Теория Игр

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Академия Маркетинга и социально информационных технологий

Факультет среднего профессионального образования

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математические методы»

На тему: «Теория Игр»

Выполнил:

студент группы

08-СПО-ПО Полтавец Е.В.

Проверил

доцент Савин В.Н.

Краснодар 2010

Содержание

Введение

1. История развития теории игр

2. Основные понятия теории игр

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Вряд ли можно найти человека, которому удалось в жизни сыграть во все игры, которые есть на свете,- их множество. У каждой свои правила, свои особенности. Хоккей, например, отличается от футбола, домино - от шахмат, шашки - от «крестиков-ноликов», «морской бой» - от игры в слова и т.д. И все-таки совершенно непохожие игры принципиально одинаковы, а именно в столкновении интересов. Каждому во что бы то ни стало, хочется выиграть, а это столкновение интересов. Столкновение интересов бывает не только в играх. Оно случается часто, намного чаще, чем мы предполагаем. Почти каждый день наши интересы сталкиваются с чьими-то. В повседневной жизни, в практической деятельности очень часто встречаются ситуации, когда разные люди проявляют разные интересы и располагают разными путями в достижении разных целей. Иными словами, всем нам часто приходится сталкиваться с конфликтными ситуациями.

Мы преодолеваем конфликт, когда играем с приятелем в шахматы. Конфликтна ситуация между продавцом на рынке - он, конечно, хочет подороже продать товар - и покупателем, который хочет купить подешевле. Примером политического конфликта служат разногласия между враждующими политическими партиями во время предвыборной кампании.

Конфликт - в нашем представлении это нечто запутанное, субъективное, не точное, часто эмоциональное и всегда трудно понимаемое. Нелегко разрешить конфликтную ситуацию. А вот современная математика считает возможным не только провести анализ конфликтной ситуации, но и просчитать, как должен вести себя каждый партнер, чтобы достигнуть цели. Этим занимается Теория игр, раздел прикладной математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, торговли и чуть реже в других общественных науках -- социологии, политологии, психологии, этике и т.д. Чтобы провести математический анализ конфликта, для начала нужно построить упрощенную модель конфликтной ситуации, которую называют игрой. Модель игры ведут по определенным правилам. А для простоты и понятности в математическую теорию игр перекочевала и обычная игровая терминология. Участников игры называют - игроками, а результат - выигрышем или платежом. Правда, смысл терминов здесь несколько иной. В теории игр игроком могут быть и несколько человек с определенным интересом, которые борются против одного или, наоборот, против большого количества противников, которые тоже признаны игроком. Значит, игрок - это просто одна группа интересов. Футбольный матч с точки зрения теории игр будет просчитываться как один игрок против одного. В этом смысле он не отличается от шахматной партии.

Выдающийся французский математик Луи Борель еще в начале XX века предпринял издание большого, многотомного «Курса теории вероятностей и ее приложений». Предпоследний том был посвящен «Приложениям к азартным играм». Ученый подвел в нем итог своим длительным исследованиям азартных игр, которыми он интересовался как математик. В теорию игр Борель внес смелые и оригинальные идеи. До него все ограничивались анализом игр, где ход игры определялся случаем, а не игроками. Борель попытался найти математическую формулировку игр, когда течение игры зависело от умения игроков. Со временем многие ученые развили теорию. Она стала гораздо шире теории азартных игр. Оказывается, игры бывают антагонистические и неантагонистические, бабочкообразные и вогнуто-выгнутые, бескоалиционные и кооперативные, позиционные и динамические, и даже игры с «линией жизни», и игра с преследованием с ограниченным временем. Есть в теории игр и «общая теория полезности», и еще много других интересных и необходимых для решения важных практических задач. Игру намного труднее рассказать, чем показать, как в нее играют.

1. История развития теории игр

Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (англ. Theory of Games and Economic Behavior).Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре.

В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу о судьбе Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры Разума». Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe», «Alias» или «NUMB3RS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах. Большим вкладом в применение теории игр стала работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». Т.Шеллинг рассматривает различные «стратегии» поведения участников конфликта. Эти стратегии совпадают с тактиками управления конфликтами и принципами анализа конфликтов в конфликтологии (это психологическая дисциплина) и в управлении конфликтами в организации (теория менеджмента). В психологии и других науках используют слово «игра» в других смыслах, нежели чем в математике. Некоторые психологи и математики скептически относятся к использованию этого термина в других смыслах, сложившихся ранее. Культурологическое понятие игры было дано в работе Йохана Хёйзинга Homo Ludens (статьи по истории культуры), автор говорит об использовании игр в правосудии, культуре, этике.. говорит о том, что игра старше самого человека, так как животные тоже играют.

