Выборочные характеристики и их вычисление
Вычисление основных выборочных характеристик. Анализ несмещенной выборочной оценки для среднего квадратического отклонения. Коэффициент вариации. Ранжирование выборочных данных. Вычисление интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.01.2012 |
| Размер файла | 81,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Исходные данные
Таблица 1. Выборка
|
N |
Значение |
|
|
1 |
-0,0814 |
|
|
2 |
0,9059 |
|
|
3 |
0,6590 |
|
|
4 |
-2,3405 |
|
|
5 |
-2,6024 |
|
|
6 |
2,6715 |
|
|
7 |
-1,6412 |
|
|
8 |
0,8520 |
|
|
9 |
1,9508 |
|
|
10 |
-3,1640 |
|
|
11 |
1,8182 |
|
|
12 |
1,2848 |
|
|
13 |
2,7858 |
|
|
14 |
2,4279 |
|
|
15 |
3,9771 |
|
|
16 |
4,5379 |
|
|
17 |
-1,5266 |
|
|
18 |
-1,5228 |
|
|
19 |
1,3133 |
|
|
20 |
1,4366 |
|
|
21 |
3,6669 |
|
|
22 |
5,0589 |
|
|
23 |
0,0003 |
|
|
24 |
-2,0061 |
|
|
25 |
-1,0127 |
|
|
26 |
2,5362 |
|
|
27 |
0,9512 |
|
|
28 |
1,7192 |
|
|
29 |
0,5332 |
|
|
30 |
1,1482 |
|
|
31 |
-0,7294 |
|
|
32 |
2,7250 |
|
|
33 |
0,9505 |
|
|
34 |
2,3219 |
|
|
35 |
2,2694 |
|
|
36 |
0,8794 |
|
|
37 |
-1,8662 |
|
|
38 |
2,8145 |
|
|
39 |
0,7609 |
|
|
40 |
3,1450 |
|
|
41 |
3,0391 |
|
|
42 |
0,6082 |
|
|
43 |
1,5483 |
|
|
44 |
5,2311 |
|
|
45 |
3,9773 |
|
|
46 |
-0,4708 |
|
|
47 |
-1,0809 |
|
|
48 |
4,1350 |
|
|
49 |
2,7798 |
|
|
50 |
-3,0102 |
|
|
51 |
-1,3048 |
|
|
52 |
2,4782 |
|
|
53 |
3,9729 |
|
|
54 |
6,4580 |
|
|
55 |
1,7360 |
|
|
56 |
-2,9843 |
|
|
57 |
4,2256 |
|
|
58 |
1,6433 |
|
|
59 |
-4,4267 |
|
|
60 |
-0,6090 |
Количество наблюдений: N = 60
Максимальное значение: Xmax = 9,78
Минимальное значение: Xmin = 6,09
Вычисление основных выборочных характеристик
вычисление выборочный характеристика
Составим таблицу, где будем рассчитывать необходимые величины.
Таблица 2. Вычисление основных выборочных характеристик
|
N |
Xi |
|||||
|
1 |
7,73 |
0,34 |
0,12 |
-0,04 |
0,01 |
|
|
2 |
7,67 |
0,40 |
0,16 |
-0,07 |
0,03 |
|
|
3 |
8,27 |
0,20 |
0,04 |
0,01 |
0,00 |
|
|
4 |
7,22 |
0,85 |
0,73 |
-0,62 |
0,53 |
|
|
5 |
7,89 |
0,18 |
0,03 |
-0,01 |
0,00 |
|
|
6 |
9,75 |
1,68 |
2,81 |
4,70 |
7,88 |
|
|
7 |
9,66 |
1,59 |
2,51 |
3,99 |
6,32 |
|
|
8 |
8,02 |
0,05 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
|
9 |
8,31 |
0,24 |
0,06 |
0,01 |
0,00 |
|
|
10 |
7,4 |
0,67 |
0,45 |
-0,31 |
0,21 |
|
|
11 |
8,83 |
0,76 |
0,57 |
0,43 |
0,33 |
|
|
12 |
9,34 |
1,27 |
1,60 |
2,03 |
2,56 |
|
|
13 |
8,45 |
0,38 |
0,14 |
0,05 |
0,02 |
|
|
14 |
7,12 |
0,95 |
0,91 |
-0,87 |
0,83 |
|
|
15 |
7,63 |
0,44 |
0,20 |
-0,09 |
0,04 |
|
|
16 |
8,83 |
0,76 |
0,57 |
0,43 |
0,33 |
|
|
17 |
9,29 |
1,22 |
1,48 |
1,80 |
2,18 |
|
|
18 |
6,5 |
