Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский государственный институт электронной техники

(Технический университет)

Курсовая работа

по теме:

Анализ данных в линейной регрессионной модели

Выполнил: Наговицын А.А.

Группа: ЭКТ-21

Москва, 2009 г.

Вариант №7

Исходные данные: парная выборка () объемом 50 двумерного нормально распределенного случайного вектора.

X=[17.83 1.21 18.92 9.68 -1.06 12.07 13.67 11.95 14.41 6.41 10.09 8.45 12.61 3.75 8.47 2.86 4.66 6.62 16.93 8.19 9.38 18.86 6.02 14.36 0.76 13.67 5.78 9.37 4.65 13.66 1.74 4.20 10.45 2.96 15.88 6.53 5.18 5.77 0.33 0.94 4.09 14.42 11.86 13.52 8.94 7.94 20.24 14.75 9.42 16.18];

Y=[1.40 30.14 13.01 19.09 59.62 25.07 15.96 4.07 4.32 28.17 23.20 26.03 12.91 56.37 42.23 61.61 46.25 22.13 -16.53 18.58 28.24 -7.18 31.23 5.45 59.16 18.21 31.61 26.60 50.04 7.05 19.02 47.00 -8.76 42.79 1.60 27.59 28.39 38.13 60.50 52.23 41.63 5.41 23.36 14.63 3.91 29.36 -6.33 1.37 21.20 -4.52].

Задание №1

Выполнить предварительную обработку результатов наблюдений, включающую:

1) построение диаграммы рассеивания (корреляционного поля);

2) группировку данных и построение корреляционной таблицы;

3) оценку числовых характеристик для негруппированных и группированных данных.

Решение

1. Диаграмма рассеивания с нанесенной на нее сеткой горизонтальных и вертикальных прямых () представлена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1. Диаграмма рассеивания с нанесенной на нее сеткой для группировки данных.

2. Используя графическую группировку данных (с помощью нанесенной на рисунок 1 сетки), построим таблицу частот (таблица 1.2).

Таблица 1.2. Таблица частот группированной двумерной выборки

X \Y	-13,5	-4,5	4,5	13,5	22,5	31,5	40,5	49,5	58,5
-0,5	0	0	0	0	0	0	0	1	3	4
2,5	0	0	0	0	1	1	1	0	2	5
5,5	0	0	0	0	1	5	2	3	0	11
8,5	0	0	1	0	5	2	1	0	0	9
11,5	0	1	1	1	3	0	0	0	0	6
14,5	0	0	6	2	1	0	0	0	0	9
17,5	1	2	1	1	0	0	0	0	0	5
20,5	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1
	1	4	9	4	11	8	4	4	5	50

В первом столбце и в первой строке таблицы 1.2 указаны середины интервалов группировки по и по соответственно.

Проведем вычисление выборочных числовых характеристик:

- для негруппированных данных (расчеты выполняются в Matlab, см. приложение 1.4):

, ;

, ;

;

;

, ;

;

;

;

.

- для группированных данных:

, ;

, ;

;

;

, ;

;

;

;

.

Задание №2

Для негруппированных данных проверить гипотезу об отсутствии линейной статистической связи между компонентами и при альтернативной гипотезе (уровень значимости ).

Решение

Для негруппированных данных выборочная оценка коэффициента корреляции равна . Используя Matlab, найдем квантиль распределения Стьюдента:

.

Тогда выборочное значение статистики равно:

;

;

Так как , то гипотеза отклоняется в пользу гипотезы . Корреляция значима.

Задание №3

Для негруппированных данных получить интервальную оценку для истинного значения коэффициента корреляции при уровне значимости .

рассеивание линейный статистический интервальный корреляция

Решение

Для негруппированных данных выборочная оценка коэффициента корреляции равна . Тогда, используя Matlab, найдем:

;

, ;

, ;

.

Задание №4

Для негруппированных и группированных данных составить уравнения линейной регрессии на и на .

