих в пространстве V, выполняется равенство .

Доказательство. Пусть х V. Тогда по определению произведения операторов (АВ)х = А(Вх). Отсюда следует, что . Применяя теорему получим:

,

То есть . В силу произвольности вектора х, отсюда выводим, что .

5. Для любого линейного оператора А, действующего в пространстве V, и любого многочлена f(л) с коэффициентами из поля Р выполняется равенство . Это свойство вытекает из свойств 2-4.

2.4 Обратный оператор

Пусть V -линейное пространство над полем Р, А - оператор (не обязательно линейный), действующий в V.

Определение. Оператор А называется обратимым, если существует такой оператор В, действующий в V, что ВА = АВ = I.

Определение. Оператор В, удовлетворяющий условию ВА = АВ = I, называется обратным к А и обозначается .

Таким образом, оператор , обратный к оператору А, удовлетворяет условию А=А = I. Для обратимого оператора А равенства Ах = y и у = х равносильны. Действительно, пусть Ах = у, тогда у =(Ах) = (А)х = Ix = х.

Если у = х, то

Ах = А(у) = (А)у = Iу = у.

Теорема. Если линейный оператор обратим, то обратный к нему оператор также является линейным.

Доказательство. Пусть А - обратимый линейный оператор, действующий в линейном пространстве V над полем Р, - оператор, обратный к А. Возьмем произвольные векторы и числа Положим , . Тогда А=, А=. В силу линейности оператора А

А() = = .

Отсюда получаем:

= =,

То есть оператор является линейным.



2.5 Сопряженный линейный оператор

Пусть заданы два унитарных пространства X, Y.

Определение. Оператор А*, действующий из Y в X, называется сопряженным по отношению к оператору А, действующему из X в Y, если для любых векторов хХ, yY выполняется равенство

(Ах, у) = (х, А*у). (1)

Теорема. Для любого линейного оператора А существует сопряженный оператор А*, и притом только один.

Доказательство. Выберем в X какой-либо ортонормированный базис Для любого вектора хХ имеет место разложение

х = . (2)

Если оператор А* существует, то, согласно этой формуле, для любого вектора yY имеем

А*y =

Или по определению

А*y = . (3)

Но это означает, что если оператор А* существует, то он единственный.

Построенный таким образом оператор А* является линейным. Он удовлетворяет и равенству (Ах, у) = (х, А*у). Действительно, учитывая ортонормированность системы и принимая во внимание (1), (2), получаем для любых векторов хХ, yY

(Ах, у) = (А) =,

(х, А*у) = ( А) =

=.

Теорема доказана.

Сопряженный оператор А* связан с оператором А определенными соотношениями. Отметим некоторые из них:

1. (А*)*=А;

Доказательство. Рассмотрим произвольный оператор А и сопряженный к нему оператор А*. В свою очередь для оператора А* сопряженным будет оператор (А*)*. Теперь для любых хХ, yY имеем

(у, (А*)*х) = (А*у,х) == = (у,Ах).

Левая часть равна правой при любом векторе у. Следовательно, (А*)*х = Ах. Но так как данное равенство справедливо при любом векторе х, то это означает, что (А*)* = А.

2. (А+В)* = А*+В*;

Это следует из того, что операторы А и В симметрические.

3. (бА)* = *;



Так же следует из того, что операторы А и В симметрические, а б вещественное число.

4. (АВ)* = В*А*;

5. Действительно из АВ = ВА, А = А*, В= В*, следует (АВ)* = В*А* =ВА = АВ.

6. *.

Доказательство. Возьмем произвольные векторы х, уХ. Существуют единственные векторы u, v, для которых

Au = x, A*v = y.

Находим, далее,

(x, ()*y) = (x, y) = (u, A*v) = (Au, v) = (x,y).

Левая часть равна правой при любом векторе х. Следовательно, ()*y = y. Ввиду произвольности у это и означает, что ()* =.

2.6 Собственный вектор и собственное значение линейного оператора

векторный линейный оператор ортогональный

Пусть линейный оператор А действует в пространстве X. Это означает, что каждому вектору хХ ставится в соответствие некоторый вектор у = Ах из того же пространства X.