1,57 |
2,48 |
-3,90 |
6,15 |
|
|
19 |
7,58 |
0,49 |
0,24 |
-0,12 |
0,06 |
|
|
20 |
6,95 |
1,12 |
1,26 |
-1,42 |
1,60 |
|
|
21 |
8,25 |
0,18 |
0,03 |
0,01 |
0,00 |
|
|
22 |
9,25 |
1,18 |
1,38 |
1,62 |
1,91 |
|
|
23 |
8,46 |
0,39 |
0,15 |
0,06 |
0,02 |
|
|
24 |
9,52 |
1,45 |
2,09 |
3,02 |
4,37 |
|
|
25 |
9,63 |
1,56 |
2,42 |
3,76 |
5,85 |
|
|
26 |
7,29 |
0,78 |
0,62 |
-0,48 |
0,38 |
|
|
27 |
8,9 |
0,83 |
0,68 |
0,56 |
0,46 |
|
|
28 |
9,78 |
1,71 |
2,91 |
4,96 |
8,46 |
|
|
29 |
8,6 |
0,53 |
0,28 |
0,15 |
0,08 |
|
|
30 |
8,8 |
0,73 |
0,53 |
0,38 |
0,28 |
|
|
31 |
6,96 |
1,11 |
1,24 |
-1,38 |
1,54 |
|
|
32 |
6,64 |
1,43 |
2,06 |
-2,95 |
4,23 |
|
|
33 |
8,46 |
0,39 |
0,15 |
0,06 |
0,02 |
|
|
34 |
8,89 |
0,82 |
0,67 |
0,54 |
0,44 |
|
|
35 |
9,03 |
0,96 |
0,91 |
0,87 |
0,83 |
|
|
36 |
7,84 |
0,23 |
0,05 |
-0,01 |
0,00 |
|
|
37 |
6,28 |
1,79 |
3,22 |
-5,78 |
10,37 |
|
|
38 |
7,32 |
0,75 |
0,57 |
-0,43 |
0,32 |
|
|
39 |
8,39 |
0,32 |
0,10 |
0,03 |
0,01 |
|
|
40 |
8,27 |
0,20 |
0,04 |
0,01 |
0,00 |
|
|
41 |
6,49 |
1,58 |
2,51 |
-3,98 |
6,30 |
|
|
42 |
8,71 |
0,64 |
0,40 |
0,26 |
0,16 |
|
|
43 |
9,02 |
0,95 |
0,89 |
0,85 |
0,80 |
|
|
44 |
7,7 |
0,37 |
0,14 |
-0,05 |
0,02 |
|
|
45 |
9,64 |
1,57 |
2,45 |
3,84 |
6,01 |
|
|
46 |
8,07 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
|
47 |
6,25 |
1,82 |
3,33 |
-6,07 |
11,08 |
|
|
48 |
6,21 |
1,86 |
3,48 |
-6,48 |
12,09 |
|
|
49 |
6,9 |
1,17 |
1,38 |
-1,62 |
1,90 |
|
|
50 |
6,09 |
1,98 |
3,94 |
-7,82 |
15,51 |
|
|
51 |
9,36 |
1,29 |
1,65 |
2,12 |
2,73 |
|
|
52 |
8,45 |
0,38 |
0,14 |
0,05 |
0,02 |
|
|
53 |
7,51 |
0,56 |
0,32 |
-0,18 |
0,10 |
|
|
54 |
8,3 |
0,23 |
0,05 |
0,01 |
0,00 |
|
|
55 |
8,26 |
0,19 |
0,03 |
0,01 |
0,00 |
|
|
56 |
8,66 |
0,59 |
0,34 |
0,20 |
0,12 |
|
|
57 |
6,55 |
1,52 |
2,32 |
-3,54 |
5,40 |
|
|
58 |
7,16 |
0,91 |
0,84 |
-0,76 |
0,70 |
|
|
59 |
9,08 |
1,01 |
1,01 |
1,02 |
1,02 |
|
|
60 |
7,06 |
1,01 |
1,03 |
-1,04 |
1,06 |
|
|
сумма |
484,47 |
52,11 |
62,73 |
-12,21 |
133,70 |
1. Среднее арифметическое случайной величины X
2. Среднее линейное отклонение
3. Дисперсия случайной величины X
4. Несмещенная оценка дисперсии
5. Среднее квадратическое отклонение
6. Несмещенная выборочная оценка для среднего квадратического отклонения
7. Коэффициент вариации
8. Коэффициент асимметрии случайной величины X
9. Коэффициент эксцесса случайной величины
10. Вариационный размах
По результатам вычисления коэффициент асимметрии можно считать близким к нулю, в то время как коэффициент эксцесса - нельзя. Поэтому необходимы дополнительные исследования для выяснения степени близости распределения выборки нормальному распределению.