Понятие игры встречается в концепции Эрика Бёрна «Игры, в которые играют люди, люди, которые играют в игры». Это сугубо психологические игры, основанные на трансакционном анализе. Понятие игры у Й.Хёзинга отличаться от интерпретации игры в теории конфликтов и математической теории игр. Игры также используются для обучения в бизнес-кейсах, семинарах Г. П. Щедровицкого, основоположника организационно-деятельностного подхода. Во время Перестройки в СССР Г. П. Щедровицкий провел множество игр с советскими управленцами. По психологическому накалу ОДИ (организационно-деятельностные игры) были так сильны, что служили мощным катализатором изменений в СССР. Сейчас в России сложилось целое движение ОДИ. Критики отмечают искусственную уникальность ОДИ. Основой ОДИ стал Московский методологический кружок (ММК).

Математическая теория игр сейчас бурно развивается, рассматриваются динамические игры. Однако, математический аппарат теории игр сложен и дорог. Его применяют для оправданных задач: политика, экономика, и распределения рыночной власти и т.п.

Ряд известных ученых стали Нобелевскими лауреатами по экономике за вклад в развитие теории игр, которая описывает социально-экономические процессы. С помощью теории игр делегация США моделировала поведение участников торговых переговоров с СССР, а потом с Россией. Результатом этих переговоров стали договоры крайне выгодные американцам и невыгодные России. Великолепный пример с играми мы видели в 2007--2008 годы на Украине при формировании и развале в Верховной Раде Украины коалиций. Пока ещё культурологические и бизнес-игры не интерпретируются с помощью математической теории игр по многим причинам, одна из которых - это дело будущего. В настоящее время математический аппарат теории игр недостаточен для описания сложнейших ситуаций конфликтов в мире психологии и культуры.

Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр и экономической теории стали: Роберт Ауманн, Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Уильям Викри, Джеймс Миррлис, Томас Шеллинг, Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц, Леонид Гурвиц, Эрик Мэскин, Роджер Майерсон.

2. Основные понятия теории игр

Теория игр -- математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более стороны, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу -- в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

В игровых моделях статистические данные либо вообще отсутствуют, либо носят весьма приблизительный характер. В очень редких (исключительных) случаях для игровых моделей можно определить количественную оценку или указать оптимальное решение. Поэтому построение игровых моделей носит, как правило, эвристический характер с большой долей волюнтаризма. В игровых моделях не ставится задача найти какое-то числовое решение, а требуется лишь или очертить область возможных решений, или предоставить некоторые дополнительные сведения о возможном развитии событий и рекомендовать правила поведения.

Различают два больших класса игровых моделей: модели без противодействия(или их еще называют "играми природой") и модели с противодействием(действия конкурентов на рынке). Игры с противодействием часто называют конфликтными ситуациями, которые широко распространены в обществе. Например, конкурентная борьба в экономике, в спортивных соревнованиях, состязание сторон в ходе судебного заседания и т.д. Игровая модель, в отличии от конфликтной ситуации, строится по определенным законам, а игроки придерживаются определенных правил. игра конфликт математический модель

Развитие игры во времени представляется как ряд последовательных «ходов». Ходы могут быть сознательные и случайные. Случайный ход - результат, получаемый не решением игрока, а каким либо механизмом случайного выбора (покупательский спрос, задержка с поставкой материалов и т.п.). Сознательный ход - выбор игроком одного из возможных вариантов действия (стратегий) и принятие решения о его осуществлении.

Участниками игры (конфликтной ситуации) могут быть минимум два человека (парная игра) или несколько человек (множественная игра). Игра развивается по оговоренным правилами. Игроки по очереди делают свои ходы. Естественно, перед каждым ходом игрок может или сохранить предыдущую стратегию или применить новую стратегию. Если игрок при выборе очередного хода придерживаются каких-либо правил, то такая игра носит название стратегической. Однако игрок во время игры может менять вариант своего поведения (но не правил), т.е. сменить стратегию.

Возможные варианты (исходы) игры сводятся в прямоугольную таблицу (табл.1) - платежную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы - стратегиям игрока В, ai j называется выигрыш первого игрока.

