Математический анализ функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

В вершинах треугольника со сторонами по 2·10^-2м находятся равные заряды по 2·10^-9Кл. Найти равнодействующую сил, действующих на четвертый заряд 10^-9Кл, помещенный на середину одной из сторон треугольника

Дано:

По принципу суперпозиции

По закону Кулона

Т.к. треугольник равносторонний, то каждый из углов равен 60⁰

Тогда расстояние от вершины до середины противоположной стороны

Сложим вначале векторы и

Тогда равнодействующая сил

Теория вероятности

Случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Требуется:

а) найти дифференциальную функцию распределения (плотность вероятности);

б) найти математическое ожидание и дисперсию X;

в) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения;

г) найти вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал р(1 < X < 2).

Решение. а) Дифференциальная функция распределения:

б) Математическое ожидание:

дисперсия:

в) Построим графики интегральной и дифференциальной функций распределения:

г) .

Статистика

Себестоимость и выпуск продукции на предприятии характеризуются следующими данными:

Определите в целом по предприятию:

Исследовать и построить график функции:

дисперсия вероятность график дифференциальный интегральный

Решение:

1) Из условия неравенства знаменателя нулю, т.е. , получаем, что областью определения заданной функции является

.

2) Исследуем функцию на непрерывность и классифицируем точки разрыва. Заданная функция непрерывна всюду, кроме точек . Вычислим её односторонние переделы в точке :

Таким образом, точка является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая - вертикальной асимптотой графика.

Вычислим односторонние переделы функции в точке :

Таким образом, точка также является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая - вертикальной асимптотой графика.

3) Исследуем функцию на экстремум и определим интервалы монотонности. С этой целью найдём производную и приравняем её к нулю:

Функция имеет три критические точки: и . Разбиваем этими точками область определения на части, и по изменению знака производной определяем промежутки монотонности и наличие экстремума функции. Знак совпадает со знаком выражения .

Видно, что функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутках . Следовательно, точка является точкой максимума, точка - точкой минимума. Стационарная точка не является точкой экстремума. Найдём значения функции в точках экстремума:

4) Определим точки перегиба функции и интервалы её выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем её к нулю:

Знак совпадает со знаком выражения .

Видно, что функция выпукла на интервалах и и вогнута на интервалах и . При переходе через точки вторая производная меняет свой знак, поэтому точка является точкой перегиба (в точках функция не определена).

5) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров k и b уравнения асимптот воспользуемся формулами:

Для заданной функции

Следовательно, прямая - наклонная асимптота графика.

6) По полученным результатам исследования строим график функции:

Экономика

Составить баланс предприятия, исходя из следующих условий:

Коэффициент автономии равен 0,4

Коэффициент фондоотдачи внеоборотных средств равен 4,

Коэффициент оборачиваемости собственного капитала равен 3,

Доля прибыли в Выручке составляет 40%,

Коэффициент рентабельности перманентного капитала равен 1,2.

Выручка составляет 6000 тыс. руб.

Решение

1) Показатель фондоотдачи (Ф_отд) внеоборотных средств (ВОС) характеризует количество выручки от реализации (ВР), приходящейся на рубль внеоборотных средств.

Ф_отд =

По условию фондоотдача внеоборотных средств равна 4, выручка от реализации составляет 6 000 тыс. руб.:

= 4

Отсюда ВОС = = 1 500 (тыс. руб.)

Внеоборотные активы - это первый раздел актива баланса. Таким образом, итого по разделу I равняется 1 500 тыс. руб.

2) Коэффициент оборачиваемости собственного капитала ( - относится к коэффициентам деловой активности. Отражает скорость оборота собственного капитала (СК) предприятия, или сколько рублей от выручки от реализации (ВР) приходится на каждый рубль инвестированных собственных средств.

=

По условию коэффициент оборачиваемости собственного капитала равен 3, выручка от реализации - 6 000 тыс. руб.:

= 3

Отсюда СК = = 2 000 (тыс. руб.)

Собственный капитал - это третий раздел пассива баланса. Таким образом, итого по разделу III «Капитал и резервы» равняется 2 000 тыс. руб.

3) Коэффициент автономии (коэффициент финансовой независимости) - относится к коэффициентам финансовой устойчивости предприятия. Показывает удельный вес собственных средств в общей сумме источников финансирования. Рассчитывается как собственного капитала к сумме всех средств (сумма: капитала и резервов, краткосрочных пассивов и долгосрочных обязательств), авансированных предприятию (или отношение величины собственных средств к итогу баланса предприятия):

К_{автономии} =

По условию коэффициент автономии равен 0,4, величину собственного капитала мы определили в предыдущем пункте 2 (2 000 руб.):

= 0,4

Отсюда ИтогБал = = 5 000 (тыс. руб.)

4) Рентабельность перманентного капитала - это показатель рентабельности, который отображает эффективность использования долгосрочно вложенного капитала: собственного и заемного. Рентабельность перманентного капитала (Р_пк) вычисляется как отношение чистой прибыли (ЧП) предприятия к среднегодовой величине собственного капитала (СК) и долгосрочных обязательств (ДО):

Р_пк =

По условию рентабельность перманентного капитала равна 1,2. Доля прибыли в выручке составляет 40 %, а выручка 6 000 тыс. руб. Следовательно, величина прибыли составляет 2 400 тыс. руб. (6 000 · 40 %). 2 000 руб. - собственный капитал (из п.2):

= 1,2

Отсюда ДО = - 2 000 = 0

Таким образом, в балансе по строке «Итого по разделу IV» (долгосрочные обязательства) будет стоять прочерк, т.к. долгосрочные обязательства равны нулю.

5) Определяем Итого по разделу II «Оборотные активы»

Итого по разделу II «Оборотные активы» = Итого Баланса - Итого по разделу I «Внеоборотные активы»

Итого по разделу II «Оборотные активы» = 5 000 - 1 500 = 3 500

6) Определяем Итого по разделу V «Краткосрочные обязательства»

Итого по разделу V «Краткосрочные обязательства» = Итого Баланса - Итого по разделу III «Капитал и резервы» - Итого по разделу IV «Долгосрочные обязательства»

Итого по разделу V «Краткосрочные обязательства»=5 000 - 2 000 - 0 = 3 000

Составим модель баланса предприятия с использованием рассчитанных данных:

АКТИВ, тыс. руб. ПАССИВ, тыс. руб.

Сопромат

Дано:

Из расчета на жесткость

- полярный момент инерции сечения

Определим крутящие моменты по участкам вала

По уравнению перемещений определим момент на заделке

Построение эпюры крутящих моментов

Участок АВ,

Участок ВС,

Участок CD,

Участок DE,

Наибольший крутящий момент по абсолютной величине на участке ВС

Размещено на Allbest.ru