Математический анализ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Неопределённый интеграл

О: Первообразной от функции y=f(x) называется функция F(x), такая что F'(x)=f(x)

Т: Всякая непрерывная функция y=f(x) имеет бесконечное множество первообразных, причём любые две из них отличаются друг от друга постоянным числом.

Д: Ф(x)?F(x), F'(x)=f(x) и Ф'(x)=f(x) => [F(x)-Ф(x)] '=0 => F(x)-Ф(x)=const <=> F(x)=Ф(x)+const

О: Выражение, охватывающее множество всех первообразных для данной функции y=f(x), называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается следующим образом: ?f(x)dx=F(x)+c

Свойства неопределённых интегралов

1. [? f(x)dx]'=[ F(x)+c]'=f(x) => [? f(x)dx]'=?f `(x)dx

2. ?[f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x)]dx=?f₁(x)dx +?f₂(x)dx+…+?f_n(x)dx

Д: [?[f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x)]dx]'=f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x); [?f₁(x)dx+?f₂(x)dx+…+?f_n(x)dx]'=[?f₁(x)dx]'+[?f₂(x)dx]'+…+[?f_n(x)dx]'=f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x)

3. ?сf(x)dx=с?f(x)dx

Д: (с?f(x)dx)'=c(?f(x)dx)'=cf(x)

4. Инвариантность (неизменность) формул интегрирования:

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид, если вместо независимой переменной использовать любую другую независимую переменную, т.е.

?f(x)dx=F(x)+c => ?f(u)du={u=u(x)}=F(u)+c

Д: dF(u)=F'(u)du => ?dF(u)= ?F'(u)du=?f(u)du => ?dF(u)=F(u) => ?f(u)du=F(u)+c

Интегрирование по частям

U=U(x), V=V(x), тогда ?U(x)dV(x)=U(x)V(x)-?V(x)dU(x)

Д: d(U·V)=VdU+UdV => ? d(U·V)= ?(VdU+UdV) <=> ?UdV=UV-?VdU

Понятие рациональной дроби

Пусть даны два многочлена Р_n(х)=a_nxⁿ+a_n-1xⁿ⁺¹+…+a₁x¹+a₀ и Q_m(x)= b_mx^m+b_m-1x^m+1+…+b₁x¹+b₀

(a_n, b_m?0).

О: Функция R(х) называется дробнорациональной функцией, если она представлена в виде R(х)= Р_n(х)/ Q_m(x).

О: Если n<m, то функция R(х) называется правильной дробнорациональной функцией. Если n>(=)m, то R(х) - неправильная дробно-рациональная функция. Любую дробнорациональную функцию при помощи деления числителя на знаменатель уголком можно представить в виде суммы многочлена неправильных дробнорациональных функций.

Интегрирование рациональных дробей

интеграл дифференциальный уравнение тригонометрический

1. Q_m(x)={ b_m=1}=x^m+b_m-1x^m+1+…+b₁x¹+b₀=(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_m), где x_1, x_2, x_m - корни многочлена Q_m(x).

R(x)={R(x) - правильная дробнорациональная функция} =Р_n(х)/Q_m(x)=Р_n(х)/((x-x₁)(x-x₂)…(x-x_m))

О: Выражение А_i / (x-x_i) (iєN) называется простейшей рациональной дробью.

R(x)=А₁ /(x-x₁)+А₂ /(x-x₂)+…+А_ь /(x-x_m).

2. Q_m(x)={ b_m=1}=x^m+b_m-1x^m+1+…+b₁x¹+b₀=(x-x₁)^k1(x-x₂)^k2…(x-x_m)^km _, (k₁+k₂+…+k_m=m)

Если Q_m(x) имеет кратные корни 2, то к каждому множителю соответствует степень ((x-x_i)^mi_).

1?i?m.

Разложение функции R(x) на простейшие дроби с суммой m_i простейших дробей.

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Пусть R= R(sinx,cosx) является рациональной функцией.

Т: Интеграл ?R(sinx,cosx)dx при помощи подстановки t=tg(x/2) [1] преобразуется в интеграл ?R*(t)dt, где R*(t) является также рациональной функцией. Равенство [1] называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Если в выражение функции R(sinx,cosx) sinx и cosx входят только с чётными степенями, то используется подстановка t=tg(x). Такой же подстановкой вычисляется интеграл вида ?R(tgx)dx.

Вычисление интегралов вида ?sin^mx·cosⁿx·dx; m, n є Z

1. m>0, n - нечётное, тогда t=cosx.

2. n >0, m - нечётное, тогда t=sinx.

3. m>0, n>0, m, n - чётные. В этом случае исходный интеграл вычисляется при помощи тригонометрических формул понижения степени.

4. m<0, n<0, m+n - чётное => t=tg x.

