Предел и непрерывность функции
Предел последовательности. Необходимое условие сходимости бесконечной числовой последовательности. Вычисление предела последовательности. Бесконечно малые последовательности. Связь между бесконечно малыми и сходящимися последовательностями, их свойство.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.03.2012 |
| Размер файла | 149,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Предел и непрерывность функции
Предел последовательности
Определение. Числовая функция - это функция, область определения которой есть множество всех натуральных чисел; множество значений этой функции, т.е. совокупность чисел называют множеством значений этой последовательности.
Последовательность может быть задана с помощью формулы вида
выражающей через номер например
Определение. Число называется пределом последовательности если для каждого существует такой номер что для всех выполняется неравенство
Это можно записать символически следующим образом:
(1)
Если предел последовательности, то пишут или при
Если последовательность имеет пределом число то говорят, что она сходится к числу Последовательность имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся. Иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.
Так как
то утверждение о том, что число является пределом последовательности означает, что найдется такой номер что все члены последовательности принадлежат интервалу (другими словами, вне этого интервала находится лишь конечное число членов последовательности - не более Множество называется е-окрестностью точки (или просто окрестностью точки
Необходимое условие сходимости бесконечной числовой последовательности: для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.
Это условие не является достаточным, например, последовательность ограниченная, но не сходящаяся.
Непосредственное вычисление предела последовательности
или доказательство несуществования предела
Вычислить предел последовательности .
формула общего члена этой последовательности.
Докажем, что , т.е. что Из последнего неравенства получаем Число в общем случае не натуральное, поэтому возьмем в качестве натуральное число, превышающее его. Например, Здесь обозначает целую часть числа Упростив формулу для , получим
Доказать, что последовательность не имеет предела.
Предположим, что предел этой последовательности существует. Пусть Возьмем По определению предела можно найти натуральное число такое, что при Если взять четное то будем иметь а при нечетном имеем Тогда Получается, что - противоречие.
2. Бесконечно малые последовательности
Последовательность называется бесконечно малой, если
Свойства бесконечно малых последовательностей.
1. Сумма (или разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.
Примечание. Утверждения 1 и 2 распространяются также на три, четыре,… - любое конечное (фиксированное) число слагаемых или сомножителей. Однако, сумма не является бесконечно малой последовательностью, хотя - бесконечно малая.
Связь между бесконечно малыми и сходящимися последовательностями
Для того чтобы число являлось пределом последовательности необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство где - бесконечно малая последовательность.
Доказать, что
Для любого выполняется неравенство . Рассмотрим последовательность , где Тогда и
Следовательно, при Отсюда (т.е. - бесконечно малая) и
Свойства сходящихся последовательностей.
1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
2. Сходящаяся последовательность ограничена.
3. Пусть тогда существует предел последовательности где - фиксированное натуральное число, и он равен
4. Предел последовательности, все члены которой равны одной и той же величине, равен этой величине.
5. Пусть . Тогда:
а)
б) в частности, , где - константа;
в) если и при всех
Вычислить .
предел последовательность сходимость функция
3. Предельный переход в неравенствах
Теорема 1. Если последовательности и сходятся и при всех (или при всех для некоторого ), то
2. Если последовательность сходится и при всех (где и - константы), то
Примечание. Если при всех то можно утверждать лишь, что Утверждение о том, что может оказаться неверным. Так, например, при всех но
Достаточные признаки сходимости последовательности. 1. Если и неравенство выполнено при каждом начиная с некоторого, то существует предел последовательности и он также равен
2. Теорема (Вейерштрасса). Неубывающая (невозрастающая) последовательность, ограниченная сверху (снизу), имеет предел.