Ранжирование выборочных данных
Ранжируем ряд исходных данных, результаты представим в виде следующей таблицы.
Таблица 3. Ранжированный ряд исходных данных
|
k |
Xk |
|
|
1 |
6,09 |
|
|
2 |
6,21 |
|
|
3 |
6,25 |
|
|
4 |
6,28 |
|
|
5 |
6,49 |
|
|
6 |
6,5 |
|
|
7 |
6,55 |
|
|
8 |
6,64 |
|
|
9 |
6,9 |
|
|
10 |
6,95 |
|
|
11 |
6,96 |
|
|
12 |
7,06 |
|
|
13 |
7,12 |
|
|
14 |
7,16 |
|
|
15 |
7,22 |
|
|
16 |
7,29 |
|
|
17 |
7,32 |
|
|
18 |
7,4 |
|
|
19 |
7,51 |
|
|
20 |
7,58 |
|
|
21 |
7,63 |
|
|
22 |
7,67 |
|
|
23 |
7,7 |
|
|
24 |
7,73 |
|
|
25 |
7,84 |
|
|
26 |
7,89 |
|
|
27 |
8,02 |
|
|
28 |
8,07 |
|
|
29 |
8,25 |
|
|
30 |
8,26 |
|
|
31 |
8,27 |
|
|
32 |
8,27 |
|
|
33 |
8,3 |
|
|
34 |
8,31 |
|
|
35 |
8,39 |
|
|
36 |
8,45 |
|
|
37 |
8,45 |
|
|
38 |
8,46 |
|
|
39 |
8,46 |
|
|
40 |
8,6 |
|
|
41 |
8,66 |
|
|
42 |
8,71 |
|
|
43 |
8,8 |
|
|
44 |
8,83 |
|
|
45 |
8,83 |
|
|
46 |
8,89 |
|
|
47 |
8,9 |
|
|
48 |
9,02 |
|
|
49 |
9,03 |
|
|
50 |
9,08 |
|
|
51 |
9,25 |
|
|
52 |
9,29 |
|
|
53 |
9,34 |
|
|
54 |
9,36 |
|
|
55 |
9,52 |
|
|
56 |
9,63 |
|
|
57 |
9,64 |
|
|
58 |
9,66 |
|
|
59 |
9,75 |
|
|
60 |
9,78 |
Определим количество интервалов группировки по формуле Стержесса:
Длина интервала:
Составим таблицу, соответствующую выбранному разбиению выборки на интервалы.
Таблица 4. Разбиение выборки на интервалы
|
Интервал |
[6,09; 6,62) |
[6,62; 7,14) |
[7,14; 7,67) |
[7,67; 8,20) |
[8,20; 8,73) |
[8,73; 9,25) |
[9,25; 9,78) |
|
|
6,35 |
6,88 |
7,41 |
7,94 |
8,46 |
8,99 |
9,52 |
||
|
ni |
7 |
6 |
8 |
7 |
14 |
8 |
10 |
|
|
Wi |
0,12 |
0,10 |
0,13 |
0,12 |
0,23 |
0,13 |
0,17 |
По результатам вычислений, произведенных в таблице 4, строим график, откладывая по оси ординат частость, а по оси абсцисс - середины интервалов.
График 1. Гистограмма и полигон относительных частот
Оценку медианы находим из соотношения:
Моду найдём на основании данных таблицы 4. Наибольшей частотой обладает интервал [8,20; 8,73). Значит, мода равна:
Мо = 8,46.