5. m=0, n<0, n - нечётное => t=tg(x/2).

6. При других значениях показателей степеней m и n соответствующие интегралы сводятся к одному из рассмотренных случаев.

Определённый интеграл

Примеры функций, неопределённые интегралы от которых не выражаются через элементарные функции

О: Элементарные функции, неопределённые интегралы которых не выражаются никакими конечными комбинациями элементарных функций называются неинтегрируемыми в элементарных функциях.

Задачи о нахождении площади плоской фигуры

Размещено на http://www.allbest.ru/

y=f(x) [a,b]=[x₀,x₁]+[x₁,x₂]+…+[x_n-1,x_n] a=x₀< x₁< x₂<…< x_n-1< x_n=b

О: Отрезки [x_i,x_i+1] (0?i?n-1, iєZ) называются частичными отрезками.

Выберем в каждом частичном отрезке [x_i,x_i+1] произвольную точку е_iє[x_i,x_i+1], т.е:

е₁є[x₀,x₁]; е₂є[x₁,x₂]; … ; е_nє[x_n-1,x_n].

Пусть S_n - площадь ступенчатой фигуры. Поскольку площадь этой фигуры складывается из площадей соответствующих прямоугольников, то

?=max, S - площадь криволинейной трапеции => (1)

О: Величина I_n называется интегральной сумой.

О: Определение интегралом называют предел, к которому стремится интегральная сумма при неограниченном увеличении числа точек разбиения отрезка АВ и стремящееся к нулю длины наибольшего из них, т.е

. (2)

О: В формуле (2) величины a, b называются нижним и верхним пределом интегралов.

Геометрический смысл определённого интеграла

О: Площадь криволинейной трапеции равна определённому интегралу, вычисленному от функции, график которой является верхним основанием, а ось абсцисс - нижним основанием.

Теорема существования определённого интеграла

Т: Если функция f(x) непрерывна на отрезке АВ, то её интегральная сумма стремится к пределу при неограниченном увеличении числа точек разбиения и стремящейся к нулю длины наибольшего отрезка разбиения, не зависит от способа разбиения отрезка АВ на частичные отрезки и выбора в них промежутка точки.

Свойства определённого интеграла

1. Определённый интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от подынтегральных функций.

Д:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла.

Д:

3. Если поменять местами пределы интегрирования, то знак перед интегралом поменяется на противоположный.

Д:

4. Если отрезок интегрирования [a,b] разбить на две части точкой С так, что [a,b]=[a,c]+[c,b], то

Д: Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезки, выберем точку С таким образом, чтобы она совпадала с одной из точек разбиения. Тогда , (1), где первая сумма правой части функции

(1) - сумма, соответствующая точкам разбиения отрезка [a,c], а вторая - отрезку [c,b],

Размещено на http://www.allbest.ru/

С: Если С₁, С₂,… С_nє[a,b], то

5. Если подынтегральная функция на отрезке [a,b] не меняет знак, то интеграл является числом такого же знака, что и подынтегральная функция на отрезке интегрирования [a,b], т.е., если f(x)?0, хє[a,b] =>

Д:

6. Значение определённого интеграла находится между произведением наименьшего и наибольшего значения подынтегральной функции на длину отрезка интегрирования, т.е. где .

Д:

Размещено на http://www.allbest.ru/

7. Если то интеграл

Д:

8. Теорема о среднем.

Т: Внутри отрезка [a,b] существует хотя бы одно значение х=еє[a,b], такое что:

Д: Пусть , тогда ;

- Теорема о среднем для определения интеграла.

Размещено на http://www.allbest.ru/

9. Формула для вычисления производной от определённого интеграла по переменному верхнему пределу.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Д:

10. Формула Ньютона - Лейбница.

О: Значение определённого интеграла равняется разности значений любой первообразной для подынтегральной функции в точках верхнего и нижнего предела соответственно, т.е

Д: Рассмотрим интеграл .

Из функции (1) следует, что I(x) является первообразной для подынтегральной функции f(x), т.к. I'(x)= f(x). Пусть F(x) - какая-то первообразная для подынтегральной функции, тогда I(x)=F(x)+c (2).

Из (1) =>

Из (2) =>

Замена переменной в определённом интеграле

Т: Если на отрезке [х_1,х₂] функции непрерывны и , то интеграл от

Д:

Интегрирование по частям в определённом интеграле

Т: Пусть U=U(x), V=V(x), тогда

Д: Т.к. определённый интеграл равен разности значений первообразной в точках верхнего и нижнего и верхнего пределов, то интеграл

Несобственный интеграл

Несобственные интегралы I рода

О: Несобственным интегралом I рода от функции f(x), определённым на множестве [а,?], называется предел, к которому стремится интеграл

,

О: Если существует конечный предел в функции (1), то несобственный интеграл называется сходящимся.