Решение

1) Рассмотрим случай не группированных данных.

При доверительный интервал для коэффициента корреляции принимает значение:

.

Этот интервал не содержит нуля, то есть с доверительной вероятностью существует корреляция между и и имеет смысл построения уравнений регрессии.

, ;

, .

Проверка.

, .

, ;

,

, ;

2) Рассмотрим случай группированных данных.

Подставим найденные значения , , , , в уравнения линейной регрессии на и на. Получим:

, ;

Проверка.

, ;

, ;

.

Задание №5

Для не группированных данных нанести графики выборочных регрессионных прямых на диаграмму рассеивания.



Рисунок 1.3. Диаграмма рассеивания с нанесенной для нее сеткой для группировки данных и графики уравнений выборочных линейных регрессий: на , 2 - на .

Задание №6

Для не группированных данных по найденным оценкам параметров линейной регрессии на получить оценку для дисперсии ошибок наблюдений , найти коэффициент детерминации , построить доверительные интервалы для параметров регрессии и , дисперсии ошибок наблюдений и среднего значения при .

Решение

Для не группированных данных были получены следующие оценки числовых характеристик и коэффициентов регрессии: , , , , , , , .

Используя Matlab, найдем сумму квадратов, обусловленную регрессией:

;

;

;

;

;

.

Тогда оценка дисперсии ошибок наблюдений равна

.

Коэффициент детерминации равен

.

Поскольку (знак ), то сделаем проверку правильности расчетов:

(верно).

Полученный результат для коэффициента детерминации означает, что уравнение регрессии на 73,74% объясняет общий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой .

Построим доверительные интервалы для параметров линейной регрессии и дисперсии ошибок наблюдений.

С помощью Matlab найдем квантили распределений Стьюдента и :

, , ;

- доверительный интервал для параметра :

;

;

- доверительный интервал для параметра :

;

;

- доверительный интервал для дисперсии ошибок наблюдений :

;

.

Найдем границы доверительных интервалов для среднего значения при :

;

.

Задание №7

Для не группированных данных проверить значимость линейной регрессии на (уровень значимости ).

Решение

Гипотеза : отклоняется на уровне значимости , так как доверительный интервал не накрывает нуль с доверительной вероятностью 0,95.

Этот же результат можно получить, используя для проверки гипотезу : и статистику .

С помощью Matlab найдем квантили распределения Фишера:

, .

Выборочное значение статистики равно:

.

Поскольку , то гипотеза : отклоняется на уровне значимости . Таким образом, линейная регрессия на статистически значима.

Задание №8

Для данных, сгруппированных только по , проверить адекватность линейной регрессии на (уровень значимости ).

Решение

Для проверки адекватности воспользуемся корреляционной таблицей. Будем считать, что середины интервалов группировки , , являются значениями компоненты . Тогда число повторных наблюдений равно 6. Запишем результаты этих наблюдений в виде таблицы 1.4.

Таблица 1.4. Повторные наблюдения, сгруппированные по X

	-0,5	2,5	5,5	8,5	11,5	14,5	17,5	20,5
	52,23 59,16 59,62 60,50	19,02 30,14 42,79 56,37 61,61	22,13 27,59 28,17 28,39 31,23 31,61 38,13 41,63 46,25 47,00 50,04	3,91 18,58 19,09 21,20 26,03 26,60 28,24 29,36 42,23	-8,76 4,07 12,91 23,20 23,36 25,07	1,37 1,60 4,32 5,41 5,45 7,05 14,63 15,96 18,21	-16,53 -7,18 -4,52 1,40 13,01	-6,33
	4	5	11	9	6	9	5	1
	57,88	41,99	35,65	23,92	13,31	8,22	-2,76	-6,33

Для удобства расчетов в последней строке таблицы приведены средние значения , .

.

Получим уравнение выборочной линейной регрессии на для данных, сгруппированных по :

;

, , , , ;

;

;

.