Вычисление интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии
Зададимся уровнем значимости б = 0,05.
Тогда значение t-распределения Стьюдента равно t = 2,00.
Как было вычислено выше, и
Интервальную оценку математического ожидания (a) найдём по формуле:
В нашем случае
Откуда
7,80 < a < 8,34.
Перейдём к нахождению интервальной оценки дисперсии.
Число степеней свободы равно N - 1 = 60 - 1 = 59.
При выбранном уровне значимости и имеющихся степенях свободы значение хи-квадрат статистики равно
и .
Интервальную оценку дисперсии найдём по формуле:
В нашем случае
Откуда
0,75 < у2 < 1,55.
Параметрическая оценка функции плотности распределения
В следующей таблице рассчитаем теоретические вероятности и частоты данного распределения.
Таблица 5. Вычисление теоретических вероятностей и частот
|
[xi-1; xi) |
ni |
|||||||
|
[6,09; 6,62) |
7 |
6,35 |
-1,68 |
0,09 |
0,05 |
2,93 |
3 |
|
|
[6,62; 7,14) |
6 |
6,88 |
-1,17 |
0,19 |
0,10 |
6,11 |
6 |
|
|
[7,14; 7,67) |
8 |
7,41 |
-0,65 |
0,31 |
0,16 |
9,76 |
10 |
|
|
[7,67; 8,20) |
7 |
7,94 |
-0,14 |
0,38 |
0,20 |
11,96 |
12 |
|
|
[8,20; 8,73) |
14 |
8,46 |
0,38 |
0,36 |
0,19 |
11,24 |
11 |
|
|
[8,73; 9,25) |
8 |
8,99 |
0,89 |
0,26 |
0,13 |
8,09 |
8 |
|
|
[9,25; 9,78) |
10 |
9,52 |
1,41 |
0,14 |
0,07 |
4,47 |
4 |
Найдём интервал, в котором должна находиться параметрическая функция распределения, чтобы сумма вероятностей была равна 1.
При p=0,999 Z=3,29, а значит, - интервал, в котором находится параметрическая функция плотности. Выберем дополнительные интервалы и соответствующие их середины слева и справа. Пересчитаем заново таблицу 5.
Таблица 6. Вычисление теоретических вероятностей и частот для расширенного количества интервалов
|
[xi-1; xi) |
ni |
|||||||
|
[4,51; 5,04) |
4,77 |
-3,23 |
0,00 |
0,00 |
0,07 |
0 |
||
|
[5,04; 5,56) |
5,30 |
-2,71 |
0,01 |
0,01 |
0,30 |
0 |
||
|
[5,56; 6,09) |
5,83 |
-2,20 |
0,03 |
0,02 |
1,08 |
1 |
||
|
[6,09; 6,62) |
7 |
6,35 |
-1,68 |
0,09 |
0,05 |
2,93 |
3 |
|
|
[6,62; 7,14) |
6 |
6,88 |
-1,17 |
0,19 |
0,10 |
6,11 |
6 |
|
|
[7,14; 7,67) |
8 |
7,41 |
-0,65 |
0,31 |
0,16 |
9,76 |
10 |
|
|
[7,67; 8,20) |
7 |
7,94 |
-0,14 |
0,38 |
0,20 |
11,96 |
12 |
|
|
[8,20; 8,73) |
14 |
8,46 |
0,38 |
0,36 |
0,19 |
11,24 |
11 |
|
|
[8,73; 9,25) |
8 |
8,99 |
0,89 |
0,26 |
0,13 |
8,09 |
8 |
|
|
[9,25; 9,78) |
10 |
9,52 |
1,41 |
0,14 |
0,07 |
4,47 |
4 |
|
|
[9,78; 10,31) |
10,04 |
1,93 |
0,06 |
0,03 |
1,89 |
2 |
||
|
[10,31; 10,83) |
10,57 |
2,44 |
0,02 |
0,01 |
0,61 |
1 |
||
|
[10,83; 11,36) |
11,10 |
2,96 |
0,00 |
0,00 |
0,15 |
0 |
||
|
[11,36; 11,89) |
11,63 |
3,47 |
0,00 |
0,00 |
0,03 |
0 |
Заметим, что частота в четырёх нижних интервалах менее 5 (в сумме в том числе), а значит, их следует объединить с интервалом [6,62; 7,14). Аналогичным образом следует объединить 5 верхних интервалов. При этом, частоты (и вероятности) складываемых интервалов суммируются. После объединения сокращенная таблица вычисления теоретических вероятностей и частот примет следующий вид.
