Основы математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По предмету: "Математика"

1. Ряды и двойные интегралы

1.1 Исследовать на сходимость числовой ряд:

Решение. К данному положительному ряду применяем признак Даламбера:

Значит, ряд расходится.

Ответ: расходится

1.2 Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

Решение. Найдем радиус сходимости степенного ряда.

Итак, R=1, следовательно, , т. е. - интервал сходимости степенного ряда. Исследуем ряд на концах интервала сходимости: при х=-3 получаем ряд , для которого применим признак сравнения в предельной форме (сравним с гармоническим расходящимся рядом ): , следовательно, ряды ведут себя одинаково, т. е. ряд расходится;

при получаем - знакочередующийся ряд, для которого ряд из модулей расходится (см. выше) и выполняются условия признака Лейбница (члены ряда убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремится к нулю при ), следовательно, этот ряд сходится условно. Ответ: .

1.3 Разложить в окрестности точки в степенной ряд функцию

Решение. Преобразуем функцию:

Теперь воспользуемся известным разложением:

Заменяя х на , получаем:

.

Полученное разложение верно при , т. е. при .

Ответ: при .

1.4 Вычислить интеграл , где D - прямоугольник

Решение. Переходим к повторному интегралу:

Ответ: 4.

1.5 Вычислить интеграл , где D - область, ограниченная линиями

Решение. Изобразив область D, получим треугольник, который можно задать системой неравенств: Переходим к повторному интегралу:

Ответ: 0.

2. Дифференциальное уравнение

2.1 Решить задачу Коши для уравнения:

Решение. Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяем переменные (делим обе части уравнения на ) и интегрируем:

- общее решение данного уравнения.

Используя начальное условие , находим С:

.

Тогда искомое решение задачи Коши имеет вид:

Ответ:

2.2 Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение. Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Представим его в виде и решим методом Бернулли. Пусть , где - некоторые функции от х. Тогда .

Уравнение примет вид:

Найдем какое-нибудь частное решение уравнения . Имеем:

.

При С=1 получаем .

Уравнение (*) примет вид:

.

Тогда

Значит, - искомое общее решение.

Ответ:

2.3 Решить задачу Коши для уравнения:

Решение. Это линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим характеристическое уравнение:

- корни действительные, различные.

Тогда общее решение уравнения запишется в виде: .

При имеем: .

Из получаем .

При имеем: .

Решим систему уравнений:

Решение задачи Коши примет вид: .

Ответ: .

2.4 Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение ищем в виде: .

1) Найдем - общее решение соответствующего однородного уравнения Составим и решим характеристическое уравнение:

- действ. корень кратности 2.

Тогда общее решение уравнения запишется в виде: .

2) Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

(т. к. правая часть уравнения имеет вид и не является корнем характеристического уравнения). Имеем:

Подставив в исходное уравнение выражения для , получаем:

Тогда . Таким образом, искомое общее решение примет вид:

Ответ: .

3. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

3.1 Найдя сначала обратную матрицу системы уравнений

решить затем эту систему методом обратной матрицы.

Решение. Матрица системы уравнений имеет вид:

.

Сначала вычислим ее определитель по правилу треугольника:

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Составляем обратную матрицу:

.

Решение матричного уравнения ищем в виде . Имеем:

Ответ:

3.2 Используя формулы Крамера, решить систему уравнений

указав в ответе отдельно величину определителя ? этой системы.

Решение. Вычислим определитель системы по правилу треугольника:

.

Теперь вычислим определители , полученные из определителя ? заменой 1-го, 2-го и 3-го столбцов соответственно столбцом свободных членов:

По формулам Крамера получаем:

интеграл дифференциальный геометрия матрица

Ответ:

3.3 Решить методом Гаусса систему уравнений:

Решение. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Получаем систему уравнений:

Ответ:

3.4 Найти уравнение касательной к гиперболе в точке

Решение. Уравнение прямой будем искать в виде .

Так как точка принадлежит искомой касательной, подставляя ее координаты в уравнение , получим тождество или

(*).

Прямая и гипербола имеют единственную общую точку (касаются). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Подставив в левую часть второго уравнения вместо у его выражение из первого уравнения, получим: или . Это - квадратное уравнение, имеющее единственное решение в случае, когда дискриминант равен нулю. Таким образом, или (**).

Теперь для параметров к и в прямой имеем два условия (*) и (**). Следовательно, искомые значения параметров находятся как решения системы из этих условий:

Подстановкой вместо в во второе уравнение его выражения из первого, получим или , откуда , тогда , откуда .

Тогда - искомое уравнение касательной.

Ответ: .

3.5 Найти уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно плоскости

Решение. Ищем уравнение плоскости в виде . Две параллельные плоскости имеют общую нормаль. Координаты нормали заданной плоскости Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид: . Точка по условию лежит в искомой плоскости. Следовательно, подстановкой координат этой точки в уравнение плоскости получим тождество: .

Уравнение искомой плоскости имеет вид: .

Ответ: .

Размещено на Allbest.ru