Число л называется собственным значением, а ненулевой вектор х -- собственным вектором линейного оператора А, если они связаны между собой соотношением Ах = лх.

Заметим, что если х есть собственный вектор, соответствующий собственному значению л, то любой коллинеарный вектор бх при б0 будет также собственным вектором. Если собственному значению л соответствуют два собственных вектора х, у, то собственным вектором будет и любой ненулевой вектор вида бх + ву.

Собственными векторами операторов 0, Е и бЕ будут все ненулевые векторы пространства X. Эти операторы имеют лишь по одному собственному значению, равному соответственно 0,1 и б, и следовательно, по крайней мере по одному собственному подпространству, совпадающему со всем пространством X.

Теорема. Система собственных векторов оператора А, соответствующих попарно различным собственным значениям линейно независима.

Доказательство. Собственные векторы являются ненулевыми по определению, поэтому теорема заведомо верна при m = 1. Пусть она верна для любой системы из m--1 собственных векторов, но не верна для векторов . Тогда система этих векторов будет линейно зависимой, т. е. для некоторых чисел , не равных нулю одновременно, выполняется равенство

. (1)

Предположим, что . Применяя А к (1), получим

. (2)

Умножив (1) на и вычитая его из (2), находим

.



Согласно индуктивному предположению, отсюда следует, что все коэффициенты при векторах равны нулю. В частности, , что противоречит условию и предположению Следовательно, система векторов линейно независима.



Глава 3. Специальные виды линейных операторов

3.1 Нормальные операторы

Определение. Пусть V -- эрмитово пространство. Линейный оператор А: V>V, обладающий свойством

А*А* = А**А, (1)

называется нормальным. Его матрица в любом базисе также называется нормальной.

Имеют место соотношения

(лЕ)* = , (А-лЕ)* = А*-,

Поэтому оператор А нормален вместе с А-лЕ. Из нормальности А вытекает, что

(x|A*Ax) = (x|AA*x) = (A*x|A*x) =.

Заменяя А на А-лЕ, получаем

=,

а отсюда следует, что

Ах = лх А*х =х. (2)



Теорема. Эквивалентны следующие условия:

а) А: V > V -- оператор, диагонализируемый в ортонормированном базисе пространства V;

б) А -- нормальный оператор.

Доказательство. а) => б). Если () - ортонормированный базис с =, то в силу (2) А* =, так что [А,А*] = 0, и из а) следует б).

Для доказательства обратной импликации б) => а) выберем собственное значение л оператора А и положим

.

Снова из (2) следует что

А*(),

а в таком случае

А(y|x) .

Стало быть, (Ау|x) = (y|A*x) = (y|x') = 0, поскольку х'.

Так как (А*)* = А, то по симметрии подпространство также А* - инвариантно. Ограничения операторов А и А* на коммутируют, т.е. являются нормальными. Применяя индукцию по размерности n = dim V, мы можем считать, что на оператор А диагонализируется. Для это верно по определению, а поскольку V = +, доказательство завершено. Как всякий линейный оператор, нормальный оператор A записывается в виде A = В + iС и, аналогично, A* = В -- iС, где B, С -- эрмитовы операторы, в свою очередь выражающиеся через A и A*:



B =(А+А*), С =(А-А*).

Из АА* = А*А следует, что ВС = СВ. Обратно, из перестановочности В и С вытекает перестановочность А и А*:

АА* =+= А*А,

т.е. нормальность А.

3.2 Унитарные и ортогональные операторы

Определение. Линейный оператор А на векторном пространстве со скалярным произведением называется унитарным (в евклидовом случае -- ортогональным), если А**А = Е = А*А*. При n = 1 имеем z * = 1, т.е. унитарные операторы аналогичны комплексным числам, по модулю равным единице. В матричной форме (по отношению к ортонормированному базису) условие унитарности выражается равенством А**А = Е = А*А*.

Определение. Линейный оператор А: V>V, сохраняющий расстояние (метрику), т.е. такой, что

||Ax-Ay|| = ||x-y|| ,

Называется изометрией.

