Первообразная и интеграл

Понятие и отличительные признаки первообразной функции, требования к ней, характерные свойства, сферы применения. Нахождение площадей плоских фигур. Сущность определенного интеграла и порядок его нахождения, связь с задачей расчета площади плоских фигур.

Рубрика Математика
Вид задача
Язык русский
Дата добавления 14.01.2012
Размер файла 58,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Первообразная и интеграл

Напомним основные понятия и формулы.

Определение. Функция y=f(x), x(a, b), называется первообразной для функции y=f(x), x(a, b), если для каждого x(a, b) выполняется равенство

F(x)=f(x).

Замечание. Если f(x) есть первообразная для функции f(x), то при любой константе С, F(x)+C также является первообразной для f(x).

Задача нахождения всех первообразных функции f(x) называется интегрированием, а множество всех первообразных называется неопределенным интегралом для функции f(x) по dx и обозначается

.

Имеют место свойства:

1. ;

2. Если С=Const, то ;

3. .

Замечание. В школьном курсе математики не употребляется термин «неопределенный интеграл», вместо этого говорят «множество всех первообразных».

Приведем таблицу неопределенных интегралов

;

;

;

; в частности, ;

;

;

;

.

Пример 1. Найти первообразную для функции , проходящую через точку М (2; 4).

Решение. Множество всех первообразных функции есть неопределенный интеграл . Вычислим его, используя свойства интеграла 1 и 2. Имеем:

.

Получили, что множество всех первообразных задается семейством функций y=F(x)+C, то есть y=x3-2x+C, где С - произвольная постоянная.

Зная, что первообразная проходит через точку М (2; 4), подставим ее координаты в предыдущее выражение и найдем С.

4=23-22+С С=4-8+4; С=0.

Ответ: F(x)=x3-2x - искомая первообразная.

Нахождение площадей плоских фигур

Задача нахождения площади плоской фигуры тесно связана с задачей нахождения первообразных (интегрированием). А именно: площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции y=f(x) (f(x)>0) прямыми x=a; x=b; y=0, равна разности значений первообразной для функции y=f(x) в точках b и a:

S=F(b) - F(a)

Дадим определение определенного интеграла.

Определение. Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на отрезке [a, b] и пусть F(x) - некоторая ее первообразная. Тогда число F(b) - F(a) называется интегралом от а до b функции f(x) и обозначается

.

Равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Эта формула связывает задачу нахождения площади плоской фигуры с интегралом.

В общем случае, если фигура ограничена графиками функций y=f(x); y=g(x) (f(x)>g(x)) и прямыми x=a; x=b, то ее площадь равна:

определенный интеграл первообразная площадь

.

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y=-x2+6x-5; y=-x2+4x-3; y=3x-15.

Решение. Изобразим указанные линии.

y=-x2+6x-5 - парабола с вершиной С1(3; 4), ветви которой направлены вниз; точки пересечения с осью Ox: (1; 0), (5; 0).

y=-x2+4x-3 - парабола с вершиной С2(2; 1), ветви которой направлены вниз; точки пересечения с осью Ox: (1; 0), (3; 0).

y=3x-15 - прямая, однозначно определяемая двумя точками, например, (5; 0), (4; - 3).

Данную криволинейную трапецию удобно разбить на две области (это не единственный способ разбиения):

Заметим, что точку х=4 нашли, как абсциссу точки пересечения графиков функций

y=-x2+4x-3 и y=3x-15.

Имеем: S=S1+S2,

(кв. ед.);

(кв. ед.)

(кв. ед.)

Ответ: (кв. ед.)

Пример 3. В какой точке графика функции y=x2+1 надо провести касательную, чтобы она отсекала от фигуры, образованной графиком этой функции и прямыми y=0, x=0, x=1 трапецию наибольшей площади?

Решение. Пусть M0(x0, y0) - точка графика функции y=x2+1, в которой проведена искомая касательная.

Найдем уравнение касательной y=y0+f(x0) (x-x0).

Имеем:

Поэтому .

Найдем площадь трапеции ОАВС.

.

Далее, А - точка пересечения касательной с осью Oy, поэтому

.

B - точка пересечения касательной с прямой x=1

.

.

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции

S(x)=-x2+x+1 на отрезке [0; 1]. Найдем S(x)=-2x+1. Найдем критическую точку из условия S(x)=0 x=.