Выборочное значение статистики равно

.

Так как квантиль распределения Фишера, вычисленный с помощью Matlab, равен

2,3240,

то , а значит, линейная регрессия на для данных, сгруппированных по , адекватна результатам наблюдений.

Приложение

Расчеты в Matlab

clc

n=50

X=[17.83 1.21 18.92 9.68 -1.06 12.07 13.67 11.95 14.41 6.41 10.09 8.45 12.61 3.75 8.47 2.86 4.66 6.62 16.93 8.19 9.38 18.86 6.02 14.36 0.76 13.67 5.78 9.37 4.65 13.66 1.74 4.20 10.45 2.96 15.88 6.53 5.18 5.77 0.33 0.94 4.09 14.42 11.86 13.52 8.94 7.94 20.24 14.75 9.42 16.18]

Y=[1.40 30.14 13.01 19.09 59.62 25.07 15.96 4.07 4.32 28.17 23.20 26.03 12.91 56.37 42.23 61.61 46.25 22.13 -16.53 18.58 28.24 -7.18 31.23 5.45 59.16 18.21 31.61 26.60 50.04 7.05 19.02 47.00 -8.76 42.79 1.60 27.59 28.39 38.13 60.50 52.23 41.63 5.41 23.36 14.63 3.91 29.36 -6.33 1.37 21.20 -4.52]

Xsr=sum(X)/50

Ysr=sum(Y)/50

A=X.^2;

Sumxkv=sum(A)/10

Sxkv=(sum(A)-n*Xsr^2)/(n-1)

B=Y.^2;

Sykv=(sum(B)-n*Ysr^2)/(n-1)

C=X.*Y;

Kxy=(sum(C)-n*Xsr*Ysr)/(n-1)

ROxy=Kxy/(sqrt(Sxkv)*sqrt(Sykv))

%Qe

a1=-3.1426;

b1=52.5356;

Y1=X.*a1+b1;

Y2=Y-Y1;

Y3=Y2.^2;

Qe=sum(Y3)/7

%Qy

Y1=Y.^2;

Qy=(sum(Y1)-n*Ysr^2)/45

%Qr

Qr=(n-1)*Kxy^2/Sxkv

%Qn

X=[-0.5 2.5 5.5 8.5 11.5 14.5 17.5 20.5];

Yv=52.8949-X.*3.1787;

Ych=[57.88 41.99 35.65 23.92 13.31 8.22 -2.76 -6.33];

Yr=Ych-Yv;

n=[4 5 11 9 6 9 5 1];

Qn=(Yr.^2).*n;

Qn=sum(Qn)

%Qp

Yi1=[52.23 59.16 59.62 60.50];

Yi2=[19.02 30.14 42.79 56.37 61.61];

Yi3=[22.13 27.59 28.17 28.39 31.23 31.61 38.13 41.63 46.25 47.00 50.04];

Yi4=[3.91 18.58 19.09 21.20 26.03 26.60 28.24 29.36 42.23]

Yi5=[-8.76 4.07 12.91 23.20 23.36 25.07];

Yi6=[1.37 1.60 4.32 5.41 5.45 7.05 14.63 15.96 18.21];

Yi7=[-16.53 -7.18 -4.52 1.40 13.01];

Yi8=[-6.33];

Yr1=(Yi1-57.88).^2;

Yr2=(Yi2-41.99).^2;

Yr3=(Yi3-35.65).^2;

Yr4=(Yi4-23.92).^2;

Yr5=(Yi5-13.31).^2;

Yr6=(Yi6-8.22).^2;

Yr7=(Yi7+2.76).^2;

Yr8=0;

Qp=(sum(Yr1)+sum(Yr2)+sum(Yr3)+sum(Yr4)+sum(Yr5)+sum(Yr6)+sum(Yr7)+sum(Yr8))/10

%KvantF

f=finv(0.95,6,42)

Размещено на Allbest.ru