Так как Ах -- Ау = А(х -- у), то, очевидно, А -- изометрия на V в точности тогда, когда ||Ax|| = ||x|| .

Определение. Линейный оператор А: V>V, действующий в евклидовом пространстве V, называют ортогональным оператором (или ортогональным преобразованием), если он сохраняет скалярное произведение в V, т.е. для любых векторов x, уV выполняется равенство



(Ax, Ay) = (x, y).

Так как ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение, то он сохраняет норму (длину) вектора и угол между ненулевыми векторами. Действительно,

(Ах, Ах) = (х, х) =.

Теорема. Если линейный оператор А:V>Vв евклидовом пространстве V сохраняет евклидову норму: ||Ax|| = ||х||, xV, то этот оператор ортогональный.

Доказательство. Доказательство опирается на следующее тождество:

(x, y) =--,

верное для любых векторов х и у. Используя это тождество и сохранение нормы оператором А, получаем

(Ax, Ay)=--=--=(x, y),

где х и у -- произвольные векторы пространства V.

Теорема. Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе ортогональна, то этот оператор является ортогональным. Наоборот, матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе является ортогональной.

Доказательство. Выберем в евклидовом пространстве V любой ортонормированный базис е. Тогда для любых векторов х и у, имеющих в этом ортонормированном базисе е столбцы координат х и у соответственно, выполнено равенство (x, у) = у (это запись скалярного произведения в ортонормированном базисе).

Пусть матрица А линейного оператора А в ортонормированном базисе является ортогональной. Тогда выполняется соотношение А = Е и, следовательно, равенство

()у =Еу

верно для любых столбцов х и у. Но это равенство представляет собой матричную запись равенства скалярных произведений (Ах, Ау) = (х, у) для векторов х и у, имеющих столбцы координат х и у в этом же ортонормированном базисе. Мы приходим к заключению, что оператор ортогональный.

Докажем обратное утверждение теоремы. В любом ортонормированном базисе соотношение (Ax, Ay) = (x, y) в координатах имеет вид

(Ау)=у,

т.е. его можно записать в виде ()у = Еу. Из этого равенства, выполняющегося для любых столбцов х и у, следует равенство матриц А = Е, что и означает ортогональность матрицы А.

3.3 Симметрические операторы

Определение. Линейный оператор А, действующем в евклидовом пространстве Е, называется симметрическим (или самосопряжённым), если он является сопряженным с самим собой, т.е. А* = А. Оператор А является самосопряженным тогда и только тогда, когда для любых векторов х, уЕ выполняется равенство



(Ах, у) = (х, Ау).

Теорема. Симметрический оператор в любом ортонормированном базисе евклидова пространства имеет симметрическую матрицу. Наоборот, если линейный оператор А в каком-либо ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу, то этот оператор симметрический.

Доказательство. Пусть линейный оператор А в некотором ортонормированном базисе е имеет матрицу А. Тогда матрицей сопряженного оператора А* в базисе е является матрица . Равенство операторов А* = А равносильно равенству матриц = А, но первое означает, что оператор симметрический, а второе - что его матрица симметрическая.

Отметим некоторые свойства симметрических операторов.

1. Тождественный оператор является симметрическим.

Действительно, матрица тождественного оператора в любом базисе, в том числе и ортонормированном, - единичная матрица, а такая матрица симметрическая.

2. Сумма симметрических операторов - симметрический оператор.

3. Произведение симметрического оператора на действительное число - симметрический оператор.

4. Если симметрический оператор А имеет обратный оператор , то этот оператор симметрический.

5. Для симметрических операторов А и В произведение АВ является симметрическим оператором в том и только в том случае, когда операторы А и В перестановочны, т.е АВ = ВА.

Действительно, для симметрических операторов А и В имеем

(АВ)* = В*А* = ВА.



Поэтому равенство (АВ)* = АВ, означающее симметричность произведения АВ, равносильно равенству ВА = АВ, означающему перестановочность А и В.

