Числові характеристики випадкових величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

1. Числові характеристики випадкових величин

Найбільш повна характеристика випадкової величини дається її функцією розподілу (або також і щільністю розподілу для неперервної випадкової величини). Проте досить часто доцільно обмежитися простішою, хоч і неповною інформацією про випадкову величину. Наприклад, досить вказати окремі числові величини, які певним чином визначають істотні риси розподілу випадкової величини: деяке середнє значення випадкової величини; деяке число, що характеризує ступінь розсіювання значень випадкової величини навколо її середнього значення, тощо. Користуючись такими характеристиками, ми в стислій формі можемо отримати інформацію про істотні особливості законів розподілу випадкової величини. Характеристики, що виражають в стислій формі найістотніші особливості закону розподілу випадкової величини, називаються числовими характеристиками випадкової величини. До них в першу чергу відносяться математичне сподівання і дисперсія.

1.1 Математичне сподівання

Випадкова величина може приймати різні числові значення, тому практично важливим є середнє значення випадкової величини. Для оцінки середнього (у ймовірнісному сенсі) значення випадкової величини вводиться поняття математичного сподівання, яке є дійсним середнім значенням випадкової величини і визначається з врахуванням різних ймовірностей її окремих значень. Математичне сподівання випадкової величини позначаємо . Для дискретної випадкової величини , заданої рядом розподілу де , математичне сподівання обчислюється за формулою

=, (1)

Якщо ряд справа збігається. Нехай - неперервна випадкова величина, значення якої , і - її щільність розподілу. Розіб'ємо відрізок на частин, довжини яких , ,…,. Візьмемо в кожному частинному відрізку точку . Добуток приблизно дорівнює ймовірності попадання неперервної випадкової величини в інтервал , а сума наближено дорівнює математичному сподіванню неперервної випадкової величини. Якщо існує границя , то вона називається математичним сподіванням неперервної випадкової величини і позначається =. (2) У випадку, якщо , то =, причому інтеграл повинен збігатися абсолютно. Відзначимо найпростіші властивості математичного сподівання:

. ; де - стала величина,

. ;

. +;

. ;

якщо випадкові величини незалежні. Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла інша випадкова величина. Математичне сподівання називають центром розподілу ймовірностей випадкової величини, випадкова величина називається центрованою.

1.2 Дисперсія

Для характеристики розсіювання значень випадкової величини відносно її центра розподілу (математичного сподівання) вводять числову характеристику - дисперсію випадкової величини. Позначається . За означенням, дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрату відхилення випадкової величини від її математичного сподівання =. (3)

Дисперсія обчислюється за формулами = (4) для дискретних випадкових величин, і = (5) для неперервних випадкових величин. Тут для простоти позначено =. Найпростіші властивості:

. ; де - стала величина,

. ;

. +;

якщо випадкові величини незалежні. Практично дисперсію обчислюють за робочою формулою =, (6) де для дискретних випадкових величин і для неперервних випадкових величин. Дисперсія є кількісною оцінкою відхилення випадкової величини від її математичного сподівання. Проте, оскільки дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини, то для оцінки міри розсіювання використовують характеристику , яка називається середнім квадратичним або стандартним відхиленням випадкової величини. Оскільки , то і

. Розмірність середнього квадратичного відхилення співпадає з розмірністю випадкової величини. Приклад 1. Дискретна випадкова величина задана рядом розподілу

Знайти і . Розв'язання. За формулою (1)

=

За формулою (6) = Звідки

2. Неперервна випадкова величина задана щільністю розподілу

Знайти і .

Розв'язання. За формулою (2)

=

Отже, = =

2.1 Моменти

Більш загальною формою числових характеристик випадкових величин є моменти го порядку. Моментом го порядку випадкової величини називається математичне сподівання го степеня відхилення випадкової величини від деякої сталої величини . (7) Якщо =0, то момент називається початковим . (8) Очевидно, що , . Якщо =, то момент називається центральним . (9) Очевидно, що , , =. Між центральними і початковими моментами існує простий зв'язок, зокрема , , .