Таблица 1

Если игра содержит ограниченное количество стратегий, то такая игра называется конечной. В противном случае бесконечной.

Стратегия, приносящая игроку максимальный выигрыш, называется оптимальной. Для нахождения оптимальной стратегии необходимо проанализировать все возможные стратегии и рассчитывать на то, что разумный противник на каждую из них будет отвечать такой, при которой выигрыш игрока А минимален. Обычно минимальные числа в каждой строке обозначаются б i и выписываются в виде добавочного столбца матрицы (табл. 1.2). В каждой строке будет свое б i = min aij . Предпочтительной для игрока А является стратегия, при которой б i обращается в максимум, т.е.

б = max (min aij),

где б - гарантированный выигрыш (максимин).

Если придерживаться максиминной стратегии, то при любом поведении стороны В (конкурента) гарантирован выигрыш, во всяком случае не меньше б . Поэтому б называют также ценой игры - тот гарантированный минимум, который можно обеспечить при наиболее осторожной (перестраховочной) стратегии.

Очевидно, что аналогично распределения можно провести и для конкурента B, который должен рассмотреть все свои стратегии, выделяя для каждой из них максимальные значения выигрыша:

в = min (max aij),

которое дает минимаксный выигрыш, или минимакс.

Такая в - стратегия - минимаксная, придерживаясь которой стороне В гарантировано, что в любом случае она проигрывает не больше в, поэтому в называют верхней ценой игры.

Если б = в = С, то число С называют чистой ценой игры или седловой точкой.

Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе пары максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными, так как любое отклонение от этих стратегий приводит к уменьшению выигрыша первого игрока и увеличению проигрыша второго игрока по сравнению с ценой игры С.

Таблица 2

Наиболее полно разработан математический аппарат игр с нулевой суммой, когда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого игрока, т.е. общая сумма выигрыша всех игроков равна нулю.

При построении игровых моделей предполагается, что каждый из игроков будет выбирать только лучшую (для себя) стратегию.

Результатом исследования игровой модели является определение наиболее осторожной стратегии поведение игрока, либо обеспечение гарантированного выигрыша (как правило, минимального), либо сведение к минимуму проигрыша. Риски при получении большого выигрыша не учитываются и не оцениваются.

Таким образом, результаты исследования игровых моделей указывают на оптимальную стратегию поведения (гарантированный выигрыш), а какой стратегией воспользуется игрок в реальной жизни - дело самого игрока.

Заключение

Теория игр полезна, когда требуется определить важные факторы принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Благодаря ей, можно предположить примерное затрачивание ресурсов и времени для достижения цели, и стоит она того. Так же большое преимущество теории игр в том, что ее можно применить к задачам связи, к вопросам технологии, медицины, нефтедобычи, спорта, рыболовства, к противовоздушной обороне, к задачам, которые приходится решать командиру в сражении, к задачам разоружения и т.д.

Недостаток Теории игр в том, что есть игры, в которых проработка сложных ситуаций требует большого количества времени. Для их вычисления требуется специальное программное обеспечение, и мощная база вычислительных машин. Ведь для исследования даже самой простой ситуации в торгово-экономической сфере, бывает необходимым провести большое количество вычислений. Но это не значительный недостаток, так как электроника не стоит на месте, она развиваются, вычислительные машины становятся мощнее, их скорость вычислений увеличивается в несколько раз. В будущем, на проработку игр, которых раньше уходило до несколько лет, будет уходить лишь несколько дней.

«Есть в современной математике одна область, она носит безобидное название теории игр, но ей, несомненно, суждено сыграть очень важную роль для человечества в самом ближайшем будущем» - говорил Джон фон Нейман, один из основоположников кибернетики. Я полностью согласен с его мнением, что Теория Игр является нашим главным, необходимым будущим в современной науке.

Список литературы

1. « Математические методы в программировании » / Агальцов В.П., Волдайская И.В. Учебник: - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2006. - 224с.: ил. - (Профессиональное образование). - (Учимся программировать).

2. «Математические методы: Учебник» / Партыка Т.Л., Попов И.И. - М.: ФОРУМ: ИНФРА, 2007. - 464 с.: ил.

3. Лекции по дисциплине « Математические методы ».

4.«Математическое программирование» / Костевич Л., издательство «Новое знание», 2003.

Размещено на Allbest.ru