Теорема. Собственные векторы симметрического оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть выполняются равенства Ах = лх, Ау = му, где л . По условию А - симметрический оператор. Поэтому (Ах, у) = (х, Ау), которое для рассматриваемых векторов х и у принимает вид л(х, у)=м(х, у). Перенося правую часть в левую, заключаем, что (л-м)(х, у)=0. А так как л-м0, то (х, у)=0, т.е. векторы х и у ортогональны.

Определение. Линейный оператор А называется косоэрмитовым (или кососимметричным в случае евклидова пространства), если А* = --А.

Так как А** = А для любого АL(V), то оператор А + А* эрмитов, а А--А* косоэрмитов. Аналогично, эрмитовость А эквивалентна косоэрмитовости оператора iA. Поэтому справедлива

Теорема. Каждый линейный оператор Z на эрмитовом пространстве записывается в виде Z = A+B, где А - эрмитов, а В - косоэрмитов оператор. Кроме того, Z = X+iY, где Х и Y - эрмитовы линейные операторы.



Приложение (задачи)

Задача №1. [Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. -М.: "Наука", 1969.-476с.] (с.169. №109)

Доказать основное свойство сопряжения: А**=А.

(хА, у)=(х, А*у)=(А**х, у), следовательно, в силу произвольности х и у, А**=А.

Задача №2. [Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. -М.: "Наука", 1969.-476с.] (с.169. №110)

Доказать основное свойство сопряжения: (А+В)*=А*+В*.

(х, (А+В)*у)=((А+В)х, у)=(Ах+Вх, у)=(Ах, у)+(Вх, у)=(х, А*у)+(х, В*у) => (А+В)*=А*+В*.

Задача №3. [Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. -М.: "Наука", 1969.-476с.] (с.169. №111)

Доказать основное свойство сопряжения: (бА)* = А*.

(х, (бА)*у) = (бАх, у) = б(х, А*у) = (х,А*у), следовательно (бА)* =А*.

Задача №4. [Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. -М.: "Наука", 1969.-476с.] (с.169. №112)

Доказать основное свойство сопряжения: (АВ)* = В*А*.

(АВх, у) = (Вх, А*у) = (х, В*А*у), следовательно (АВ)* = В*А*.

Задача№5. [Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. -М.:"Наука". 1975.-320с.] (№7.4.1)

Показать, что множество всех эрмитовых операторов из образуют группу по сложению.

Воспользуемся критерием подгруппы:

1. А* = А, В* = В, то и (А+В)* = А+В

(А+В)* = А*+В* = А+В.



Таким образом получаем, что множество самосопряженных операторов замкнуто относительно сложения.

2. Проверим наличие противоположного элемента.

(-А)* = -А.

(-А)* = (-1А)* = А* = -1А = -А.

По критерию подгруппы множество самосопряженных операторов - группа по сложению.

Задача №6. Проверить является ли множество всех линейных операторов группой по сложению и алгеброй.

1. Проверим, является ли множество всех линейных операторов группой по сложению. а) Проверим устойчивость относительно сложения: А+В = В+А. Возьмем две произвольные матрицы

,

.



б) Докажем, что во множестве линейных операторов имеется противоположный элемент, при сложении с которым получится нулевой оператор, играющий роль нейтрального элемента: А+(-А) = 0.

, .

=0.

Условия критерия подгруппы выполнены, следовательно, множество линейных операторов является группой относительно сложения.

2. Проверим, является ли множество всех линейных операторов алгеброй.

а) Проверим устойчивость относительно ассоциативного закона: А(ВС) = (АВ)С.



б) Проверим выполнение условия 1А = А.

.

1А=1===А.

Множество всех линейных операторов является алгеброй.

Задача №7. Доказать, что множество ортогональных операторов является группой по умножению.

Если матрицы А, В ортогональны, то и значит,

Т.е. произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

1. Проверим устойчивость относительно умножения.

А - ортогональная матрица, В - ортогональная матрица, следовательно АВ - ортогональная матрица (доказано выше).

2. Ассоциативный закон справедлив, так как он справедлив для всех матриц.

3. Докажем существование нейтрального элемента:

Е - ортогональная матрица, так как

.