Величина називається абсолютним моментом го порядку. В теорії ймовірностей та її застосуваннях часто використовують інші числові характеристики. Модою випадкової величини (позначається ) називається найімовірнісне значення випадкової величини. Медіана () випадкової величини - таке значення випадкової величини, відносно якого рівноймовірно одержання більшого або меншого значення випадкової величини, тобто . Медіана - це абсциса точки, в якій площа під кривою розподілу ділиться навпіл. Медіана визначається як корінь рівняння Коефіцієнт асиметрії (зкошеності) характеризує асиметрію графіка функції розподілу. Коефіцієнт ексцесу характеризує гостровершинність кривої розподілу. На практиці використовується відносна характеристика розсіювання, яка називається коефіцієнтом варіації і представляє собою середнє квадратичне відхилення у відсотках до математичного сподівання %. Коефіцієнт варіації показує, наскільки велике розсіювання порівняно із середнім значенням випадкової величини.

2.2 Числові характеристики основних законів розподілу

Розглянемо, як обчислюються числові характеристики основних законів розподілу дискретних і неперервних випадкових величин.

Біномний розподіл. Випадкова величина - число появ деякої події в незалежних спробах, причому . Нехай - число появ події в -й спробі . Кожна з дискретних випадкових величин приймає тільки два можливі значення : 0 і 1.

Отже, ряд розподілу

числовий розподіл випадковий величина

Звідки , , .

Випадкова величина =++…+. Оскільки випадкові величини незалежні в сукупності, то , . (10)

Розподіл Пуассона. Випадкова величина Х називається розподіленою за законом Пуассона з параметром (пр), якщо вона приймає значення ,.. із ймовірностями , причому дуже мале, а дуже велике число. !

= = =. Отже, . (11)

===

+

+=+=+=

Отже, = (12)

Геометричний розподіл. Ряд розподілу випадкової величини Х :

Обчислимо математичне сподівання

=. (13)

Для знаходження суми ряду в правій частині (13) використаємо геометричний ряд , сума якого . (14) Диференціюємо (14) по :

Оскільки , , то . (15)

Знайдемо =. (16)

Ряд домножимо на : і диференціюємо по .

Отриманий ряд домножимо на : звідки .

Отже, =. (17)

Рівномірний розподіл. Оскільки то

. (18)

.

Отже, =. (19)

Показниковий розподіл. Оскільки (, то

. (20)

. Отже, . (21)

Нормальний закон.

Щільність розподілу , .

Обчислимо математичне сподівання .

Зробивши заміну , , ; отримаємо =+.

Інтеграл = ( це інтеграл Пуассона), інтеграл =0, як інтеграл від непарної функції. Отже, . (22)

Обчислимо дисперсію .

Заміна зводить інтеграл до такого , який інтегруємо частинами +=.

Таким чином, . (23) Отже, ми вияснили ймовірнісний зміст параметрів нормального розподілу - це математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини, а - її середнє квадратичне відхилення.

Ймовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини від її математичного сподівання. Правило трьох сигм. Нехай - нормально розподілена випадкова величина з параметрами і . Ймовірність того, що її значення відхиляться від математичного сподівання не більше, ніж на деяке число , обчислюється за формулою =2. (24) Дійсно, переписавши нерівність у вигляді і врахувавши формулу для ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини в деякий інтервал = , отримаємо

===2. Покладемо у формулі (24) , тоді =2=0,9973. (25) Формула (25) виражає так зване правило трьох сигм, зміст якого такий: у 99,73% випадків значення нормально розподіленої випадкової величини буде відрізнятися від свого середнього (математичного сподівання) не більше, ніж на потроєне значення свого середнього квадратичного.

Размещено на Allbest.ru