Разновидности теорем и умозаключений

Размещено на http://www.allbest.ru/

7

1. Виды теорем. Структура теоремы

Простейшая форма математической теоремы такова: ?х ? Х (А(х) ? В(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство B(х) (заключение теоремы).

Пусть, для примера, П ={Р₁, Р₂, Р₃, …} - множество точек плоскости. Тогда формулировка теоремы Пифагора будет такова: {?(P₁ ? П, P₂ ? П, P₃ ? П) ?P₁P₂P₃ = р /2 ? |P₁P₂|² + |P₂P₃|² = |P₁P₃|²}.

Исходя из утверждения ?х ? Х (А(х) ? В(х)), можно построить новые утверждения: ?х ? Х (B(х) ? A(х)) (обратная теорема); ?х ? Х (А(х) ? В(х)) (противоположная теорема); ?х ? Х (B(х) ? A(х)) (теорема, противоположная обратной).

Сформулируем эти утверждения для теоремы Пифагора: обратная теорема: {?(P₁ ? П, P₂ ? П, P₃ ? П) |P₁P₂|² + |P₂P₃|² = |P₁P₃|² ? ?P₁P₂P₃ = р /2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне - прямой) - верное утверждение; противоположная теорема: {?(P₁ ? П, P₂ ? П, P₃ ? П) ?P₁P₂P₃ ? р /2 ? |P₁P₂|² + |P₂P₃|² ? |P₁P₃|²} (если какой-либо угол треугольника не прямой, то квадрат противолежащей стороны не может быть равен сумме квадратов остальных сторон - верное утверждение (следствие теоремы косинусов)); теорема, противоположная обратной: {?(P₁ ? П, P₂ ? П, P₃ ? П) |P₁P₂|² + |P₂P₃|² ? |P₁P₃|² ? ?P₁P₂P₃ ? р /2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника не равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне, не может быть прямым) - верное утверждение.

Однако если верна прямая теорема, это не означает, что всегда будут верны все остальные. Рассмотрим утверждение: "если десятичная запись натурального числа заканчивается нулем, то это число делится на пять без остатка" .

Обратная теорема ("если натуральное число делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа заканчивается нулем") - ложна (число х = 15 делится нацело на 5, но не оканчивается нулём).

Противоположное утверждение "если десятичная запись натурального числа не заканчивается нулем, то это число не делится на пять без остатка" тоже ложно (опровергающий пример - х = 15). Утверждение, противоположное обратному: "если натуральное число не делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа не может заканчиваться нулем" - истинно. Докажем общее утверждение

Теор. 2.3.1. Теоремы прямая и противоположная обратной, обратная и противоположная попарно либо обе истинны, либо обе ложны. Док-во. Составим таблицу истинности для высказываний А, В и требуемых импликаций: следуют эквивалентности (A?B) ? (B?A), (B?A) ? (A?B), которые и требовалось доказать.

Достаточность и необходимость, существование и единственность

Переведём формулировку теоремы ?x?X (A(x) ? B(x)) на термины "необходимо", "достаточно": если для элемента х множества Х истинно утверждение А(х), то истинно и утверждение В(х). Таким образом, свойство В(х) необходимо для выполнения А(х) (если ложно В(х), то не может быть истинно А(х); необходимо целое число делится на 5 без остатка, если его десятичная запись оканчивается нулём). С другой стороны, условие А(х) достаточно для того, чтобы имело место В(х) (равенство последней цифры десятичной записи целого числа нулю достаточно, чтобы это число делилось на 5 без остатка). В математике часто встречаются теоремы, для которых утверждения А(х) и В(х) имеют совпадающие области истинности и эквивалентны на этих областях: ?х ? Х (А(х) ? В(х) ("для истинности А(х) необходима и достаточна истинность B(х)"; "А(х) истинно тогда и только тогда, когда истиино B(х)").

Как следует из формулы 12. (А ? В) ? (А ? В)?(В ? А) таблицы "Свойства логических операций", в этом случае одновременно должны быть справедливы и прямая, и обратная теоремы ("треугольник прямоугольный тогда и только тогда, когда квадрат какой-либо стороны равен сумме квадратов остальных сторон").

Закономерен вопрос: зачем вводить два свойства (термина, определения) для описания одной и той же сущности? Ответ заключён в приведённом примере: каждое из свойств может лучше описывать ту или иную сторону этой сущности (одно свойство относится к углам, другое - к сторонам).