Пример. Вычислить предел последовательности
Эта последовательность может быть задана рекуррентно: Докажем индукцией по что при всех натуральных Действительно, так как то неравенство выполняется при Пусть теперь тогда Теперь докажем индукцией по что при всех натуральных Действительно, так как то неравенство выполняется при Пусть теперь тогда Так как последовательность возрастает и ограничена сверху, то по теореме Вейерштрасса она имеет предел. Обозначим этот предел буквой Так как то по теоремам о пределе суммы и пределе произведения получаем Корни этого уравнения Предел этой последовательности не может быть равен Следовательно,
Число
Можно доказать, что последовательность возрастающая и ограниченная сверху ( при всех Тогда по теореме Вейерштрасса имеет предел. Этот предел называется числом :
Число иррациональное, (бесконечная непериодическая десятичная дробь). Более того, число трансцендентное, т.е. не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами.
4. Предел функции
Предел функции в точке
Пусть и Множество
называется проколотой е-окрестностью точки (или просто проколотой окрестностью точки Очевидно,
Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, самой точки Число называется пределом функции при стремящемся к если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что при всех удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство .
Символическая запись:
Число - предел функции при стремящемся к обозначают или при
Из определения видно, что зависит от . Поэтому при доказательстве равенства обычно указывают формулу
Докажем, что
Докажем, что . Можно считать, что Тогда Имеем
Так как при то
.
Следовательно, удовлетворяет требуемому условию.
Функция называется бесконечно малой при если
5. Теоремы о пределах
1. Если предел функции при существует, то он единствен.
2. Если функция при имеет предел, то существует проколотая окрестность точки на которой функция ограничена (т.е. ).
3. Если и (соответственно ), то существует проколотая окрестность точки в которой (соответственно ).
4. Если функция тождественно равна постоянной то
5. Пусть при существуют пределы функций и Тогда при стремящемся к существуют также пределы суммы, разности и произведения этих функций, при этом:
а)
б)
в) кроме того, существует предел частного и , если
6. Если и существует окрестность точки в которой выполняется неравенство то существует предел функции при стремящемся к и он равен
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Предел последовательности, его графическое изображение. Основные свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией. Первый и второй замечательный предел.
контрольная работа [152,0 K], добавлен 14.05.2009Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.
контрольная работа [114,0 K], добавлен 17.12.2010Предел числовой последовательности. Сравнение бесконечно малых величин. Второй замечательный предел. Теорема Коши о сходимости числовой последовательности. Использование бинома Ньютона. Замена сомножителей на эквивалентные им более простые величины.
контрольная работа [152,1 K], добавлен 11.08.2009История развития теории пределов. Сущность и виды числовой последовательности, методика вычисления и определение свойств ее предела. Доказательство теоремы Штольца. Практическое применение предела последовательности в экономике, геометрии и физике.
курсовая работа [407,2 K], добавлен 16.12.2013Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.
презентация [137,0 K], добавлен 25.01.2013Члены последовательности и их изображение на числовой оси. Виды последовательностей (ограниченная, возрастающая, убывающая, сходящаяся, расходящаяся), их практические примеры. Определение и геометрический смысл предела числовой последовательности.
презентация [78,9 K], добавлен 21.09.2013Определение и этапы доказательства теоремы Штольца, ее теоретическое и практическое значение в прикладной математике, применение. Понятие предела последовательности, характерные примеры вычисления пределов последовательности с подробным разбором решения.
курсовая работа [103,0 K], добавлен 28.02.2010Понятие возрастающей числовой последовательности. Формула бинома Ньютона. Число положительных слагаемых. Определение ограниченности последовательности чисел. Предел монотонной и ограниченной последовательностей. Показательный рост или убывание.
презентация [87,1 K], добавлен 21.09.2013Понятие и история формирования категории "последовательность", ее значение в современной математике. Свойства и аналитическое задание последовательности, роль в развитии других областей знания. Решение задач на вычисление пределов последовательностей.
презентация [665,0 K], добавлен 17.03.2017Свойства бесконечно малых величин. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию. Предел функции f(x) при x, стремящимся к бесконечности: теорема и ее доказательство. Пример решения функции и предел отношения двух малых величин.
презентация [61,7 K], добавлен 21.09.2013
