Решение математических задач
Совместность системы линейных уравнений методом Гаусса; средствами матричного исчисления. Решение векторных задач методом Крамера. Условие линейной независимости и координаты векторов в базисе. Решение задач с построением графика, пределы функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.03.2012 |
| Размер файла | 726,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Вариант 2
Задание 1
Дана система линейных уравнений:
Доказать её совместность и решить двумя способами:
1) Методом Гаусса;
2) средствами матричного исчисления.
Решение:
Докажем совместность системы. Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.
rang(A)= rang()=3по теореме Кронекера-Капелли система совместна.
1) Решим систему по формулам Крамера:
,
,
,
,
2) Решим систему средствами матричного исчисления.
Решение системы АХ=В находится по формуле:
Х=А-1В
где А-1 - матрица, обратная к матрице А.
А-1 находится по формуле:
Ответ: ,,
Задание 2
Даны векторы а(4; 7; 8),b (9; 1; 3),c(2; -4; 1) и d(1; -13; -13) в некотором базисе. Показать, что векторы а, в, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Условием линейной независимости векторов служит следующее условие: смешанное произведение векторов отлично от нуля.
Вычислим смешанное произведение векторов .
векторы линейно независимы, а значит образуют базис.
Пусть координаты вектора в базисе следующие: . Разложение вектора по базису имеет вид: . Подставим координаты векторов:
Или:
Решим систему методом Крамера:
,
,
Ответ: координаты вектора в базисе следующие: (-2;1;0).
Задание 3
Даны координаты вершины пирамиды А1А2А3А4:
A1(4; 4; 10),
A2(4;10; 2),
A3 (2; 8; 4),
A4 (9; 6; 4).
Найти:
1)длину ребра А1А2;
2)угол между ребрами А1А2 И А1А4;
3)угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4)площадь грани А1А2А3;
5)объем пирамиды;
6)уравнение прямой А1А2;
7)уравнение плоскости А1А2А3;
8)уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.
Решение:
1) Длина ребра А1А2 совпадает с длиной вектора
2) Угол между ребрами А1А2 И А1А4 найдем используя формулу скалярного произведения:
3) Угол между прямой (L) и плоскостью () Ax+By+Cz+D=0 находится по формуле:
(m;n;p)-это координаты направляющего вектора прямой А1А4.
Вектор является направляющим вектором прямой А1А4.
Для нахождения уравнения плоскости, содержащей грань А1А2А3 используем уравнение плоскости, проходящей через три точки:
- уравнение грани А1А2А3
4) Площадь треугольника, построенного на векторах и находится по формуле:
,
Где:
- векторное произведение векторов
Грань А1А2А3 образована векторами и .
5) Площадь пирамиды, построенной на векторах , и находится по формуле:
,
где - смешанное произведение векторов.
Пирамида А1А2А3А4 образована векторами , и
6)Для нахождения уравнение прямой А1А2 воспользуемся каноническим уравнением прямой:
,
где (m;n;p) - координаты направляющего вектора прямой А1А2.
Вектор является направляющим вектором прямой А1А2.
А1А2:
7) Уравнение плоскости А1А2А3:
8) Высота (Н), опущенная из вершины А4 на грань А1А2А3 перпендикулярна плоскости А1А2А3, а значит направляющий вектор прямой Н параллелен вектору-нормали плоскости А1А2А3, поэтому в качестве направляющего вектора прямой Н можно взять вектор-нормаль плоскости . Высота Н проходит через вершину А4, поэтому можно записать каноническое уравнение высоты:
Сделаем чертеж.
Ответ:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Задание 4
Даны уравнения одной из сторон ромба x - 3y + 10 = 0 и одной его диагоналей x + 4y - 4 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке P(0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.
Решение:
Найдем точку М - точку пересечения стороны и диагонали:
М(-4;2)
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому Р(0;1) - середина отрезка MN, где M и N противоположные вершины ромба.
N(4;0)
Запишем уравнение стороны NK, проходящей параллельно стороне (МТ):
x - 3y + 10 = 0.
Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.
(МТ) -3y=-x-10
(NK)
- уравнение прямой NK
Найдем уравнение второй диагонали ромба (ТК). Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому их угловые коэффициенты связаны соотношением: .
(МN) x + 4y - 4 = 0
(ТК)
(ТК)
Найдем точку Т - точку пересечения диагонали ТК и прямой МТ:
Т
Запишем уравнение прямой ТN, используя формулу прямой, проходящей через две точки:
- уравнение стороны ТN
Сторона КМ параллельна стороне TN, поэтому угловые коэффициенты этих прямых равны.
(ТN)
(МК)
- уравнение стороны МК
Сделаем чертеж.
Ответ: , ,
Задание 5
Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А (-1; 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой x = -4.
Решение:
Пусть М(x;y) - точка, лежащая на искомой прямой.
АМ=
Расстояние от точки (х0;у0) до прямой Ах+Ву+С=0 определяется формулой:
x = -4
Расстояние от М до прямой равно:
По условию задачи , т.е.
Возведем обе части равенства в квадрат:
- уравнение искомой линии.
График полученной линии - парабола, ветви направлены вправо, вершина параболы в точке (-2,5;0), пересечение с осью ординат в точках (0;) и (0;).
Построим график.
Ответ:
Задание 6
Линия задана уравнением в полярной системе координат
Требуется:
1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;
2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью;
3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.
Решение:
1) Построим линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток
|
0 |
|||||||||||
|
r |
0,33 |
0,34 |
0,37 |
0,42 |
0,50 |
0,62 |
0,77 |
0,93 |
1,00 |
Продолжение таблицы
|
0,93 |
0,77 |
0,62 |
0,50 |
0,42 |
0,37 |
0,34 |
0,33 |
2) Построим уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью.
3) По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определяем, что это линия - эллипс.
Задание 7
Даны два линейных преобразования:
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x//1, x//2, x//3 через x1, x2, x3.
Решение:
Представим первое линейное преобразование в матричном виде: , а второе - в виде .
Тогда преобразование, выражающее x//1, x//2, x//3 через x1, x2, x3 определяется формулой:
Вычислим ВА.
,
Ответ:
Задание 8
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А:
А =
Решение:
Найдем собственные значения:
Найдем собственный вектор , отвечающий собственному значению .
Полагаем р3=1, тогда р2=1, р1=3
Ответ: ,
Задание 9
Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
а)
Ответ: 0,5.
б)
Ответ: .
в)
Ответ: 0,6.
г)
Ответ: е.
Задание 10
уравнение линейный матричный вектор крамер
Дано комплексное число z = 4 / (1+i). Требуется:
1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти все корни уравнения w3+z =0.
Решение:
1) - алгебраическая форма
Тригонометрическая форма:
- тригонометрическая форма
2) Найдем корни уравнения w3+ =0
Применим формулу извлечения корней из комплексного числа:
, к=0,1,…,n-1
Так как a=-1<0, то:
Ответ: Алгебраическая форма:
Тригонометрическая форма:
Корни уравнения: , ,
Подобные документы
Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [161,0 K], добавлен 16.03.2010Метод Гаусса–Жордана: определение типа системы, запись общего решения и базиса. Выражение свободных переменных с использованием матричного исчисления. Нахождение координат вектора в базисе. Решение системы уравнений по правилу Крамера и обратной матрицей.
контрольная работа [200,4 K], добавлен 17.12.2010Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями. Среднеквадратическое приближение функции. Численное интегрирование функций методом Гаусса.
курсовая работа [2,4 M], добавлен 14.04.2009Математическая модель задачи. Решение транспортной задачи методом потенциалов. Значение целевой функции. Система, состоящая из 7 уравнений с 8-ю неизвестными. Решение задач графическим методом. Выделение полуплоскости, соответствующей неравенству.
контрольная работа [23,5 K], добавлен 12.06.2011Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса. Табулирование и аппроксимация функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенное вычисление определенных интегралов. Решение оптимизационных задач.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 21.11.2013Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника.
контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014