Особый класс математических теорем образуют теоремы существования. Их структура - ?х ? Х А(х) (на множестве Х существует элемент х, для которого верно утверждение А(х)). Пример: если непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на [a,b] существует (хотя бы один) корень уравнения f(x) = 0 (приведённая на иллюстрации справа функция имеет три корня). В некоторых случаях принципиальна единственность такого элемента х.

Так, при численном решении уравнения f(x) = 0 многие итерационные процессы перестают работать, если на [a,b] имеется более чем один корень уравнения. Существование единственного корня обеспечит такая формулировка теоремы: "если непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) монотонна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на [a,b] существует единственный корень уравнения f(x) = 0". Структура теорем существования и единственности: ?!х ? Х А(х).

2. Умозаключения и их виды

теорема логическая операция умозаключение дилемма силлогизм

Разделительно-категорическое умозаключение.

В данном виде дедуктивных умозаключений одна посылка - разделительное суждение, а вторая и вывод - категорические. Причем в категорическую посылку входит одна из альтернатив (или все, кроме одной) разделительного суждения.

Разделительно-категорическое умозаключение имеет два модуса:

1) утверждающе-отрицательный;

2) отрицательно-утверждающий.

Формула утверждающе-отрицательного модуса:

А есть или В, или С;

А есть В;

Следовательно, А не есть С.

Формула отрицающе-утверждающего модуса:

А есть или В, или С;

А не есть В;

Следовательно, А есть С.

Условно-категорическое умозаключение.

Условно-категорическое умозаключение состоит из двух посылок - условного и категорического суждений. При этом категорическая посылка состоит из тех же терминов, что основание или следствие условной посылки.

Условно-категорическое умозаключение имеет два модуса - утвердительный и отрицательный.

В утверждающем заключение идет от утверждения основания к утверждению следствия. Формула:

Если есть А, то есть В;

А есть;

Следовательно, есть В.

Вывод по этому модусу может быть и утвердительный, и отрицательный.

В отрицающем модусе заключение идет от отрицания следствия к отрицанию основания. Формула:

Если есть А, то есть В;

В нет;

Следовательно, нет А.

Вывод по этому модусу бывает утвердительный и отрицательный; его качественная сторона находится в обратной зависимости от качественного характера условной посылки.

Условно-разделительное умозаключение.

Умозаключение, в котором одна посылка - условное суждение, а другая - разделительное, называется условно-разделительным или лемматическим умозаключением. По количеству следствий условной посылки различают дилеммы, трилеммы и полилеммы.

Дилемма - это условно-разделительный силлогизм с двумя альтернативами, ибо третьего решения вопроса не существует. В практике рассуждений встречаются два вида дилемм - конструктивная и деструктивная.

В конструктивной (созидающей) дилемме из двух оснований вытекают два следствия. Вторая посылка ограничивает возможность выбора только этими двумя основаниями (альтернативами). Заключение признает оба вытекающих следствия. Таким образом, в конструктивной дилемме заключение идет от утверждения оснований к утверждению следствий. Общая схема конструктивной дилеммы:

Если А есть В, то А есть К;

если А есть С, то А есть М;

А есть либо В, либо С;

Следовательно, А есть либо К, либо М.

Пример: Если политические теории прогрессивны, то они способствуют развитию общества; Если же политические теории реакционны, то они препятствуют развитию общества. Но политические теории могут быть либо прогрессивными, либо реакционными. Политические теории либо способствуют развитию общества, либо препятствуют ему.

В деструктивной (разрушающей) дилемме из одного основания вытекают два следствия: вторая посылка отрицает оба следствия, а вывод разрушает само основание. Следовательно, в деструктивной дилемме заключение идет от отрицания следствий к отрицанию оснований. Общая схема деструктивной дилеммы:

Если А есть В, то А есть либо С, либо Д;

А не есть ни С, ни Д;

Следовательно, В не есть В.

Пример: Если философ признает первичность материи по отношению к сознанию, то он является материалистом.Если же философ признает первичность сознания по отношению к материи, то он является идеалистом. Но философ либо не является материалистом, либо не является идеалистом. Философ не признает либо первичность материи по отношению к сознанию, либо первичность сознания по отношению к материи.

При определении правомерности выводов лемматических силлогизмов нужно руководствоваться следующим: вывод правомерен, если ход рассуждений направлен от утверждения оснований к утверждению следствий или от отрицания следствий к отрицанию оснований, и неправомерен, если ход рассуждений направлен обратно указанному.

Вывод:

Один из видов умозаключения - дедуктивное умозаключение. Формой ДУ является простой категорический силлогизм, имеющий свои фигуры, модусы, правила.

Размещено на Allbest.ru