4. Докажем, что для каждой ортогональной матрицы существует обратная и тоже ортогональная.

Предположим, что А - необратимая.

|A| = 0 |A| = || = 0

|A| = |A||| = 0|E| = 1.

Таким образом, если матрица вырожденная, то A= Е не может быть выполнено. Если матрица ортогональная, следовательно, невырожденная.

существует и ортогональна.

Множество всех ортогональных операторов является группой относительно умножения.

Задача №8. [Шнеперман Л.Б. Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях. Ч.1. -Минск.: "Высшая школа". 1986. -272с.]

Проверить, является ли множество всех унитарных операторов с обычным умножением группой.

Воспользуемся критерием подгруппы.

1. ,

,

т.е. произведение унитарных матриц есть унитарная матрица.

2. А = А = Е, таким образом обратный элемент существует.

Множество всех унитарных операторов с обычным умножением является группой.

Задача №9 Проверить, является ли множество скалярных операторов группой по сложению, используя критерий подгруппы.

1. Проверим устойчивость, относительно операции сложения.

Возьмем два скалярных оператора:

, .

A+B==.

Получили снова скалярный оператор. Т.о. множество скалярных операторов устойчиво относительно операции сложения.

2. Докажем, что во множестве скалярных операторов имеется противоположный элемент, при сложении с которым получается нулевой оператор, который переводит любой оператор в ноль, играющий роль нейтрального элемента.

, .

А+(-А)= ==.



Условия критерия подгруппы выполнены, следовательно, множество скалярных операторов является группой относительно сложения.

Задача №11. Проверить, является ли множество скалярных операторов группой относительно умножения, применив критерий подгруппы.

1. Проверим первое условие: множество скалярных операторов должно быть замкнуто относительно операции умножения.

, .

.

Снова получили скалярный оператор.

2. Наличие обратного элемента, принадлежащего множеству скалярных операторов, при умножении на который получается единичная матрица, т.е. А = = Е, при а0.

.

В результате получили единичную матрицу, которая играет роль нейтрального элемента.

Множество скалярных операторов при а0 является группой относительно умножения.



Заключение

Понятие линейного оператора, будучи наряду с понятием векторного пространства, основным в линейной алгебре, играет важную роль в самых разнообразных областях математики и физики. Прежде всего - в анализе и его приложениях.

В настоящей работе рассмотрены некоторые специальные виды линейных операторов: нормальные, унитарные, ортогональные, симметрические, кососимметрические операторы и проекторы.

Самостоятельно решены все задачи из приложения.

В ходе работы сделаны следующие выводы:

1. Множество линейных операторов является группой относительно сложения и алгеброй, но не группой по умножению;

2. Множество самосопряженных операторов - группа по сложению.

3. Множество всех ортогональных операторов является группой относительно умножения;

4. Множество всех унитарных операторов с обычным умножением является группой;

5. Множество нормальных операторов не группа по умножению и сложению, и не является алгеброй;

6. Множество скалярных операторов алгебра, группа по сложению, а при условии, что а0, группа по умножению;

7. Множество вырожденных операторов не является группой относительно умножения и сложения, и не является алгеброй;

8. Проекторы не группа по сложению и умножению, и не является алгеброй.



Список литературы

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. -М.: Наука, 1980. -400с.

2. Канатников А.Н. Линейная алгебра. -М: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. -128с.

3. Козак А.В., Пилиди В.С. Линейная алгебра. -М.: Вузовская книга, 2005. -211с.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. -М.: Физико-математическая литература, 2000. -367с.

5. Нечаев В.И. Числовые системы. Пособие для студентов пед. институтов. -М.: Просвещение, 1975 г., 189 с.

6. Райков Д.А. Векторные пространства. -М.: Государственное издательство физико-математической литературы., 1962. -211.

7. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. -М.: Финансы и статистика, 2003. -576с.

8. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. -М.: "Наука", 1969.-476с.

9. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. -М.:"Наука". 1975.-320с.

10. Шнеперман Л.Б. Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях. Ч.1. -Минск.: "Высшая школа". 1986. -272с.

Размещено на Allbest.ru