Таблица 7. Результат объединения интервалов
|
[xi-1; xi) |
ni |
||||
|
[4,51; 7,14) |
13 |
0,17 |
10,48 |
0,61 |
|
|
[7,14; 7,67) |
8 |
0,16 |
9,76 |
0,32 |
|
|
[7,67; 8,20) |
7 |
0,20 |
11,96 |
2,06 |
|
|
[8,20; 8,73) |
14 |
0,19 |
11,24 |
0,68 |
|
|
[8,73; 9,25) |
8 |
0,13 |
8,09 |
0,00 |
|
|
[9,25; 11,89) |
10 |
0,12 |
7,15 |
1,14 |
|
|
?=4,80 |
Построим график распределения теоретических и экспериментальных частот.
График 2. Распределение теоретических и экспериментальных частот
Расчет теоретических частот с помощью функции Лапласа
Сведём вычисления в следующую таблицу.
Таблица 8. Вычисление теоретических частот
|
[xi-1; xi) |
ni |
Ф(Zi-1) |
Ф(Zi) |
Pi = Ф(Zi) - Ф(Zi-1) |
Pi•N |
niT |
|||
|
[6,09; 6,62) |
7 |
-1,92 |
-1,41 |
0,00 |
0,08 |
0,08 |
4,73 |
5 |
|
|
[6,62; 7,14) |
6 |
-1,41 |
-0,90 |
0,08 |
0,18 |
0,10 |
6,28 |
6 |
|
|
[7,14; 7,67) |
8 |
-0,90 |
-0,39 |
0,18 |
0,35 |
0,16 |
9,87 |
10 |
|
|
[7,67; 8,20) |
7 |
-0,39 |
0,12 |
0,35 |
0,55 |
0,20 |
12,00 |
12 |
|
|
[8,20; 8,73) |
14 |
0,12 |
0,63 |
0,55 |
0,74 |
0,19 |
11,30 |
11 |
|
|
[8,73; 9,25) |
8 |
0,63 |
1,14 |
0,74 |
0,87 |
0,14 |
8,24 |
8 |
|
|
[9,25; 9,78) |
10 |
1,14 |
1,65 |
0,87 |
1,00 |
0,13 |
7,59 |
8 |
Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины
Зададимся уровнем значимости б = 0,05. Число степеней составляет н = 6 - 3 = 3.
Для выбранного уровня значимости и рассчитанных степеней свободы критическое значение составляет ч2крит = 7,82
Как было рассчитано ранее, . Значит, наблюдаемое значение критерия Пирсона равно ч2набл = 4,80.
Наблюдаемое значение меньше критического, значит, нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Первичный анализ и основные характеристики статистических данных. Точечные оценки параметров распределения. Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания и для среднего квадратического отклонения. Проверка статистических гипотез.
дипломная работа [850,9 K], добавлен 18.01.2016Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Нахождение выборочного уравнения регрессии по данным корреляционной таблицы.
контрольная работа [212,0 K], добавлен 01.05.2010Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014Вычисление среднего одномерных случайных величин. Определение доверительного интервала для математического ожидания и для дисперсии. Построение эмпирической и приближенной линий регрессии Y по X. Дисперсионный анализ греко-латынского куба второго порядка.
курсовая работа [698,0 K], добавлен 08.05.2012Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.
контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012Алгебраический расчет плотности случайных величин, математических ожиданий, дисперсии и коэффициента корреляции. Распределение вероятностей одномерной случайной величины. Составление выборочных уравнений прямой регрессии, основанное на исходных данных.
задача [143,4 K], добавлен 31.01.2011Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Закон больших чисел. Нахождение точечных оценок. Построение неизвестной дисперсии погрешности измерений. Выборочная функция распределения. Теорема Ляпунова и распределение Стьюдента. Вычисление доверительных интервалов. Построение интервальных оценок.
курсовая работа [4,3 M], добавлен 18.12.2011Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015