О: Если предел в функции (1) является бесконечным, или его не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Если первообразная функции F(x) для подынтегральной функции f(x) известна, то

Признаки сходимости интегралов I рода

Т: (Признак сравнения) Пусть для любого допустимого значения х выполняется неравенство: , тогда:

1. Если интеграл - сходящийся, то сходится интеграл .

2. Если - расходящийся, - тоже расходящийся.

Д: 1. Пусть интеграл - сходящийся, тогда на основе определения сходимости несобственного интеграла I рода следует, что - огр. и монотонно возрастает. - сходящийся.

2. - расходящийся при , но по условию - расходящийся.

Т: Если интеграл - сходящийся, то сходящийся и . В этом случае называется абсолютно сходящимся интегралом.

Д: Рассмотрим 2 функции: Из определения функции f⁺(x) и f^Ї(x) следует, что эти функции не отрицательные. f⁺(x)?0 и f^Ї(x)?0, т.к. - сходящийся, то и - сходящиеся. 0?f⁺(x)?|f(x)| и 0?f^Ї(x)?|f(x)|, т.к f(x)= f⁺(x)+f^Ї(x), то (1).

Поскольку оба несобственных интеграла в правой части функции (1) - сходящиеся, то и интеграл также сходящийся.

Сходимость несобственных интегралов II рода

Размещено на http://www.allbest.ru/

нет точек разрыва р - точка разрыва II рода x₀ - точка разрыва I рода

О: Если на отрезке [a,b] функция у=f(x) имеет крнечное число точек разрыва I рода (x=C_1, C_2, …C_n, где C_i - точка разрыва I рода, 1?i?n), то

О: Если в точке b подынтегральная функция у=f(x) имеет разрыв II рода (т.е. ), то несобственным интегралом II рода от функции у=f(x) на отрезке [a,b] называется предел, к которому стремится , т.е. несобственный интеграл II рода есть (2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

О: Если существует конечный предел в функции (2), то несобственный интеграл II рода называется сходящимся, если конечного предела нет, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Вычисление площади плоской фигуры в декартовой прямоугольной системе координат

1. y=y(x)

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Подынтегральная функция задана параметрически.

Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат.\

Размещено на http://www.allbest.ru/

Требуется найти площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами ОА и ОВ и линией, уравнение которой в полярной системе координат имеет вид r=r(ц).

Пусть S_n - площадь плоской фигуры, составленной из круговых секторов с вершиной в точке О и радиусами r₁, r₂ …r_n. Тогда

(1)

О: Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат - это предел к которому стремится интегральная сумма (1) при n>? b и ?ц>0, где ?ц=max(?ц), 1?k?n.

Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть в декартовой системе координат 0, х, у задан график функции у=f(х). Будем считать, что эта функция непрерывна вместе со своей производной.

О: Длиной дуги графика функции у=f(х) называется предел, к которому стремится длина ломанной линии, вписанной в эту дугу при неограниченном увеличении числа сторон этой ломанной линии и стремлении к нулю наибольшей из этих сторон.

Размещено на http://www.allbest.ru/

a=x₀<x₁<x₂<…<x_n-1<x_n=b, ?x_k=x_k-x_k-1; A_kA_k-1=

Длина ломанной линии:

На основании формулы Лаграунда, имеем

Из (1) и (2) =>. Переходим к пределу в равенстве (3) при n>? и ?х>0, (4), где L - длина дуги графика функции у=f(х), определённой на отрезке [a,b]. Из (4) =>

Формула для вычисления длины дуги при различном способе задания кривой на плоскости

График функции задан параметрически

, тогда из (5) =>

Вычисление объёма тела п площади параллельных плоскостных сечений. Вычисление объёма тела вращения

Пусть в пространстве дано тело, ограниченное некоторой замкнутой поверхностью и пусть известна площадь любого его сечения, полученного плоскость, проведённой перпендикулярно некоторой оси. В начале этой оси можно взять ось Ох. В этом случае площадью произвольного сечения является функция переменной х (S=S(x)).

О: Объёмом тела называется предел, к которому стремится объём вписанного в него многоступенчатого цилиндра при неограниченном увеличении числа ступеней цилиндра и стремлении к нулю объёма наибольшего из них.

а=x₀<x₁<x₂< …<x_k<x_k-1<…<x_n-1<x_n=b, V_k=( x_k-x_k-1)S(x_k)= S(x_k)?x_k; ?x=max?x_k, 1?k?n,

Перейдём к пределу в функции (1) при n>? b и ?х>0

Если рассматриваемое тело, полученное при помощи вращения произвольной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у=у(х), то поперечным сечением данного тела в точке х является круг, радиус которого r равен значению функции у в данной точке х. r=y(x). Тогда S(x) - есть площадь круга S(x)=рy²(x).