Найдем .

Видим, что функция достигает наибольшего значения при x=. Найдем .

Ответ: касательную надо провести в точке .

Отметим, что часто встречается задача нахождения интеграла, исходя из его геометрического смысла. Покажем на примере, как решается такая задача.

Пример 4. Используя геометрический смысл интеграла вычислить

а) ; б) .

Решение.

а) - равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями .

Преобразуем

- верхняя половина окружности с центром Р (1; 0) и радиусом R=1.

Поэтому .

Ответ: .

б) Рассуждая аналогично, построим область, ограниченную графиками .

Имеем: .

.

Ответ: .

Контрольное задание

Ниже приводятся тексты заданий для самостоятельного решения. Вам необходимо решить эти задачи, оформить решения отдельно от решений по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

Найти первообразную функции y=f(x), проходящую через точку M0(x0, y0).

М8.11.1. f(x)=1+cosx+cos2x, M0(0; 1)

М8.11.2. f(x)=3cosx-2sinx, M0

М8.11.3. f(x)=, M0(0; 3)

Найти площадь фигуры. Ограниченной линиями (М8.11.4. - М8.11.9.)

М8.11.4. y=-3x2-2, x=1, x=2, y=-1

М8.11.5. y=4x-x2, y=0

М8.11.6. y=x2-2x+3, x+y=5

М8.11.7. y=x2, y=x

М8.11.8. y=0,5x2-2x+2, касательными к ней в точках A, B (4; 2)

М8.11.9. y=-9x-59, параболой y=3x2+ax+1, если известно, что касательная к параболе в точке x=-2 составляет с осью Ox угол величиной arctg6.

М8.11.10. Найти а, если известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=3x3+2x, x=a, y=0, равна единице.

М8.11.11. Найти наименьшее значение площади фигуры, ограниченной параболой y=x2+2x-3 и прямой y=kx+1.

Исходя из геометрического смысла интеграла вычислить

М8.11.12.;

М8.11.13.;

М8.11.14..

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Вычисление площадей плоских фигур. Нахождение определенного интеграла функции. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. Вычисление объемов тел вращения. Предел интегральной суммы функции. Определение объема цилиндра.

    презентация [159,1 K], добавлен 18.09.2013

  • Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.

    курсовая работа [232,5 K], добавлен 21.10.2011

  • Общая схема применения определенного интеграла, правила и принципы реализации данного процесса. Вычисления координат центра тяжести плоских фигур. Решения задач на вычисление силы взаимодействия двух материальных тел, вращающихся вокруг неподвижной оси.

    методичка [195,5 K], добавлен 15.06.2015

  • Определение определенного интеграла, его свойства. Длина дуги кривой. Площадь криволинейной трапеции. Площадь поверхности вращения. Площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями. Вычисление объемов тел.

    контрольная работа [842,6 K], добавлен 10.02.2017

  • Повторение и обобщение типов задач, в том числе фигур сложной геометрической конфигурации. Классификация задач, систематизация способов решения. Развитие коммуникативных компетенций (умения работать в группе). Развитие интеллектуальной деятельности.

    презентация [1,9 M], добавлен 29.05.2019

  • Функции нескольких переменных. Локальные экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению. Двойные и тройные интегралы. Вычисление объемов тел и площадей плоских фигур. Тройной интеграл, криволинейные интегралы первого и второго рода.

    учебное пособие [511,2 K], добавлен 23.04.2012

  • Понятие интеграла Римана, анализ его определений. Интеграл как предела интегральных сумм Римана, единственное число, разделяющее верхние и нижние суммы Дарбу. Интеграл от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона-Лейбница).

    курсовая работа [2,2 M], добавлен 30.10.2015

  • Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.

    контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011

  • Особенности вычисления объемов тел, ограниченных поверхностями, с применением геометрического смысла двойного интеграла. Определение площадей плоских фигур, ограниченных линиями, с использованием метода интегрирования в курсе математического анализа.

    презентация [67,9 K], добавлен 17.09.2013

  • Сущность и методы определения первообразной в математическом анализе. Особенности вычисления первообразной как нахождение неопределённого интеграла. Анализ техники интегрирования. Формула Ньютона–Лейбница. Основные положения дифференциальной теории Галуа.

    контрольная работа [71,8 K], добавлен 05.11.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.