Нахождение площади поверхности тела вращения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Q(x) - соответствует площади боковой поверхности данного тела от точки А до точки х. Q(x)>х€[a,x]. Q(x+?x)>х€[a,x+?x], тогда ?Q=Q(x+?x)-Q(x)>х€[a,x+dx].

Перейдём в (6) к пределу при ?x>0. В этом случае ?у также >0. =>

Функция 2^х переменных

О: Величина z называется функцией переменных х, у, определённых на множестве D x,y€D). Если каждой точке из этого множества с координатами х, у соответствует одно значение z.

z=z(х,у) <=> z=f(x,y).

Способ задания функции двух переменных

1. Табличный. Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Аналитический t=x+y.

3. Графический.

О: Функции трёх и более переменных определяются аналогично определению 2^х переменных.

О: Частной производной от функции z=f(x,y) по переменной x называется функция переменных x,y, получающаяся при помощи дифференцирования исходной функции по переменной x с предположением, что переменная y является константой.

Аналогично определение производной по переменной у.

О: Смешанные производные второго порядка называют производными производного вида.

Т: Если вторые смешанные производные от функции z=f(x,y) являются непрерывными функциями, то они равны между собой.

Понятие полного дифференциала для функции 2^ч переменных

О: Полным приращением функции z=f(x,y) в точке М(x,y) называется величина ?z=f(x+?x,y+?y)=f(x,y).

Можно доказать, что величину ?z можно представить в виде ?z=a?x+b?y+б, где с - определяется

О: Величина a?x+b?y называется полным дифференциалом функции z и обозначается, как dz.

Т: Полный дифференциал функции 2^х переменных равен сумме произведения частных производных на дифференциалы соответствующих независимых приращений, т.е. .

Д: Т.к.

Дифференциальные уравнения

Однородные дифференциальные уравнения I порядка

О: Дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение, в которое входят независимая переменная х, неизвестная функция у, и её производная у', т.е. это уравнение имеет вид F(x,y,y')=0 (1)

Из уравнения (1) производную можно выразить через независимую переменную х и неизвестную функцию у, то дифференциал уравнения (1): y'=f(x,y) (1).

О: Общим решением дифференциального уравнения (1) называется совокупность функций y=у(x,с), где с - производная постоянная, таких, что при подстановке этих функций в исходное уравнение, уравнение (1) обращается в верное числовое равенство (тождество).

О: Частным решением называется общее решение уравнения (1) при фиксированном значении константы с.

с=0, у=х²/2-частное решение.

О: Начальным условием уравнения (1) называется условие вида:

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения y'=f(x,y). (Теорема Каши)

Т: Если функция f(x,y) и непрерывны в некоторой области D, содержащей точку Р₀(х₀,у₀), то существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию .

Геометрический смысл задачи Каши

Любое частное решения уравнения (1) на координатной плоскости х0у изображено в виде графика функции у=у(х,с) (с=const). В теории дифференциальных уравнений этот график называется интегральной кривой.

Общему решению уравнения (1) соответствует в общем случае бесконечное множество интегральных кривых.

y'=x y=x²/2+c. y=x²/2 (c=0), y=x²/2-2 (c=-2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задании начального условия означает задание на координатной плоскости точки Р₀(х₀,у₀), через которую должна проходить интегральная кривая.

Если f(x,y) и в точке Р₀(х₀,у₀) непрерывны, то через эту точку проходит единственная интегральная кривая.

Если в этой точке условия теоремы Каши нарушены (нет непрерывности), то через точку Р₀(х₀,у₀) проходит либо бесконечное множество интегральных кривых либо вообще не проходит ни одной интегральной кривой.

Точки, в которых нарушается условие теоремы Каши, называются особыми точками.

Методы решения дифференциальных уравнений

1. Метод разделения переменных.

О: Дифференциальные уравнения, в которых переменные можно разделить посредством умножения обеих частей уравнения на одно и то же выражение называются дифференциальными уравнениями с разделёнными переменными.

2. Решение однородных уравнений.

О: Уравнение (1) называется однородным, если f(x,y) будет представлена в виде f(x,y)=ц(yx).

y=U(x)·x. Переменную х представляют в виде произведения некоторой неизвестной функции U, зависящей от х, умноженной на переменную х.

Линейные дифференциальные уравнения I порядка

О: Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение вида: y'+p(x)y+q(x) (1).

Метод решения линейных дифференциальных уравнений I порядка

y=U(x)·V(x) => y'=U'(x)·V(x)+U(x)·V'(x) => (1) U'(x)·V(x)+U(x)·V'(x)+p(x)·U(x)·V(x)=q(x) , т.к. U(x) и V(x) -

произвольные функции независимой переменной х, то функцию V(x) можно определить по условию

Размещено на Allbest.ru